di Giovanni Mazzallo*

Se gli oggetti della matematica classica posseggono proprietà e sono esistenti indipendentemente dal pensiero che li produce e ne certifica a tutti gli effetti l’esistenza matematica, l’intuizionismo brouweriano chiarisce invece che si può accettare l’esistenza di enti matematici solo nel caso in cui questi siano costruibili intuitivamente da parte del soggetto mediante opportune prove che ne certifichino l’esistenza e che la dimostrazione della costruibilità (con relativa prova) di un dato oggetto matematico equivale alla sua stessa prova di consistenza (che, in tal caso, sarebbe di evidente impronta matematica e non logica, diversamente dall’assiomatismo hilbertiano che basa l’esistenza degli enti matematici sulla loro prova di consistenza condotta nel mero ambito della logica). Le sequenze di scelta si sviluppano nel tempo perché fondate sull’intuizione temporale che produce, trattiene, scandisce e tiene insieme le unità che si generano a partire dalla percezione a-priori della “duo-unità” che risiede nella natura delle cose pensate e che definisce l’essenza del continuo come matrice dalla manifesta radice temporale che comprende la continuità e la discretezza della serie dei numeri reali che si protrae potenzialmente all’infinito sulla base delle sequenze di numeri razionali, che introducono i reali attraverso la ripetizione denumerabilmente infinita (quindi temporalmente attestabile, benché in modo indeterminato) del loro procedimento per prodursi (le sequenze di scelta) che conduce alla formazione di rami e a punti di convergenza in cui si creano i numeri reali.
Le sequenze infinite, che determinano il riempimento e la costruzione effettiva del continuo sulle basi denumerabili offerte dalle successioni convergenti dei numeri razionali che si intersecano in qualità di intervalli ramificati che rappresentano il mezzo di individuazione dei numeri reali, sono produzioni matematiche che avvengono necessariamente nel tempo allo stesso modo di tutti gli altri enti matematici perché questi ultimi fanno parte a loro volta della matrice del continuo che esiste necessariamente per garantire l’esistenza dei numeri reali (quindi dell’intera matematica numerica) e che a sua volta non potrebbe esistere intuizionisticamente se non fosse producibile per mezzo delle sequenze convergenti dei numeri razionali che determinano la creazione dei numeri reali e che si stagliano sempre sullo sfondo dell’ipotesi del continuo comprendente in definitiva non solo continuità e discretezza, ma anche denumerabilità e non-denumerabilità (la prima giustifica la seconda, dalla quale scaturisce la possibilità in sé della matematica che necessita di fondamenta denumerabili per la legittimità della sua consistente porzione non-denumerabile). Il continuo si crea ed è radicato necessariamente nel tempo (deve pertanto essere riconosciuto nella sua sola natura denumerabile che legittima la non-denumerabilità), altrimenti (essendo esso la continuità dello spazio aritmetizzabile, rappresentando quindi la realtà con la sua temporalità da cui scaturisce la matematica) non si avrebbe matematica. In Brouwer la rigorizzazione dell’infinito è posta nelle scelte del “soggetto creativo” che si danno nel tempo, così come l’eventualità di fornire una soluzione ad un problema rivelatosi fino al momento della sua risoluzione irrisolto che sancisce la sospensione del tertium non datur e non la vittoria dell’”Ignorabimus”, che può sempre essere aggirato nel tempo. Il “soggetto creativo” è il garante dell’esistenza matematica delle sequenze infinite che possono da lui essere protratte in modo denumerabile (ma tale da legittimare la non-denumerabilità del continuo ricostruito a partire dalle sequenze di scelta effettuate dal soggetto) in modo del tutto libero o eventualmente vincolato all’imposizione (da lui stesso compiuta) di una legge che con un algoritmo determina la scelta di specifici elementi rispetto ad altri e regola la calcolabilità delle libere scelte. Operando in tal modo, il soggetto garantisce l’esistenza del continuo (quindi
dell’intera matematica numerica e della sua certezza di cruciale rilevanza in relazione al pensare) come struttura di tutti i numeri indeterminata (in quanto non ancora completata) che non è concepibile alla maniera classica come un singolo insieme completo di numeri reali ben definito, consistente e compiuto, ma come la più grande architettura numerica che a causa della sua non-denumerabilità non potrà mai essere completata in maniera assoluta, ma potrà rivelarsi consistente (quindi intuizionisticamente esistente e pensabile) sulla base del suo stesso processo di generazione effettuato dal “soggetto creativo” con le sue sequenze di scelta denumerabili che, sviluppate da segmenti finiti iniziali passati, si aprono direttamente al futuro poiché innestate nella dimensione temporale che determina il loro susseguirsi. Ciononostante, quantunque Brouwer si sforzi di costruire i singoli punti del continuo con l’intervento delle scelte del “soggetto creativo” (così da rendere conto dell’infinito delegandone l’accettabilità intuizionistica all’operare del soggetto che ricostruisce ramo per ramo il continuo attraverso le sue scelte), l’indeterminatezza in cui si dipana lo svolgersi delle operazioni per la sua costruzione solleva molti dubbi in merito alla possibilità di ammettere intuizionisticamente le sequenze procedenti all’infinito come entità matematiche realmente esistenti. Difatti, soltanto i segmenti finiti iniziali (stando ai criteri di accettabilità intuizionistica dell’esistenza di oggetti matematici) possono essere detti in possesso dei dovuti e giusti requisiti per essere concepiti come effettivamente esistenti (rappresentano enti definiti), laddove il prosieguo delle sequenze compiuto dalle scelte del soggetto non risponde a una legge ben definita (che non sia determinata dallo stesso soggetto necessariamente per far proseguire le sequenze verso la convergenza attraverso la regolazione delle scelte libere), non rappresenta enti definiti poiché mero prosieguo di sequenze (è funzionale all’ottenimento di numeri reali identificati con le sequenze e non definiti allo stesso modo dei numeri naturali, ottenuti per induzione intuitiva), non costituisce un procedimento determinato che sia assicurabile fin dal principio come consistentemente completabile (rimane indeterminato il tempo di creazione dei numeri reali che non si possono dire definiti in quanto ottenuti solo indirettamente con procedimenti non esattamente intuizionistici) e, pur essendo infinito in senso potenziale, deve procedere infinitamente in senso attuale per fondare il continuo. La soluzione offerta da Brouwer per trattare il continuo in modo da renderlo intuizionisticamente accettabile (ricondurre la non-denumerabilità sotto la tutela della denumerabilità) si rivela autocontraddittoria perché il continuo non ha natura denumerabile, ma costitutivamente non-denumerabile (la costruzione dei numeri reali non può mai terminare) e ciò implica che l’intuizionismo non è adeguato a trattare l’infinito attuale poiché questo è una costruzione matematica mai completabile che non si lascia afferrare dai tentativi brouweriani di rigorizzarla trasformandola in infinito potenziale mediante sequenze di scelta, che per la loro stessa natura non sono intuizionisticamente accettabili. Hilbert, nella seconda fase del suo formalismo, avrebbe riconosciuto la natura necessariamente attuale del continuo avvertendo l’esigenza di riformulare l’applicazione del tertium non datur alle totalità infinite perché quest’ultimo è l’unico mezzo per fondare la matematica transfinita, in quanto consente di provare l’esistenza dell’infinito attuale (attraverso la possibilità di individuare formalmente i suoi numeri in base al loro possesso o meno di una certa proprietà che li rende individuabili) e la consistenza dei suoi enunciati attraverso la metamatematica. La metamatematica è l’unico strumento con funzione di controllo assiomatico atto a dimostrare la non-contraddittorietà degli enunciati transfiniti (Hilbert risponde così a Brouwer che accusava Cantor di avere collaudato indebitamente il suo sistema transfinito senza fornire neanche una prova della sua consistenza), in quanto per questi non è possibile stabilire assiomi precisi come per la matematica finitaria (tranne, ovviamente, l’assioma transfinito che individua i numeri dei cui enunciati, però, non può fornire la dimostrazione di non-contraddittorietà poiché serve solo a trattare l’infinito attuale, avendo pertanto bisogno della metamatematica) dato che l’infinito attuale (per il fatto di essere tale) non è raffigurabile nei suoi singoli enti allo stesso modo delle totalità finite e dell’infinito potenziale (in questo Hilbert supera la prima fase del suo formalismo), ma unicamente riconoscibile nei suoi numeri grazie alla loro individuazione condotta solo logicamente che, per mostrare la consistenza degli enunciati transfiniti così ottenibili solo con mezzi logici (a differenza di quelli della matematica finitaria formalizzanti entità numeriche definite preesistenti, mentre nella matematica transfinita si procede inversamente dovendo attuare obbligatoriamente all’inizio la formalizzazione per poter poi trovare i numeri da cui si formano gli enunciati di cui provare la consistenza), necessita di essere numerizzata nel procedimento metamatematico tipico della matematica transfinita detto “strategia dimostrativa hilbertiana”. Le dimostrazioni di esistenza non avevano un’importanza così fondamentale nel continuo della prima fase del suo formalismo (provato nella sua consistenza con una trattazione assiomatica equivalente a quella per i numeri naturali, per cui l’infinito attuale era trattato come potenziale e dunque il tertium non datur era già previsto e non poteva avere funzione fondante). Brouwer, così, è indotto dalla trattazione del continuo a contravvenire alle sue stesse tesi cadendo vittima dell’accusa che egli stesso rivolse a Hilbert di compiere passaggi potenzialmente infiniti nella sua applicazione del tertium non datur a totalità infinite, poiché Brouwer per fondare il continuo ricorre a sequenze di scelta che, pur essendo infinite in senso potenziale, sono necessariamente infinite in senso attuale nella costruzione dei punti del continuo che non può mai essere completato (quindi intuizionisticamente inammissibili di per sé) e quando sono libere necessitano di successioni legiformi che ne regolano la calcolabilità per proseguire con le sequenze successive (il continuo pieno con sole libere scelte non si può avere, sicché la costruzione infinita del continuo è molto limitata e del tutto indeterminata temporalmente) e implicitamente applicano il tertium non datur (la calcolabilità implica il reperimento di entità con specifiche proprietà sulla base dei numeri razionali presenti nell’intervallo dotati a loro volta di particolari proprietà derivanti dai segmenti finiti iniziali (già nelle libere scelte è implicito il tertium non datur)) che si rivela dunque necessario anche nella matematica intuizionistica (la sua sospensione è solo apparente in quanto si limita unicamente ad affermare che non si può dire nulla sugli enti di totalità infinite prima che questi vengano effettivamente ottenuti, anche se lo stesso tertium non datur è comunque implicato nella costruzione intuizionistica dei numeri reali che, dunque, non avviene in maniera del tutto pura). I segmenti finiti iniziali comprendono per loro natura le proprietà da cui provengono le
sequenze di scelta (poiché i numeri che si possono ottenere sono necessariamente definiti dalle loro stesse proprietà) e, di conseguenza, anche la proprietà della razionalità dei numeri reali (dato che la sospensione del principio del terzo escluso non avviene realmente) potrebbe mostrarsi in teoria pienamente decidibile. Brouwer applica implicitamente il tertium non datur per costruire i numeri reali; Hilbert, nel suo secondo formalismo, per riconoscere i limiti numerici delle totalità infinite costituenti il continuo già dato. L’applicazione implicita del tertium non datur che le sequenze consentono sui numeri reali (prodotti denumerabilmente) è concessa perché fondata su procedimenti non ammissibili intuizionisticamente poiché procedenti infinitamente in senso attuale, così che Brouwer (seppur involontariamente) conferma la successiva convinzione hilbertiana che il principio del terzo escluso è ineluttabilmente legato all’infinito attuale e, come dimostrato da Hilbert, diviene necessario per poter trattarlo dato che ha la funzione di individuarne i numeri (così da accertarne l’esistenza); laddove l’applicazione brouweriana implicita del tertium non datur è vincolata alla costruzione incompletabile (perciò intuizionisticamente inammissibile) del continuo, senza che se ne possano stabilire concretamente i limiti numerici (definenti i singoli insiemi transfiniti) che lo definiscono nella sua esistenza di infinito attuale perché il tertium non datur è riconosciuto come mero principio logico di comunicazione dei costrutti matematici che non serve per la costruzione della matematica (in questo caso, dell’intera matematica numerica), che nell’intuizionismo è ammissibile solo in modo denumerabile (quindi secondo l’intuizione temporale). La matematica brouweriana quindi, pur affermando di non voler attenersi ai principi logici per la costruzione della matematica (quindi anche e soprattutto del continuo), nella pratica è costretta necessariamente ad utilizzare il principio del terzo escluso implicito nelle scelte libere riconoscendo, anche senza ammetterlo apertamente, che esso è inevitabile per trattare il continuo (contravvenendo ai suoi stessi dettami), anche se lo usa in modo non corretto perché lo fa derivare dalle sequenze di scelta che, essendo incompletabili per fondare il continuo, non possono permettere di riconoscerne i limiti numerici che lo definiscono (già in questo Brouwer implicitamente è costretto a riconoscere, benché non lo ammetta, la necessità dell’infinità attuale delle sequenze che, se non si protraessero infinitamente in senso attuale, non potrebbero fondare il continuo che è per necessità della sua natura l’infinito attuale e quindi non può essere trattato intuizionisticamente perché esige il ricorso al tertium non datur), mentre l’applicazione a sé stante del tertium non datur (prevista da Hilbert) consente di farlo (il formalismo, rispetto all’intuizionismo, può trattare l’infinito attuale). Essendo il continuo non costruibile alla maniera denumerabile intuizionistica per la sua stessa natura di infinito attuale, Hilbert dimostra che l’unico mezzo per poter concepirlo matematicamente (ossia nella matematica transfinita) è attraverso i principi logici che servono allo sviluppo della matematica, ossia per mezzo del tertium non datur che ammette come l’infinito attuale non possa essere mai costruito ma, ammettendolo a-priori nella sua attualità, riconosciuto mediante l’individuazione dei suoi numeri sulla base del loro possesso di una proprietà o meno (ossia di una proprietà diversa). Il programma di ricostruzione della matematica che Brouwer propone dalla sua posizione intuizionista a partire dalla nuova edificazione del continuo non sarebbe ammissibile in base alle sue stesse direttive riguardanti l’accettazione delle entità matematiche se le sequenze di scelta, su cui si basa l’individuazione dei singoli numeri reali, non fossero rette da leggi essenziali di successione che regolano necessariamente il modo di procedere delle sequenze (per rendere denumerabilmente consistenti, ossia calcolabili efficacemente, le scelte libere) e che rivelano la natura maggiormente logica, invece che puramente matematica, della teoria brouweriana delle sequenze di scelta. Queste poggiano ineludibilmente su una formulazione logico-linguistica dettata dalle restrizioni che il soggetto impone sulle successioni piuttosto che sulla loro diretta concepibilità intuitiva. Il continuo, l’infinito attuale, è fuori dal tempo (non carpibile con l’intuizione temporale) in quanto infinità mai terminante (per questo non è possibile la totalità di tutti gli aleph, giacché le costruzioni insiemistiche transfinite proseguono all’infinito) che può essere riconosciuta (dominata quanto più possibile matematicamente) col solo ausilio della logica. L’infinito, nonostante il tentativo brouweriano di renderlo intuizionisticamente accettabile dando spazio al “soggetto creativo” con le sue scelte finalizzate a giustificare la non-denumerabilità del continuo, resta pur sempre l’ente matematico per antonomasia che non può essere direttamente esperito in campo matematico e la cui prova di consistenza ed esistenza matematica non può fare a meno in ogni caso dell’uso di strumenti logici appropriati che possano esprimere (almeno indirettamente) il senso di procedibilità e convergenza insito nelle successioni infinite. Il limite dell’intuizionismo brouweriano resta il trattamento dell’infinito, che è manipolabile intuizionisticamente in maniera non esattamente congrua ai dettami propri del pensiero brouweriano in quanto esigente il ricorso forzato a determinazioni di tipo linguistico (ossia descrittivo-esplicativo) per cui non è sufficiente la prova diretta di costruzione mentale che, in tal caso, sarebbe del tutto inutile oltre che impossibile. Se Brouwer individuò l’esistenza degli enti matematici e la certezza del pensiero matematico nell’intuizione individuale stante al fondo delle costruzioni matematiche nell’ambito della matematica finitaria, Hilbert ebbe il merito di fornire uno dei più grandi contributi nella storia dei fondamenti della matematica per la ricerca di una rigorizzazione dell’infinito che, ammessa l’intuitività tipicamente brouweriana in campo finitario per il senso contenutistico degli enunciati matematici elementari, avrebbe cercato di fondare la matematica transfinita per mezzo della metamatematica come strumento ultimo fondamentale del suo assiomatismo. L’infinito, problema secolare della matematica, si rivela sondabile unicamente tramite impalcature logico-linguistiche in grado di carpirne lo svolgimento e il significato matematico. Con Neubegrundung der Mathematik. Erste Mitteilung (Nuova fondazione della matematica. Prima comunicazione), conferenza tenuta a Copenhagen su invito della Società matematica e ad Amburgo al Seminario matematico dell’Università nel 1921, Hilbert elabora ed espone un nuovo modo di fondare l’intera matematica numerica (ossia l’analisi matematica) che rimedia all’inadeguatezza delle regole logiche proposte nel testo del 1904 (si avvia la formalizzazione della logica aristotelica comportata da un’assiomatizzazione che determina in modo più preciso la dimostrazione delle teorie formalizzate (si formalizza il principio di induzione) e, successivamente, degli assiomi stessi mediante il riconoscimento della loro indagabilità matematica nella teoria della dimostrazione) per formalizzare le teorie aritmetiche (migliorando la concezione della distinzione fra momento teorico e metateorico trascurata nell’interpretazione degli assiomi definitori (in modo circolare) del segno = come “cose mentali” di carattere comunicativo e non formale (gli assiomi devono definire l’uguaglianza senza implicarla nella sua stessa definizione a partire dalla manipolazione dei simboli originari) e nell’eliminazione mancata dell’utilizzo di vocaboli del linguaggio ordinario nell’espressione degli enunciati (rimpiazzati poi gradualmente dai segni tipici della logica proposizionale) ed elaborando la fondazione definitiva dell’aritmetica dei numeri reali attraverso un trattamento dell’infinito attuale che non cerca più di rendere consistenti gli insiemi transfiniti cantoriani con la postulazione di insiemi infiniti ottenuti con induzione non formalizzata (non compatibili con l’assioma di completezza) di cui non sono definiti formalmente i limiti che ne consentirebbero il riconoscimento), iniziando il dibattito con la matematica costruttivista per quanto concerne la formalizzazione della matematica e l’utilità e legittimità dei tradizionali modi inferenziali della matematica classica tradotti in un sistema formale. Hilbert intende perseguire la via della dimostrazione della non-contraddittorietà degli assiomi della teoria dei numeri o dell’analisi o della teoria degli insiemi distinguendo all’interno della matematica la “matematica finitaria” dotata di contenuti concettuali intuitivi e di verità evidenti (che usa l’infinito potenzialmente e procede con mezzi concreti e finiti accettabili anche dai critici della matematica classica) e la “matematica transfinita”. Il “pensiero finitario” è il prerequisito di ogni
costruzione scientifica che non si basa solo sull’esperienza e che diviene il pensiero necessario per costituire i formalismi. Hilbert procede allo sviluppo della matematica elementare di carattere contenutistico ricorrendo all’esecuzione di procedure affidabili sui simboli stanti al posto dei numeri che, al pari delle loro controparti simboliche, sono oggetto dell’intuizione finitaria che precede qualsivoglia inferenza logica. I simboli hilbertiani non sono quindi concepibili come mere figure logiche destituite di significato alla maniera brouweriana, poiché questi stessi si danno rappresentativamente prima delle operazioni logiche (che i simboli, come enti formali preesistenti che formalizzano i tre principi logici aristotelici e l’intera matematica numerica, rendono possibili consentendo la metamatematica) di modo che è possibile notare come la matematica di Hilbert risponda a un’idea diversa di intuizione che la svela come nascente non da una matematizzazione astratta (del terzo ordine) del carattere logico-linguistico della matematica pura (come indicato da Brouwer che implicitamente fa sorgere la matematica hilbertiana sulle basi della metamatematica fondante in Hilbert il trattamento logico della matematica, laddove la metamatematica segue naturalmente la matematica poiché fondata sullo studio dei simboli che permettono inizialmente di formulare il
sistema formale corredato degli assiomi che soltanto successivamente sono studiati nella metamatematica), ma dal finitarismo a-priori dell’intelletto che permette di fondare la matematica nelle sue basi logiche (i sistemi assiomatici). L’intuizione finitaria hilbertiana, soggetta alla manipolazione formale di enti extralogici che può essere sfruttata per il trattamento rigoroso della matematica infinita, è dunque differente dall’intuizione temporale brouweriana, che è volta alla costruzione mentale di prove per oggetti matematici (che rispondano al criterio essenziale della denumerabilità) e in modo discutibile tenta di ricostruire le fondamenta dell’infinito (il continuo), e in questo senso supera lo stesso intuizionismo brouweriano nella sua accezione di intuitività ampliandone il significato per includere (oltre ai numeri naturali) anche gli stessi segni senza i quali non sarebbe possibile applicare la procedura assiomatizzante di approfondimento dei fondamenti (i numeri naturali nella loro intuitività non basterebbero). Tali simboli sono dati nella rappresentazione finitaria propria dell’intelletto umano e consentono di trattare in modo quanto più rigoroso ed efficace possibile anche l’infinito. La conferenza Die logischen Grundlagen der Mathematik (I fondamenti logici della matematica) del 1922, tenuta a Lipsia su invito della Deutsche Naturhofer-Gesellschaft, segna un ulteriore apprendimento e raffinamento tecnico della teoria della dimostrazione enunciata nella conferenza dell’anno precedente, in cui Hilbert chiarifica maggiormente la struttura del formalismo che va progressivamente delineandosi. Hilbert dunque sente di dover trovare necessariamente il modo in cui dimostrare che gli usuali procedimenti infinitari dell’analisi possono risultare logicamente pacifici e che i procedimenti inferenziali transfiniti, previsti anche nella teoria degli insiemi, portano sempre a risultati corretti a partire dal terreno del finitario da cui iniziare ad esercitare il pieno dominio del transfinito. A tal scopo, introduce la formalizzazione con l’operatore τ che soddisfa all’assioma transfinito che lo definisce e che formalizza la logica quantificazionale per il trattamento di totalità infinite (già contenuta implicitamente nella matematica finitaria per la validità assodata in essa del tertium non datur, che rende superfluo l’uso di quantificatori) senza dar vita ai procedimenti impredicativi che determinarono la fine del programma logicista di Frege esposto alle antinomie. L’operatore è una “funzione transfinita” o “funzione transfinita logica di scelta” sia perché esprime la matematica transfinita, avendo come argomenti i predicati, sia perché è riconducibile a certe forme del principio di scelta che comprendono l’applicazione implicita del tertium non datur per totalità infinite (principio di scelta che nella forma iniziale della prima conferenza era rappresentato assiomaticamente tramite un funtore particolare introdotto in uno dei sei assiomi in seguito sostituiti dai primi assiomi aritmetici). Ciò significa che con un’unica funzione logica diviene possibile esprimere un giudizio universale come la possibilità di trovare un ente che funga da prototipo della proprietà indicata dal giudizio
rispettando il principio del terzo escluso. «Per visualizzarci il suo contenuto, prendiamo per A il predicato “essere corrotto”: allora con τA dobbiamo intendere un determinato uomo che possegga un senso della giustizia così incrollabile che, se egli stesso dovesse risultare corrotto, allora tutti gli uomini devono essere senz’altro corrotti. L’assioma transfinito deve essere visto come la fonte prima di tutti i concetti, i principi e gli assiomi transfiniti (David Hilbert, I fondamenti logici della matematica in Abrusci, op. cit., p. 221).» A partire dall’assioma transfinito, che sostituisce i quattro assiomi transfiniti della prima conferenza, è possibile derivare gli assiomi definitori dei quantificatori (è ammessa la presenza in questo caso del classico quantificatore esistenziale) e se ne deduce che a partire da quegli stessi assiomi diventa altresì possibile ottenere con la logica i tradizionali assiomi dei quantificatori in qualità di teoremi e le loro classiche regole inferenziali, cosicché l’operatore è sufficiente per la formalizzazione della teoria della quantificazione in cui tutti i principi transfiniti puramente logici (il principio aristotelico della deduzione e il principio dell’esistenziale) vengono derivati come formule dimostrabili. Con l’introduzione dell’assioma transfinito, viene finalmente riconosciuto valido anche per totalità infinite il tertium non datur. Il passo seguente nella fondazione dell’analisi è costituito dalla dimostrazione di non-contraddittorietà del tipo di formalismo ottenuto. Nel caso della dimostrazione di non-contraddittorietà dell’assioma transfinito della matematica non-finitaria comprendente un formalismo costituito da operatori senza variabili libere, la teoria della dimostrazione hilbertiana è costretta ad avvalersi di tutta una serie di procedimenti che, al fine di ottenere, come nel caso dell’aritmetica finitista, una dimostrazione di una formula numerica costituita da sole formule numeriche vere in quel tipo diverso di formalismo, impongono il rimpiazzamento delle ricorrenze dell’operatore con una cifra o (a seconda del tipo della variabile x) con una funzione numerica computabile a cui può dunque essere applicato il tertium non datur. L’intero metodo è detto “strategia dimostrativa hilbertiana”: se per un formalismo di tipo superiore si dà un procedimento di rimpiazzamento del genere che si dimostra (come richiede il pensiero finitario) concreto e finito, allora è dimostrata la non-contraddittorietà di quel formalismo. La strategia dimostrativa hilbertiana sembra preannunciare la possibilità di dimostrare ogni asserzione numerica (versione contenutistica di una formula numerica) senza l’uso del transfinito, ossia nella teoria non-transfinita dei numeri, per la qual cosa in una dimostrazione transfinita di un’asserzione numerica si possono associare asserzioni numeriche alle asserzioni transfinite come loro significati non-transfiniti all’interno della dimostrazione, trasformando questa stessa in modo non-transfinito sicché ogni asserzione è un’asserzione numerica vera. Così troverebbe una prima parziale conferma l’ipotesi metodologica della teoria analitica dei numeri che occupò le menti di molti matematici del XIX secolo, ma il procedimento di rimpiazzamento sottostante alla formulazione di tale strategia viene applicato da Hilbert solo ad un tipo ristretto di formalismo che non tiene conto di altri eventuali operatori transfiniti ricercabili in forme di formalismo sempre più allargate. La ricerca della dimostrazione di non-contraddittorietà dell’analisi sarebbe avvenuta simultaneamente alla ricerca di un procedimento di rimpiazzamento quanto più concreto e finito possibile. La funzione transfinita τ(f) è anche una funzione transfinita logica di scelta in quanto sufficiente, per Hilbert, a derivare per mezzo degli assiomi posti sull’operatore il principio zermeliano di scelta che si scopre dimostrabile nella teoria degli insiemi. Hilbert procede, per mezzo della funzione-di-funzione transfinita τ(f), alla formalizzazione del principio di induzione completa per totalità infinite, alla fondazione dell’analisi per cui introduce i segni logico-connettivi della congiunzione e della disgiunzione che completano la codificazione della classica logica proposizionale nel linguaggio formale hilbertiano («il fondamento dell’analisi è il teorema dell’estremo. La funzione transfinita τ rende ora di fatto possibile la dimostrazione del teorema che esiste sempre l’estremo superiore di una successione di numeri reali (Ivi, p. 228)»), infine, con l’introduzione di assiomi logici sull’operatore sempre più forti e del nuovo operatore π, alla dimostrazione del principio zermeliano di scelta per insiemi di insiemi di numeri reali, che pone fine all’ipotesi d’esistenza della totalità di tutti gli aleph cantoriani (l’infinito attuale non può avere limiti ultimi per le sue costruzioni insiemistiche). I formalismi hilbertiani si rivelano costituiti sulla base del pensiero finitario, che si concretizza, per quanto concerne la dimostrazione di non-contraddittorietà degli assiomi della matematica numerica (finitaria e transfinita), in un’interpretazione finitaria offerta dalle formule numeriche, così che la fondazione delle diverse branche matematiche (analisi, teoria degli insiemi, teoria dei numeri) consiste in procedimenti nei quali gli enti formali ottenuti sono enti matematici finitari. Se nella prima conferenza Hilbert definiva sostanzialmente l’intera matematica finitaria ammettendo temporaneamente ragionamenti induttivistici contenutistici facenti da preludio alla costituzione dei primi assiomi aritmetici che inglobavano la teoria concreta-contenutistica dei numeri e, intuitivamente, il principio di induzione per la definizione del concetto di numero naturale (nel corso della conferenza comunque formalizzato), nella seconda conferenza tale caratterizzazione avviene ammettendo unicamente ragionamenti di tipo finitario in apparenza inoppugnabili da parte dei matematici costruttivisti che fanno riferimento ad enti concreti-intuitivi e sono completati dall’introduzione di tutto ciò che in matematica non è finitario, ossia da “elementi ideali” che si accostano a tali enti e si implementano nella logica dei ragionamenti finitari. Hilbert si propone, per la risoluzione del “problema dell’infinito”, di esprimere l’infinito con il finito. «L’infinito, nel senso di totalità infinita, quando ancora lo incontriamo nei modi inferenziali, è semplicemente qualcosa di apparente. Come le operazioni sull’infinitamente piccolo sono state sostituite da processi nel finito che fanno esattamente gli stessi servizi e conducono esattamente alle stesse eleganti relazioni formali, così in generale i modi inferenziali basati sull’infinito devono essere sostituiti con processi finiti che fanno gli stessi servizi, cioè che rendono possibili le stesse connessioni dimostrative e gli stessi metodi per ottenere formule e teoremi. È questo l’intento della mia teoria. Essa si propone l’obiettivo di dare una sicurezza definitiva al metodo matematico, alla quale non è pervenuto il periodo critico del calcolo infinitesimale (David Hilbert, Sull’infinito in Abrusci, op. cit., p. 234).» La chiarificazione della “natura dell’infinito” è di imponderabile importanza in Hilbert non solo per la sua continua applicazione in ambiti scientifici specializzati, ma anche per l’”onore stesso dell’intelletto umano”, che non è mai stato sollecitato da nessun concetto, da nessun’”idea” più bisognosa di chiarificazione come quella di infinito. Hilbert, nelle semplici formule elementari della teoria numerica, mostra come sia possibile ottenere infiniti enunciati con la sostituzione di un segno con qualsiasi numero, a differenza di equazioni già
numericamente definite che non pongono problemi di questo tipo e che pertanto non servono per la discussione sull’infinito. Tramite l’introduzione di “elementi ideali” afferenti all’ambito dell’algebra diviene possibile chiarire la natura e il significato dell’infinito in matematica. Il metodo hilbertiano degli elementi ideali era finalizzato a guidare e ad estendere lo sviluppo dei giudizi reali (finitari, non ideali), i quali, servendosi di concetti trascendentali che simbolizzavano operazioni su oggetti infinitistici per il trattamento di ampie porzioni della matematica ordinaria, potevano essere adoperati per un’adeguata rigorizzazione del transfinito atta a legittimare questo stesso poiché dominato a partire da mezzi finitari che lo rendevano necessariamente ammissibile e giustificabile. Pertanto, con l’applicazione del principio degli elementi ideali al corpo generale dei numeri algebrici, in cui si ritrovano le leggi di divisibilità per gli ordinari numeri interi, si sfocia nel campo dell’aritmetica superiore in cui l’analisi matematica, come “sinfonia dell’infinito”, svolge un ruolo essenziale. «L’analisi da sola, però, non ci conduce ancora alla migliore comprensione della natura dell’infinito. Questa si può ottenere piuttosto mediante una disciplina che è più vicina al
modo di pensiero filosofico generale e che fu concepita per porre in una nuova luce l’intero complesso delle questioni relative all’infinito. Questa disciplina è la teoria degli insiemi, creata da Georg Cantor (Ivi, p. 239).» Cantor, distinguendo fra “infinito potenziale” (totalità di concetti-limite in divenire che nasce ed è prodotto) e “infinito attuale” (unità conchiusa e totalità di oggetti dati in modo completo che rappresenta l’infinito matematico vero e proprio contro cui si scaglia il predicativismo di Poincaré), conia la teoria dei numeri transfiniti (insiemi di cardinalità più numerosa del numerabile, e pertanto non equipotenti con qualsiasi altro insieme numerico, raggruppabili in classi numeriche superiori), elaborando un calcolo completo per essi che prevede la possibilità di contare insiemi innumerabili nel senso ordinario. Successivamente a Cantor avviene la scoperta delle principali antinomie di carattere logico-insiemistico che mettono in crisi non soltanto la sua teoria degli insiemi, ma anche lo stesso pensiero matematico la cui sicurezza e verità sembrano sul punto di crollare a causa dei colpi inferti dalla matematica costruttivista che tenta di reimpostare completamente questa nuova parte feconda della matematica. Hilbert ritiene che la soluzione a questi problemi fondazionali, da cui dipendono anche le sorti delle possibilità del pensiero umano di giungere mai a qualche conoscenza certa, possa essere trovata sostanzialmente nella chiarificazione della natura dell’infinito valorizzato da Cantor, che si può effettuare attraverso ragionamenti di tipo contenutistico che, pur considerando l’irreperibilità empirica dell’infinito, ciononostante inducono a congetturarlo ipostaticamente per meglio comprendere e formulare, in senso universale, le osservazioni e le esperienze compiute in ambito matematico. Hilbert tenta di porre rimedio al problema dell’aritmetizzazione dell’analisi con l’aiuto del pensiero finitario a cui ricondurre la matematica transfinita cantoriana per mezzo degli “enunciati ideali”. Attraverso la rigorizzazione finitaria dell’infinito, che è il concetto, l’idea alla base di ogni procedimento logico e ragionamento della mente, Hilbert può ricercare quell’armonia di essere (la natura in cui non c’è la minima traccia dell’infinitamente grande e dell’infinitamente piccolo) e pensiero (dominato dall’idea regolativa dell’infinito che nella matematica trova il suo posto come limite supremo regolativo della conoscenza), mostrando come il pensiero finitario possa effettivamente regolare e dominare il pensiero transfinito (= infinito) con gli strumenti della formalizzazione e dell’assiomatizzazione. L’intuizione finitaria di Hilbert, che ha come suoi oggetti sia i numeri che i simboli come evidenti entità mentali che si rappresentano direttamente prima di ogni operazione logica, è maggiormente avvantaggiata nel trattamento della matematica transfinita rispetto all’intuizionismo brouweriano perché in grado di determinare l’infinito non più come un sistema in sé compiuto di elementi trattabile alla stregua di un ente finitario (cosa per cui Brouwer ha stigmatizzato il formalismo) ma come un sistema di entità che è più efficacemente dominabile a partire dall’istituzione di un trattamento assiomatico specifico che caratterizza le relazioni logiche (naturalmente non-contraddittorie per necessità) del sistema cui si riferisce e che solo attraverso il metodo assiomatico si dimostra pienamente dominabile (viene così salvata la matematica classica) e soddisfacente ai criteri del finitismo hilbertiano (l’infinito si mostra regolato dal pensiero finitario). Il finitismo brouweriano, sotto questo aspetto, può fornire una rappresentazione solo indiretta dell’infinito poiché incapace di costruire, al fine della sua dimostrazione, prove di oggetti matematici effettivamente prodotte dall’intuizione temporale dell’intelletto del “soggetto creativo” in virtù del fatto che i numeri reali sono introdotti indirettamente dalle sequenze di scelta (con cui tenta di fondare il continuo) che ovviamente non possono essere completabili e danno adito a procedure di calcolo che potrebbero proseguire all’infinito senza mai effettuare un dominio diretto e concreto dell’infinito. Perciò il continuo (la matematica infinitaria più in generale) pare essere il limite dell’intuizionismo, perché a causa della natura stessa di tale corrente di pensiero (che ammette solo ciò che è intellettualmente costruibile in maniera ineccepibile, ossia denumerabile) il problema dell’infinito va già ben oltre i criteri della matematica intuizionista in quanto mai dimostrabile nella sua esistenza completa (il che sarebbe contraddittorio, dato che l’infinito è per definizione incompletabile e l’intuizionismo, riconoscendone la necessaria (per esso) natura potenziale (mai attuale), offre una risposta debole con le sequenze di scelta che si pongono in contrasto deciso con i suoi dettami fondamentali). Il formalismo hilbertiano, per cui l’esistenza matematica è conferita dalla prova di consistenza effettuata a partire dagli assiomi, non si pone il problema della verità matematica cui fa riferimento l’intuizionismo (è vero ed esistente solo ciò che è costruibile), ma, ammettendo a-priori l’esistenza di totalità infinite in senso attuale (esistenza che non può essere ricostruita matematicamente nemmeno in senso potenziale, come tenta di fare Brouwer, perché l’infinità attuale del continuo è una realtà oggettiva ineludibile provabile per mezzo dell’assioma transfinito), si limita ad enunciare che la sua concepibilità è garantita e legittimata dal processo di assiomatizzazione che rende conto della matematica transfinita poiché ne fonda il trattamento attraverso i mezzi finitari (i procedimenti di rimpiazzamento della metamatematica, che dimostra la consistenza della stessa assiomatizzazione) propri della matematica finita, in cui si esercita il potere del pensiero finitario che effettua il suo dominio sull’infinito applicando ad esso gli stessi principi logici valenti per la matematica finitaria (che, dunque, permette di fondare la matematica infinitaria e, di conseguenza, l’intera matematica numerica).
In tal senso in Hilbert esiste solo ciò che non è contraddittorio, perché la matematica transfinita (che non può essere rappresentata intuitivamente nella sua completezza) può essere ammessa e regolata soltanto attraverso la sua prova di consistenza necessaria per giustificare in modo definitivo l’idea
stessa dell’infinito inestirpabile nel pensiero matematico, che solo con il formalismo sembra poter trovare il suo posto nella ricostruzione dei fondamenti della matematica. Hilbert espone che per totalità infinite non è possibile applicare lo stesso tipo di rapporti logici previsti nel caso della teoria concreta-contenutistica dei numeri, per la qual cosa si rende necessario un procedimento che possa applicare il principio del terzo escluso anche a questo tipo di matematica superiore. Per salvare la logica classica aristotelica, cui non vuole assolutamente rinunciare poiché altrimenti non sarebbe possibile fondare la matematica transfinita per mezzo del tertium non datur, Hilbert ritiene necessario che i matematici, nel trattare problemi afferenti all’ambito dell’analisi e alla teoria degli insiemi, aggiungano agli enunciati finitari gli enunciati ideali che esprimono i rapporti logici esplicantisi all’interno della matematica transfinita (e quindi dell’intera matematica numerica) conservando le semplici regole formali dell’usuale logica aristotelica. Per ottenere gli enunciati ideali, Hilbert introduce il metodo del calcolo letterale algebrico (non compreso nella teoria intuitiva-contenutistica dei numeri già superata dalla matematica elementare) per cui al posto dei segni metalinguistici di comunicazione costituenti gli enunciati finitari compaiono formule che formalizzano gli oggetti concreti delle considerazioni intuitive, sicché i teoremi contenutistici della teoria dei numeri vengono tradotti in un linguaggio formale in qualità di formule (quindi espressioni letterali) considerate in se stesse e prive di significato in quanto costrutti formali la cui dimostrazione di non-contraddittorietà può compiersi finitariamente con un numero preciso di operazioni oggettivamente indiscutibili che non necessitano di segni metateorici ed esprimono il contenuto degli enunciati finitari. «Generalizzando questa concezione, la matematica diviene un patrimonio di formule: in primo luogo, formule cui corrispondono comunicazioni contenutistiche di enunciati finitari, e in secondo luogo altre formule che non significano niente e che sono i costrutti ideali della nostra teoria (Ivi, p. 249).» Con l’introduzione degli enunciati ideali, è necessario formalizzare le operazioni logiche che in forma contenutistica non possono essere applicate agli enunciati ideali nella misura in cui non esprimono asserzioni finitarie e dunque non hanno significato, di modo che le stesse relazioni logiche, così come le dimostrazioni matematiche, sono formalizzate e risulta doveroso introdurre i segni logico-connettivi tipici della logica proposizionale e le variabili matematiche e logiche (indicanti gli enunciati). La logica aristotelica classica si trasforma definitivamente in calcolo logico-formale. Così operando, Hilbert, nella sua impresa di salvataggio della logica classica, impiega per la prima volta (a differenza del primo formalismo) le operazioni logiche in un ambito extra-semantico, giacché formalizzate nel linguaggio segnico da lui approntato in cui esse vengono effettuate su segni e stringhe continue di segni in maniera del tutto sintattica. Esse esprimono i rapporti logici di enunciati puramente ideali che agiscono su totalità infinite (quindi all’interno della matematica transfinita), perciò privi di significato (senza valore semantico). I simboli sono usati per la loro diretta manipolabilità, data dal fatto che sono costruzioni mentali, quindi prodotto dell’impostazione finitaria del pensiero umano, e la loro mancanza di significato sembra irrilevante per Hilbert, giacché sono strumenti formali iniziali imprescindibili la cui significatività si riscontra nel prosieguo delle formulazioni matematiche elaborate dal calcolo logico che permette loro di svilupparsi. Il pensiero matematico si esplica pertanto in un procedimento sintattico intrinsecamente dotato di significatività. La teoria della dimostrazione, di imponderabile importanza per il progetto fondazionale hilbertiano poiché permette di trattare questioni del pensiero matematico precedentemente intrattabili, rappresenta il fulcro dell’assiomatica impostata da Hilbert così da includere i principi fondamentali della logica aristotelica classica (il principio d’identità e non-contraddizione) e soprattutto del tertium non datur per mezzo di una funzione transfinita logica di scelta (un operatore logico) che assiomatizza nel linguaggio formale hilbertiano della fondazione matematica il principio di scelta zermeliano, ossia l’operatore ε (operatore che, come risulta dalle lezioni di Hilbert, sarebbe stato introdotto prima dell’operatore τ e consiste nell’esprimere un giudizio esistenziale come la possibilità di trovare un ente rappresentativo di una data proprietà).
La logica aristotelica viene codificata nel calcolo logico-formale hilbertiano alla condizione necessaria dell’introduzione dell’assioma logico della scelta in grado di trattare la matematica transfinita mediante la formalizzazione del principio zermeliano di scelta come caso speciale di applicazione del tertium non datur a totalità infinite. L’impianto logico-formale allestito da Hilbert, in cui vengono tradotti e preservati i principi logici aristotelici stanti a fondamento della logica proposizionale, si presenta perciò come l’unica costruzione matematica capace di trattare, con soli mezzi finitari, l’intera matematica numerica, finita e transfinita. Ogni problema matematico, dunque, può pertanto essere risolto in linea di principio secondo Hilbert grazie alla combinazione formale di enunciati finitari ed enunciati ideali per mezzo dei simboli opportunamente manipolabili attraverso regole di combinazione e trasformazione delle formule formate con i simboli stessi, per la qual cosa in matematica non esiste l’”ignorabimus”. Anche il famoso problema del continuo cantoriano (la questione se la conta transfinita può
estendersi ad altri insiemi non numerabili, quindi se i numeri reali possono essere contati sulla base dei primi numeri transfiniti) è passibile di risoluzione, come mostra Hilbert, mediante la transnumerazione al di là dell’infinito numerabile per cui Hilbert fa ricorso a due lemmi metamatematici (comunque non dimostrati) con cui in primis elimina il simbolo transfinito ε dalle definizioni delle funzioni numeriche di certe dimostrazioni generanti contraddizioni (o problemi irrisolti) rimpiazzandole con funzioni definite con recursione ordinaria (argomenti sono le variabili
numeriche ordinarie) e transfinita (argomenti sono le classi numeriche transfinite cantoriane sussunte dalle variabili basilari che originano variabili di altro tipo (le specie basilari) da cui poter definire funzioni-di-funzioni per la costruzione delle cardinalità superiori con le loro classi numeriche superiori (il continuo non è più concepibile come l’aggregato completo dei numeri reali assiomatizzabile allo stesso modo delle totalità finite)), in secundis elimina le stesse recursioni transfinite nella generazione delle funzioni numeriche atta alla definizione dei numeri transfiniti ricorrendo unicamente a recursioni ordinarie (quando compaiono funzioni definite con recursione transfinita che hanno variabili numeriche ordinarie come argomenti, come nel caso in cui in una funzione a due argomenti (un numero della seconda classe numerica e un numero ordinario) il primo sia definito in relazione al secondo così che l’intera funzione riguarda la variabile numerica ordinaria). L’infinito (il pensiero transfinito), infine, si dimostra esprimibile, dominabile e giustificabile a partire dal finito (il pensiero finitario), ossia a partire dalla costituzione finitaria del pensiero umano. Brouwer non ammetteva la costruzione di enunciati esistenziali (in quanto reputati privi di significato) così come qualsiasi altra formula prevista nel formalismo hilbertiano che gli dava l’impressione di far degenerare la matematica in un puro gioco di simboli. Hilbert controbatte che le dimostrazioni di esistenza condotte per mezzo dell’ε-funzione logica sono indispensabili per stabilire i teoremi generali della matematica transfinita e per tentare di supporre la dimostrazione di alcuni fra i più grandi problemi matematici. La sintatticità dell’impianto fondazionale hilbertiano non si limita alla mera manipolazione dei segni, va oltre il momento logico-formale iniziale della costruzione matematica per rintracciare le forme fondamentali del pensiero matematico che, pur essendo di carattere algebrico-formale, è nondimeno l’espressione diretta delle dinamiche di esplicazione del ragionamento umano che agisce in modo finitario con l’ideazione e la successiva manipolazione dei segni prodotti dalla mente. Gli assiomi hilbertiani sono modificabili ed estendibili e sono, per Hilbert, i principi fondamentali dell’impostazione finitaria del pensiero umano. Essi non sono più soltanto, come per Brouwer, verità innegabili (fino a prova contraria) che dipendono dai principi della logica classica, ma forme del pensiero umano che si servono di elementi ideali per la trattazione di ogni problema (incluso l’infinito, quindi il transfinito e il continuo) sulla solida base del tertium non datur che è la chiave di volta per il corretto sviluppo della matematica. Benché Brouwer imputasse ad Hilbert, in maniera simile a Poincaré riguardo alla questione dell’induzione completa, la formazione di un circolo vizioso dato dal fatto che, stando alla sua interpretazione, la prova di consistenza delle proposizioni permetteva di stabilire a prescindere la loro correttezza sulla base della presupposta correttezza del tertium non datur, egli dimostrò di non avere compreso appieno gli effetti apportati dalla distinzione hilbertiana fra proposizioni reali ed ideali (introdotte dall’assioma transfinito che legittima l’estensione del tertium non datur a totalità infinite, diversamente dal pensiero di Brouwer) all’interno di un sistema (se le per le proposizioni ideali non aveva senso parlare di correttezza, una proposizione reale era ammissibile come corretta (così da rendere ammissibile la corrispondente proposizione ideale) solo nel caso in cui fosse stata dimostrabile all’interno del sistema formale, il che equivaleva implicitamente a provare la consistenza con soli mezzi finitari non solo della proposizione ma anche del sistema senza l’instaurarsi di alcun circolo vizioso). L’imprescindibilità del tertium non datur, che è una conseguenza dell’assioma logico dell’ε, è ribadita come l’elemento vitalizzante della scienza matematica che, altrimenti, non avrebbe via di scampo di fronte ai problemi attanaglianti che le si pongono (soprattutto in seguito all’emergere dell’ipotesi del continuo che diede inizio alla trattazione della matematica transfinita); se eliminato, non sarebbe più garantita la possibilità ideale di risolvere ogni tipo di problema e la logica
crollerebbe su se stessa. Hilbert intende sostenere che l’uomo, col solo ricorso al pensiero finitario, può rendere conto dell’infinito grazie all’armonia di pensiero ed esperienza garantita dal metodo assiomatico formale, che esplica le dinamiche del pensiero umano che formano gli assiomi. Ciò avviene sulla base a-prioristica delle procedure finitarie di pensiero che costituiscono il finitismo della mente umana. L’unico vero a-priori concesso in Hilbert è il finitismo della mente umana che può dominare le idee trascendentali della ragione come l’infinito, che, pur non essendo provabili con l’esperienza, servono a meglio comprendere quest’ultima con il loro trattamento matematico prodotto dall’intelletto umano che è regolato dall’impostazione (finitaria per natura) del pensiero. «Abbiamo visto: l’infinito non è mai realizzato; non è presente nella natura e, senza speciali precauzioni, non è ammissibile come un principio del nostro pensiero. In ciò io scorgo un importante parallelismo tra natura e pensiero, una fondamentale coincidenza tra esperienza e teoria (David Hilbert, Conoscenza della natura e logica in Abrusci, op. cit., p. 304).» Il pensiero, essendo per natura di costituzione finitista, allora non potrà che avere una diretta corrispondenza (di carattere appunto matematico) con la natura che è altrettanto finita nella sua costituzione. Così, l’armonia prestabilita hilbertiana non è metafisica, ma data dalla coincidenza del finitarismo della natura della mente umana, che può trattare l’infinito in maniera finitaria per sviluppare le proprie conoscenze perfezionandole e completandole, con il finitarismo della natura della realtà, in cui infatti non si rileva l’infinito. Pensiero ed esperienza, natura e teoria sono accomunate dalla loro struttura fondamentalmente matematica. «Possiamo comprendere queste coincidenze tra natura e pensiero, tra esperimento e teoria, soltanto se sia rispetto alla natura che rispetto al nostro intelletto teniamo conto dell’elemento formale e del meccanismo ad esso connesso. Mi sembra che il processo matematico dell’eliminazione fornisce i punti di sosta e le tappe in cui tanto i corpi del mondo reale che i pensieri del mondo mentale indugiano e si offrono con ciò al controllo e al confronto (Ivi, p. 305).» L’impostazione finitaria a-priori della filosofia della matematica hilbertiana risulta più idonea dell’a-priori temporale brouweriano per una fondazione completa della matematica perché, riconoscendo i limiti propri dell’intelletto nel tentare di rappresentarsi serie infinite di numeri che non sono direttamente carpibili intuitivamente (quindi non sono effettivamente costruibili e pienamente dimostrabili), diversamente dall’intuizionismo che prova ad aggirare tali limiti per il trattamento dell’infinito appellandosi agli interventi costruttivistici del “soggetto creativo” che contraddicono in larga parte i fondamenti stessi dell’intuizionismo e falliscono apertamente nel loro
tentativo di ricostruire in maniera intuitivamente valida l’infinito, si fonda sull’uso di oggetti extralogici (i simboli) considerati come prodotti dell’intuizione matematica stessa al pari dei numeri che permettono di dominare l’infinito (ammesso nella sua esistenza attuale) mediante la prova della sua consistenza che ne determina l’esistenza. L’esistenza dell’infinito, sembra voler intendere il formalismo, non può essere dimostrata dalla sua costruzione completa (compito assolutamente impossibile), ma può essere raggiunta seguendo il sentiero che porta al riconoscimento della sua non-contraddittorietà, quindi della sua ammissibilità matematica dal momento che la dimostrazione di non-contraddittorietà può conseguirsi soltanto con
l’estensione all’ambito del transfinito delle stesse relazioni logiche vigenti per la matematica finitaria che, fondata sul pensiero finitario, giustifica la fondazione della matematica infinitaria. In tal modo, rendendosi necessaria l’applicazione dei principi logico-matematici classici per il dominio completo del transfinito, diviene naturale per Hilbert dover salvare inevitabilmente la matematica classica che su quei principi si fonda (in particolar modo il tertium non datur) e che è implicata dall’assioma transfinito dell’ε che tutela l’assiomatizzazione zermeliana della teoria degli
insiemi cantoriana, che non ha alcun bisogno di essere rifondata o mutilata come prescritto dall’intuizionismo («Brouwer’s failure to resolve these conflicts in his theory and practice was, in my opinion, the main cause of the demise of his programme. It led to confusion and to the ‘unbearable awkwardness of his Intuitionist Mathematics’, to his loss of self-confidence and his ‘silence’ (Walter P. van Stigt, Brouwer’s Intuitionism, Elsevier Science Publishers B.V., 1990, p. 271)»). Brouwer ha mostrato che per la fondazione della matematica è necessario partire dalla considerazione della costituzione intuitiva delle cifre; Hilbert, riconosciuto il suo insegnamento nel campo della matematica finitaria, ha compreso come fosse necessario procedere alla realizzazione di formalismi sempre più potenti per il trattamento quanto più rigoroso possibile della matematica transfinita, quindi dell’idea radicale dell’infinito che fa da palcoscenico del complesso universale delle operazioni matematiche. L’assiomatizzazione della matematica infinitaria (legittimata dalla metamatematica) può consentire di esercitare la matematica transfinita muovendosi su basi finitarie che fondano l’infinito e lo rendono matematicamente trattabile e dominabile. «Io credo che, alla fin fine, anche la conoscenza matematica si basa su un certo tipo di tali vedute intuitive e che perfino per la costruzione della teoria dei numeri abbiamo bisogno di una certa impostazione intuitiva a-priori. Con ciò, quindi, mantiene la sua importanza l’idea basilare più generale della gnoseologia kantiana: cioè il problema filosofico di stabilire l’impostazione intuitiva a-priori, e con ciò indagare la condizione della possibilità di ogni conoscenza concettuale e insieme di ogni esperienza. Io penso che in sostanza proprio questo è avvenuto nelle mie indagini sui principi della matematica. Qui l’a-priori non è né più né meno che un’impostazione fondamentale, ovvero l’espressione di certe precondizioni indispensabili del pensiero e dell’esperienza (David Hilbert, Conoscenza della natura e logica in Abrusci, op. cit., pp. 306-307).» L’unico a-priori concesso in Hilbert è quello dell’impostazione finitaria a-priori dell’intelletto che permette di dominare il transfinito (= l’infinito) come il finito con un numero finito di operazioni e inferenze logiche. «Al posto dello stolto ignorabimus, la nostra parola d’ordine è invece: noi dobbiamo sapere, noi sapremo (Ivi, p. 311).»
Nel 1931 Gödel, in riferimento alla fondazione della matematica di tipo formalista, si accorse con i suoi due teoremi di incompletezza che l’aritmetizzazione della metamatematica induceva inevitabilmente alla conclusione che esistono formule che non sono dimostrabili (come vere o false) all’interno del formalismo, quindi non decidibili. In tal modo, in questo primo teorema, si dimostrò l’incompletezza del sistema formale della matematica. Gödel dimostra che la risolvibilità di ogni problema non è più perseguibile in linea di principio in modo libero come sostenuto da Hilbert all’interno di un sistema formale, che Gödel dimostra essere incompleto e restare incompletabile. La matematica, formulata nel senso hilbertiano, non è più assolutamente certa. La conseguenza fondamentale cui giunge la prova di Gödel nel primo teorema di incompletezza è l’impossibilità di determinare i fondamenti della matematica, che pertanto resta infondabile. Il secondo teorema è una diretta conseguenza del primo, in quanto afferma che, se un sistema formale corretto in grado di esprimere una certa porzione dell’aritmetica si dimostra incompleto, allora la sua coerenza non è dimostrabile al suo interno. Con il secondo teorema si afferma in sostanza che la non-contraddittorietà di un sistema formale è espressamente vincolata al mantenimento della sua incompletezza, dal momento che, se se ne volesse provare la coerenza dal suo interno, allora si dovrebbe dare la dimostrazione di una formula indimostrabile all’interno del formalismo, producendo ciò un caso evidente di contraddizione per cui la coerenza del sistema formale svanirebbe. Il decisivo indebolimento del programma hilbertiano ricorre dunque a metodi di costruzione di enunciati matematici a partire dalle proposizioni metamatematiche che possono ricordare vagamente la libertà costruttiva ammessa nell’intuizionismo (libertà comunque vincolata al criterio della denumerabilità), ma allo stesso tempo la riflessione gödeliana se ne discosta poiché l’aritmetizzazione della sintassi comporta in ogni caso la produzione di formule che, pur costruite liberamente, rimangono comunque non dimostrabili e pertanto esistenti matematicamente senza l’ausilio di una prova diretta mentalmente costruibile (come richiesto dall’intuizionismo) o di un procedimento formale che ne determini la dimostrazione (come preteso dal formalismo). L’intervento di Gödel pone in risalto pertanto i limiti intrinseci dei tentativi fondazionalisti sia di Brouwer che di Hilbert, limiti riscontratisi nella possibilità di fornire una dimostrazione per ogni genere di problema matematico. La fondazione della matematica rimane in conclusione un problema ancora aperto, sebbene Gödel non scartasse la possibilità che in futuro sarebbe stato possibile proseguire con mezzi finitari sempre più potenti per risolvere tale diatriba e assicurare delle fondamenta stabili al pensiero matematico che ne ponessero al riparo l’assoluta certezza.

Bibliografia

• Ernst Nagel e James R. Newman, La prova di Gödel, Editore Boringhieri, 1961
• L.E.J. Brouwer, L.E.J. Brouwer Collected Works Vol.1, North-Holland Publishing Company, 1975
• V. Michele Abrusci, Ricerche sui fondamenti della matematica, Bibliopolis, 1978
• Walter P. van Stigt, Brouwer’s Intuitionism, Elsevier Science Publishers B.V., 1990
• Miriam Franchella, L.E.J. Brouwer pensatore eterodosso. L’intuizionismo tra matematica e filosofia, Edizioni Angelo Guarini e Associati, Milano, 1994
• Paolo Mancosu, From Brouwer to Hilbert. The debate on the foundations of mathematics in the 1920s, Oxford University Press, New York, 1998
• William Ewald, From Kant To Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Clarendon Press, 1999
• Immanuel Kant, Critica della ragion pura, Adelphi Edizioni, 1999
• Dennis E. Hesseling, Gnomes in the fog. The reception of Brouwer’s Intuitionism in the 1920s, Springer Basel AG, 2003
• Francesco Berto, Tutti pazzi per Gödel! La guida completa al teorema di incompletezza, Editori Laterza, 2008

*Giovanni Mazzallo Laureato magistrale all’Università di Catania in Filosofia della scienza e laureato magistrale alla Scuola Superiore di Catania (college d’eccellenza dell’Università di Catania) in Filosofia della fisica. Si occupa di filosofia della scienza, logica, filosofia della fisica e storia-critica-filosofia del cinema.

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