Filosofia e nuovi sentieri

«Mi rappresento il vasto recinto delle scienze come una grande estensione di terreno disseminato di luoghi oscuri e illuminati. Lo scopo delle nostre fatiche deve essere quello di estendere i confini dei luoghi illuminati, oppure di moltiplicare sul terreno i centri di luce. L’un compito è proprio del genio che crea, l’altro della perspicacia che perfeziona» Denis Diderot

Hilbert e Brouwer: la questione dell’infinito in matematica – Parte prima

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di Giovanni Mazzallo*

 

Abstract: La scoperta della geometrie non-euclidee, avvenuta verso la fine del XIX secolo, ha originato una lunga serie di riflessioni in merito alla certezza del pensiero matematico. Tali riflessioni sono atte a reperire i fondamenti della matematica perché da essi dipende la formulazione del sapere geometrico nella sua consistenza e completezza. La necessità di assiomatizzare la geometria implica la fondazione della matematica. L’impedimento più grande alla fondazione della matematica è rappresentato dall’aritmetizzazione del continuo (lo spazio), che costituisce il problema essenziale della matematica transfinita (che tratta l’infinito attuale). La fondazione formalista hilbertiana opera un trattamento logico-assiomatico della matematica atto a dimostrarne la non-contraddittorietà così come la consistenza dei suoi stessi assiomi (metamatematica); l’impostazione intuizionista brouweriana, invece, ricerca una fondazione puramente matematica che prescinde dalle basi logiche ed è vincolata al solo criterio della denumerabilità. La denumerabilità, in Brouwer, contrassegna gli enti matematici in quanto costrutti fondati su prove originate dall’intuizione a-prioristica temporale. Hilbert, riconoscendo nella seconda fase del suo formalismo la natura necessariamente attuale (e non potenziale) del continuo, mostra come l’infinito attuale possa essere trattato unicamente per mezzo del principio del terzo escluso (ricorrendo alla metamatematica per accertare la validità degli enunciati matematici transfiniti). Il principio del terzo escluso rappresenta per Hilbert il solo strumento con cui trattare l’infinito attuale poiché quest’ultimo non è gestibile nella sua infinita progressione dall’intelletto, ma può essere riconosciuto nei limiti numerici degli insiemi che lo compongono mediante l’assioma del transfinito (che applica il principio del terzo escluso). L’infinito attuale, pertanto, è concepibile ai fini della fondazione della matematica solo se trattato finitariamente attraverso la sua stessa aritmetizzazione (come dimostrato dall’assioma del transfinito, che si accompagna agli assiomi della matematica finitaria nell’assiomatizzazione della matematica). Il principio del terzo escluso è invece sospeso in Brouwer fino all’effettivo conseguimento delle prove delle entità matematiche, benché sia implicitamente utilizzato nella costruzione del continuo. L’intuizionismo si rivela perciò autocontraddittorio e, data la natura ineludibilmente attuale del continuo, non può trattare l’infinito attuale perché questo trascende il criterio della denumerabilità. L’infinito attuale, come Hilbert dimostra, può essere solo riconosciuto (e non costruito) logicamente; la fondazione dell’intera aritmetica, che ha bisogno nell’ambito della matematica finitaria di enti concreti-intuitivi (ossia puramente aritmetici, non logico-formali) alla maniera brouweriana (enti da cui poi prende avvio la formalizzazione della matematica finitaria), necessita nel campo della matematica transfinita dei simboli del formalismo hilbertiano. Gödel, con i suoi due teoremi di incompletezza derivanti dall’aritmetizzazione della metamatematica, avrebbe poi mostrato i limiti delle pretese fondative hilbertiane, senza però escludere che un rafforzamento dei mezzi finitari possa indurre in futuro a fondare in modo migliore la matematica.
Nella seconda metà del XIX secolo una grande rivoluzione epistemologica sottostante alla crisi della scienza classica galileiano-newtoniana provoca l’emergere di interrogativi di fondo sui fondamenti della matematica (intesa da Euclide a Kant come un sapere perfetto) e della fisica (assicurata contro ogni dubbio da Newton alla Critica della ragion pura). Nell’ambito delle scienze matematiche si prospetta un radicale processo di unificazione e rifondazione mirato a costituire un ramo dello scibile autonomo, saldo e coerente. Tale processo trova le sue prime manifestazioni nella nascita delle geometrie non-euclidee. La questione dei fondamenti è al centro dell’attenzione dei matematici dalla fine del XIX secolo all’inizio del XX e non è che una parte (benché di grande rilevanza) della straordinaria attività di ricerca del reale iniziatore di un complesso piano di autofondazione della matematica che si propone di attuare una fondazione della matematica a partire dalla matematica stessa: David Hilbert (1862-1943). Il suo influsso nella storia della filosofia della matematica si concretizza nell’assumere le ipotesi che stanno alla base della geometria, della fisica e della matematica come oggetto di un’indagine razionale atta a scandagliarne la non-contraddittorietà. Tale convinzione lo portò nel corso degli anni alla costituzione di un singolare programma di ricerca, definito per l’appunto Programma Hilbertiano, che prevedeva la formalizzazione delle teorie matematiche sufficientemente sviluppate in un preciso linguaggio formale che poneva le basi logiche necessarie per lo sviluppo delle teorie matematiche (attraverso la formalizzazione della logica proposizionale e dei principi aristotelici). «Si tratta cioè di svuotare di ogni significato le espressioni presenti nel sistema, le quali devono essere considerate come semplici segni. È necessario, poi, enunciare un insieme di regole, chiaramente precisate, per sapere come combinare e manipolare questi segni (Ernst Nagel e James R. Newman, La prova di Gödel, Editore Boringhieri, 1961, p. 31).» Il programma di Hilbert dunque, una volta condotto a termine, avrebbe offerto la prova del fatto che una teoria matematica sufficientemente sviluppata poteva essere dimostrata nella sua non-contraddittorietà attraverso la sua formalizzazione poiché quest’ultima poggiava su un insieme finito, completo e consistente di assiomi che non avrebbe permesso di ottenere alcuna contraddizione all’interno del formalismo della matematica. Dato il carattere di irriconducibilità ad altro della teoria formale dei numeri, alla quale invece si riconduceva la dimostrazione della consistenza di tutte le altre teorie matematiche, Hilbert si propose di dare dimostrazioni su ciò che si può e non si può dimostrare in matematica ricorrendo alla metamatematica (o teoria della dimostrazione).
«La metamatematica era considerata da Hilbert come una vera e propria branca della matematica: quella branca che si occupa di dare dimostrazioni intorno a ciò che si può, o non si può, dimostrare in matematica (…) dimostrando metamatematicamente la coerenza dell’aritmetica formalizzata con metodi puramente finitari (Francesco Berto, Tutti pazzi per Gödel! La guida completa al teorema di incompletezza, Editori Laterza, 2008, p. 50).» In Hilbert la metamatematica è il linguaggio che descrive dal di fuori la matematica (mutata, ai fini della formalizzazione, in un sistema di segni svuotato di significato contenutistico ma non di valore semantico, dato che i segni stanno al posto di qualsiasi numero nelle formule della matematica formalista e quindi non hanno valore unicamente sintattico), corredato di affermazioni dotate di significato in merito alla disposizione, collocazione e relazione dei segni componenti la matematica per dimostrare la non-contraddittorietà di un formalismo («teoria generale delle relazioni e delle proprietà formali … cosicché … ogni costruzione logica di pensieri, per la struttura esteriore che necessariamente le è connessa, cade nell’ambito della trattazione matematica (Paul Bernays 1922 in Ricerche sui fondamenti della matematica a cura di V. Michele Abrusci, Bibliopolis, 1978, p. 116)»). Le proposizioni metamatematiche preludono alla possibilità di effettuare un controllo delle caratteristiche sintattiche del sistema formale, quindi delle sue proprietà strutturali come la condizione ineludibile della non-contraddittorietà, attraverso una loro diretta formalizzazione in modo da mostrare la coerenza del sistema dal suo interno. Il programma di Hilbert prevedeva senz’altro quindi l’opportunità di poter risolvere ogni problema matematico mediante la prova della coerenza del sistema formale per l’aritmetica. Presto sorse il problema epistemologico degli strumenti da adottare all’interno di questa nuova subdisciplina della matematica (la metamatematica) evitando l’applicazione di strumenti tipici dell’aritmetica che avrebbero fornito solo una dimostrazione circolare della non-contraddittorietà dell’aritmetica. In un primo momento la soluzione hilbertiana consistette nell’adottare solo un frammento dell’aritmetica, ossia l’aritmetica finitista, che non implicava un coinvolgimento della infinità dei
numeri né tantomeno del concetto di infinito in atto. Solo ragionamenti di tipo finitario sarebbero stati adoperati nella prova di coerenza dell’aritmetica formalizzata. Successivamente nel programma di Hilbert sarebbe confluito il problema annoso degli enunciati matematici propri dell’aritmetica non finitaria, considerata da Hilbert “ideale” rispetto all’aritmetica finitaria “reale”. Le pretese fondative di Hilbert, che poggiavano sul ricorso alla metamatematica come analisi della non-contraddittorietà degli assiomi, non potevano però essere corredate di una prova di consistenza che valesse anche per le proposizioni metamatematiche, poiché mediante la loro aritmetizzazione (come dimostrato in un secondo momento da Kurt Gödel con i suoi teoremi di incompletezza) è possibile ottenere un enunciato che non è dimostrabile all’interno dell’edificio fondazionale hilbertiano. La prima fase delle ricerche fondazionali della matematica prese avvio a partire dal 1899 con Grundlagen der Geometrie per finire nel 1904 con Uber die Grundlagen der Logik und der Arithmetik; la seconda fase iniziò con Axiomatisches Denken (1917) ed ebbe il suo culmine emblematico nei due poderosi volumi di Grundlagen der Mathematik (1934 e 1939) scritti con l’assistente Paul Bernays. Nella prima fase Hilbert mira ad una fondazione delle teorie e dei concetti matematici secondo il metodo assiomatico formale. Il metodo assiomatico formale moderno si distingue da quello contenutistico antico per la totale astrazione dal contenuto intuitivo dei concetti basilari di una teoria assiomatica conseguita attraverso i segni le cui combinazioni formano gli assiomi; gli assiomi definiscono gli enti matematici, sono riconosciuti come validi sulla base della dimostrazione della non-contraddittorietà degli enti matematici da essi stessi definiti e possiedono “forma esistenziale” e “carattere creativo” (la dimostrazione di non-contraddittorietà fornita da un sistema di assiomi per un concetto matematico vale come dimostrazione dell’esistenza di quel concetto e una dimostrazione di un teorema in una teoria matematica può richiedere l’aggiunta di nuovi assiomi). Una teoria così organizzata prende il nome di “teoria assiomatica formale”. Nella seconda fase si assume come contenutisticamente sicura la “matematica finitaria”, mentre la matematica da fondare è la “matematica transfinita”; ossia la fondazione di tutta la matematica è ricondotta alla fondazione della “matematica numerica”, comprendente l’aritmetica dei numeri naturali (matematica finitaria), l’analisi e la teoria degli insiemi (matematica transfinita). Hilbert, pur provando una forte ripugnanza nei confronti delle matematiche che fanno uso di concetti astratti ed insiemi infiniti, riconosce ciononostante il valore teoretico della matematica transfinita, ma non vede in essa alcuna garanzia contro l’insorgere di paradossi (paradossi di Burali-Forti, Richard, Russell). Inizialmente la ricerca dei fondamenti fu tesa al reperimento del fondamento ultimo di tutta la matematica nelle espressioni di carattere aritmetico che erano già state sviluppate antecedentemente, quali la concezione dei numeri relativi e razionali come un’estensione dei naturali attraverso la sottrazione e la divisione e l’interpretazione aritmetica della geometria classica per mezzo della geometria cartesiana. L’impedimento più grande all’aritmetizzazione era costituito dal concetto fondamentale nell’analisi di continuo, di continuità, non intuibile come successione di punti definibili per mezzo dei numeri reali («Lo spazio consta soltanto di spazi, il tempo di tempi. Punti e istanti sono soltanto limiti, cioè semplici termini della delimitazione di quelli; ma i termini presuppongono sempre quelle intuizioni che essi debbono limitare o determinare, e coi semplici termini, che fossero pur dati innanzi allo spazio o al tempo, non può formarsi lo spazio, né il tempo (Immanuel Kant, Critica della ragion pura, Adelphi Edizioni, 1999, pp. 245-246).»). La fondazione della matematica necessitava pertanto di un adeguato trattamento del continuo (dunque dell’intera matematica proseguibile idealmente all’infinito perché i numeri reali non sono mai sufficienti a riempire aritmeticamente lo spazio) che Georg Cantor approntò dando origine alla matematica transfinita riguardante l’infinito attuale. Per Cantor il numero è il risultato di una funzione che pone in relazione biunivoca due insiemi (finiti od infiniti) equivalenti (aventi la stessa potenza o cardinalità). In tal modo Cantor non solo può affrontare insiemi infiniti e confrontare la loro cardinalità, ma mostra anche che l’insieme degli irrazionali compresi fra 0 e 1 è più numeroso dell’insieme dei razionali, così che esso non gode di corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali. Introduce perciò il concetto di insiemi (o numeri) transfiniti, che rappresentano nella teoria degli insiemi i numeri ordinali (per cui ogni numero è l’insieme di tutti i numeri che lo precedono e, nella fattispecie, i numeri ordinali transfiniti costituiscono insiemi che vanno oltre le sequenze degli ordinali finiti poiché inclusivi di successioni infinite) con cardinalità maggiore di aleph con zero (potenza dei numeri naturali che rappresenta l’infinito potenziale), si possono generare all’infinito dagli insiemi che precedono e possono essere raggruppati in ulteriori costruzioni insiemistiche rappresentanti numeri transfiniti più alti (come la seconda classe numerica comprensiva di tutti i numeri ordinali transfiniti, rappresentante l’infinito attuale e reputata il secondo numero ordinale infinito più piccolo dopo aleph con zero, che è definito da Hilbert “infinito minimo”). A partire dalle considerazioni emerse dai tentativi di aritmetizzazione dell’analisi, è possibile rintracciare la presenza di due indirizzi distinti di pensiero senza i quali risulta quasi impossibile comprendere le ragioni che portarono Hilbert alla formulazione del suo programma e al suo tentativo di identificare, individuare e ricostruire le fondamenta che stanno alla base della matematica come scienza: il logicismo e l’intuizionismo. Gottlob Frege per primo sostenne che l’aritmetica non è altro che logica, nel senso che i concetti aritmetici sono definibili logicamente e che i teoremi dell’aritmetica sono inferibili dai principi logici, eseguendo così la traduzione della tradizionale logica sillogistica aristotelica in un impianto di calcolo logico (comprensivo per la prima volta di quantificatori) in seguito meglio definito nel suo carattere formale da Hilbert. Il numero, per Frege, è legato all’estensione dei concetti, quindi alle classi (idea di numero come insieme degli oggetti che ricadono sotto il concetto definente il numero). Ma il suo tentativo di dimostrare in dettaglio questa tesi non poté essere completato dopo che Bertrand Russell, nel 1902, annunciò di avere derivato una contraddizione (il paradosso di Russell dell’insieme di tutti gli insiemi che non contengono se stessi come elemento) entro il sistema logico di Frege (la cui decaduta rischiava di sancire l’inconsistenza della teoria insiemistica transfinita cantoriana). Egli stesso decise in seguito di rilanciare il programma logicista proponendo la teoria dei tipi (semplice e ramificata) per la ricostruzione logica dell’intera matematica. Ben presto, però, il frequente ricorso a postulati creati ad hoc per colmare vuoti strutturali nella sua teoria e il rigetto delle definizioni impredicative (definizioni in cui il definiente contiene il definito dipendendone indirettamente, così da esporsi alle antinomie logiche già evidenziate in Frege), che rendevano impossibile fondare una parte cospicua della matematica, condurre dimostrazioni ormai considerate definitive (la cardinalità cantoriana dell’insieme delle parti) e giustificare le consuete costruzioni dei numeri reali, misero in crisi il progetto logicista. Il matematico olandese L. E. Jan Brouwer (1881-1966) pose a fondamento del numero, e della verità matematica, l’intuizione. La matematica si sviluppa in base all’intuizione e non è bisognosa di fondazione in senso logico in quanto presupposta da ogni elaborazione di strutture concettuali. Per Brouwer ogniqualvolta linguaggio e logica si caricavano di istanze fondazionali, si avvertiva la presenza di antinomie. «The paradoxes become a purely linguistic matter, and thus a problem only for those mathematicians who fail to make Brouwer’s sharp distinction between mathematics and language. Brouwer regarded the paradoxes as mere concatenations of words: words that do not correspond to any mathematical construction that can be executed by the creating subject. As he says, one simply sees that the construction no longer goes; logic and language are beside the point (William Ewald, From Kant To Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Clarendon Press, 1999, p. 172).» Hilbert d’altro canto riteneva di poter dimostrare all’interno della metamatematica la struttura coerente della scienza del numero e della matematica senza logicizzazione del numero e della matematica, ma con matematizzazione della logica (che utilizza già implicitamente per Hilbert i concetti di insieme e numero) che presupponeva l‘avvento della metamatematica stessa i cui metodi dimostrativi della prova di coerenza del sistema preso in esame erano di carattere finitario. «“Rendere conto” della matematica significa costruirla formalmente e giustificarla razionalmente. Ed è con questo atteggiamento che, all’inizio delle sue ricerche fondazionali, Hilbert pensa che al di fuori dell’esperienza non si debba ammettere nulla, mentre successivamente è indotto ad assumere come fonte di conoscenza e come dato anche l’intuizione finitaria (Abrusci, op. cit., p. 112).» Il periodare hilbertiano sui fondamenti della matematica rivela la problematicità del compito che Hilbert ha voluto assumersi. Tale problematicità, con tutti i suoi risvolti, sarà trattata attraverso la trattazione delle sue principali opere filosofico-matematiche alla luce dei risultati raggiunti dal pensiero intuizionistico brouweriano teso a delineare chiaramente i limiti cui il formalismo hilbertiano andò inevitabilmente incontro nel momento in cui si prefiggeva il compito di fornire una risposta precisa ad ogni problema matematico ben definito in base o alla dimostrazione della sua soluzione o all’impossibilità di fornirne una in virtù di un processo di assiomatizzazione che, per Brouwer, è meramente esterno alla consueta pratica matematica reale consistente in creazioni fornite dall’intuizione a-prioristica del tempo, da parte dell’intelletto umano. «Brouwer makes it clear that to him, the activity of mathematical construction should be separated from the language in which the activity is described afterwards. Logicians only speak about the latter, whereas it is the former that constitutes real mathematics. The mental constructing of mathematics is a languageless activity (Dennis E. Hesseling, Gnomes in the fog. The reception of Brouwer’s Intuitionism in the 1920s, Springer Basel AG, 2003, p. 39).» L’intuizionismo brouweriano prevede essenzialmente una riedificazione completa della matematica su basi riflessive del tutto rivoluzionarie ed inusitate al pensiero matematico del tempo, implicanti in molti casi l’aperta refutazione di parti consistenti della matematica classica e della logica tradizionale (il principio del tertium non datur) che il pensiero finitario hilbertiano tentava invece attraverso il suo impianto formalista di salvaguardare per garantire la possibilità di dare un solido fondamento, per mezzo della sola matematica, alla conoscenza umana individuando nella matematica stessa, e nel pensiero finitario che la produce atto alla risoluzione ideale di ogni problema con un numero finito e ben preciso di mezzi, la fonte essenziale delle dinamiche dominanti del ragionamento umano e della logica che lo sorregge (come manifestato dall’utilizzo dei segni), senza la cui fondazione il pensiero umano stesso diverrebbe privo di qualsiasi “ubi consistam”. Brouwer, individuando nel dogma hilbertiano della risolvibilità di ogni problema la fallacia maggiore della matematica classica (applicante il principio del terzo escluso), pone in forte crisi il progetto originario di Hilbert dando vita al più interessante e acceso dibattito sui fondamenti della matematica che interessò gli anni ’20 del secolo scorso e che non ha mai visto prevalere in modo definitivo una scuola di pensiero rispetto all’altra. «He then had simply dismissed the Principle of the Excluded Middle (PEM) as based on the assumption that every mathematical hypothesis can either be proved to be true or be proved to be false, concluding that ‘therefore the Principle of the Excluded Middle is unreliable when applied in an infinite system’, but conceding that ‘its unjustified use will never lead to a contradiction and so show-up the fundamental flaws in the argument’ (Walter P. van Stigt, Brouwer’s Intuitionism, Elsevier Science Publishers B.V., 1990, p. 85).» I teoremi di incompletezza gödeliani non precludono la possibilità futura di un potenziamento dei mezzi con cui cercare di fondare l’intera matematica, assicurando quindi la sua certezza e non-contraddittorietà anche in merito alla sua porzione transfinita che, se da Brouwer era ricondotta alla potenza numerica di tutto ciò che è denumerabile (concezione di infinito attuale reso potenziale alla maniera intuizionistica, che comportava un necessario rilassamento del tertium non datur a favore dell’operare libero del “soggetto creativo” per la costituzione dei numeri reali (e quindi del continuo)), da Hilbert era invece trattata a partire dall’assioma transfinito. Il finitismo ricercato da Hilbert per il buon esito del suo programma è strettamente correlato ad una concezione contenutistico-intuitiva della matematica finitaria che lo pone a stretto contatto con l’intuizionismo brouweriano, con cui condivide anche la ricerca di un’effettiva prova di consistenza degli enunciati matematici effettuata però in maniera differente (per Hilbert una dimostrazione equivale alla derivazione o meno di una contraddizione a livello formale, per Brouwer coincide con la costruzione mentale di una prova e con l’applicazione del metodo per costruire una prova nel caso di strutture infinite). Ciononostante, il formalismo hilbertiano e l’intuizionismo brouweriano sono fondati su presupposti epistemologici differenti che, pur comprendendo il comune denominatore costituito dal finitismo, presentano nelle due impostazioni di pensiero concezioni assai diverse di concetti fondamentali come la consistenza, la verità e l’esistenza matematica, indagati da Hilbert sulla base del suo metodo assiomatico formale e da Brouwer sulla base di quel matematico ideale che è il “soggetto creativo”, per il quale esiste solo ciò che può essere costruito mentalmente (intuitivamente) mediante le prove e non ciò che è dimostrato non-contradditorio dalla manipolazione di enti formalizzati che non riesce ad asserire alcunché sull’esistenza di quegli stessi oggetti. «Mathematical thinking is building upwards step by step on the foundation of Intuition, using only the materials and tools found in Intuition and those constructed from them ‘previously’, i.e. at an earlier stage of the construction. (…) In Brouwer’s conception, however, neither the constructive act nor the concepts can be entirely isolated from the creating Subject, nor can a mathematical concept be cut loose from the act which brought it into existence (Ivi, pp. 164-165).» Per esistenza matematica in Hilbert e Brouwer si intende l’accettabilità in campo matematico dei concetti sulla base della possibilità di addurre prove matematiche per accertare la loro concepibilità (quindi la loro non-contraddittorietà) in prospettiva della dimostrazione non della loro effettiva esistenza ontologica (in Hilbert e Brouwer le questioni ontologiche riguardanti lo statuto dei numeri sono del tutto assenti), ma della loro utilità matematica ai fini del reperimento dei fondamenti della matematica che devono essere eretti su costruzioni matematiche corrette. Utilità che Hilbert intende ricavare con il metodo assiomatico formale (ossia mostrando la non-contraddittorietà a livello logico-assiomatico dei concetti matematici), mentre Brouwer tenta di ricavarla con il soggetto creativo sulla base del criterio di costruibilità (quindi di denumerabilità, sulla base dell’intuizione temporale). In tal senso, sono le operazioni, le procedure dimostrative, a certificare l’esistenza a livello logico-matematico (e non ontologico) delle entità matematiche. Uno studio comparato delle due maggiori correnti di pensiero del periodo fondazionale della matematica può mettere in luce gli aspetti più edificanti ai fini della fondazione della matematica elaborati dalle due parti, evidenziando sia i limiti manifesti dell’assiomatismo hilbertiano (per come è stato tratteggiato criticamente da Brouwer) sia le opportunità e, allo stesso tempo, le incertezze cui lascia la matematica intuizionistica brouweriana che non soltanto rigetta parti consistenti della matematica classica, ma anche fa cadere in modo decisivo il principio del terzo escluso su cui si era fondato il pensiero umano senza però poter fare a meno in ogni caso nella sua ricostruzione della matematica (nello specifico, l’analisi con le questioni secolari dei numeri reali e del continuo) del linguaggio della logica imprescindibile per la formulazione di sequenze di convergenza dei numeri razionali identificabili coi numeri reali stessi, per cui solo i segmenti iniziali completi possono valere (alla maniera di Brouwer) come entità mentali realmente costruite. Considerando gli aspetti maggiormente fruttiferi e meno controversi del dibattito Hilbert-Brouwer, sarà forse possibile fornire un cruciale punto di partenza per tentare di diramare una disputa che può vedere la conciliazione delle due posizioni connesse da chiare esigenze finitistiche e da un utilizzo della metamatematica che risulta molto importante ai fini della fondazione dell’analisi (quindi dell’intera matematica numerica).

1. Il primo formalismo hilbertiano
Esiste solo ciò che è postulato, regolato e definito dal sistema di assiomi in rapporto vincolato alla dimostrazione della sua non-contraddittorietà. Se un concetto presenta note caratteristiche che si contraddicono apertamente fra di loro, allora non si può istituire un sistema di assiomi (il metodo assiomatico risulta inapplicabile), indi il suddetto concetto è matematicamente inesistente. La prima fase del formalismo di Hilbert consiste nella considerazione che i sistemi assiomatici definiscono oggetti astratti chiamati “strutture relazionali”, che costituiscono i sistemi di riferimento delle relazioni sintattiche fondamentali soddisfacenti agli assiomi, posti in essere dal metodo assiomatico che accerta la consistenza di un concetto nelle sue relazioni con altri concetti astraendo dal significato degli oggetti e dei teoremi, così da considerare ipoteticamente i teoremi rispetto agli assiomi in modo da verificare la consistenza logica dei concetti di qualsiasi branca scientifica per mezzo dell’assiomatizzazione astratta della matematica. In questa prima fase del suo formalismo, Hilbert ritiene di poter trattenere l’infinito attuale della matematica classica adoperando le medesime procedure dimostrative cui fa ricorso nella consueta aritmetica finitaria in quanto le totalità infinite (il sistema dei numeri reali e le cardinalità superiori cantoriane con le loro classi numeriche superiori che lo compongono) sono considerate dominabili assiomaticamente allo stesso modo delle totalità finite senza approfondire l’eventuale validità dei principi logici di origine aristotelica che determinano la non-contraddizione di un teorema (fra cui, in particolar modo, il tertium non datur stabilente la possibilità o l’impossibilità di fornire la dimostrazione di una soluzione e la possibilità di indicare se ogni ente goda o meno di una specifica proprietà universale in modo da formulare giudizi universali ed esistenziali (questi ultimi negano i giudizi universali nel caso in cui un ente non goda della proprietà universale)) anche per totalità infinite (per le totalità finite il principio del terzo escluso è valido a-priori). Ciò che non è ammissibile è provare l’esistenza di una totalità di tutte le cardinalità (gli aleph di Cantor). «Se si volesse produrre in un modo simile la dimostrazione dell’esistenza di una totalità di tutte le cardinalità (ovvero, di tutti gli aleph di Cantor), questo tentativo andrebbe a vuoto; infatti la totalità di tutte le cardinalità non esiste, ovvero – nel modo di esprimersi di G. Cantor – il sistema di tutte le cardinalità è un sistema inconsistente (incompiuto) (David Hilbert, Sul concetto di numero in Abrusci, op. cit., p. 143).» Cantor, come mostrato in una lettera inviata ad Hilbert il 26 Settembre 1897, era già ben consapevole che, pur essendo ogni potenza un aleph, era necessario distinguere gli insiemi transfiniti dagli insiemi assolutamente infiniti. I primi hanno consistenza e compiutezza, i secondi non posseggono le medesime caratteristiche, per cui sono inesistenti. In Uber die Grundlagen der Logik und der Arithmetik (Sui fondamenti della logica e dell’aritmetica), relazione tenuta a Heidelberg nel 1904 in occasione del terzo congresso internazionale dei matematici, Hilbert, che aveva constatato negli anni precedenti il fiorire di diverse antinomie di carattere logico, linguistico e in particolar modo insiemistico, ritenne opportuno, per porre un freno ai problemi che osteggiavano la buona riuscita di un tentativo fondazionale della matematica, operare una formalizzazione dell’aritmetica e della logica che ponesse al riparo il suo programma (la fondazione della logica in seguito alla scoperta delle antinomie era necessaria per salvaguardare la validità dei principi logici aristotelici per le totalità infinite), e quindi la possibilità di ricercare e consolidare i fondamenti della matematica, dalle vedute di alcuni ricercatori (Kronecker, Helmholtz, Elvin Bruno Christoffel, Frege, Dedekind e Cantor) che o accettavano solo la realtà universale del numero intero dogmaticamente (Kronecker) o avevano una visione eccessivamente empirista non adattabile alla trattazione dell’infinito (Helmholtz) o affibbiavano opportunisticamente proprietà positive ai numeri irrazionali (Christoffel) o si esponevano ai paradossi insiemistici (Frege) o adottavano un metodo trascendentale nella fondazione del concetto di numero (Dedekind) o avevano formulato teorie passibili di interpretazioni soggettive che dovevano ancora essere giustamente rielaborate (Cantor). Per fare ciò, Hilbert si propone di formalizzare l’aritmetica e la logica («per evitare i paradossi è necessario uno sviluppo parzialmente simultaneo delle leggi della logica e dell’aritmetica (David Hilbert, Sui fondamenti della logica e dell’aritmetica in Abrusci, op. cit., p. 165)») con formalismi gradualmente più potenti in modo da ottenere la formalizzazione dei numeri naturali attraverso l’assiomatizzazione del principio di induzione, in seguito di quelli reali e infine di quelli transfiniti cantoriani. La formalizzazione fa sì che le dimostrazioni di non-contraddittorietà di una teoria formalizzata divengano costrutti matematici, il che significa che altro non sono che dimostrazioni di asserzioni di costrutti matematici che sono a loro volta matematiche. Tali dimostrazioni devono essere condotte con mezzi concreti e semplici (non è compreso il numero naturale neppure nella sua accezione intuitiva) oppure ricorrendo a teorie delle quali si è già dimostrata la non-contraddittorietà. Per la costruzione dei fondamenti logici del pensiero matematico Hilbert prende come punto di riferimento essenziale oggetti del pensiero definiti “cose mentali” e denominati mediante dei segni. I primi segni sono 1 e =. La dimostrazione di non-contraddittorietà di una teoria formalizzata si può ottenere in vario modo. Può ottenersi con una divisione delle combinazioni dei segni iniziali in due classi (degli enti e dei non-enti) rispetto alla quale ogni conseguenza dei due assiomi iniziali rappresentanti la definizione del concetto = implicitamente utilizzato nella sua stessa definizione (fra cui la principale regola d’inferenza) ed istituiti a partire dalle combinazioni dei segni (ossia ogni teorema espresso in qualità di enunciato (esposto con vocaboli del linguaggio ordinario senza ricorrere alle più corrette relazioni logiche ottenibili con i segni della logica proposizionale), al cui interno le arbitrarie x e y stanno per quei segni da cui poi vengono sostituite) è vera. Può realizzarsi secondariamente mediante una proprietà strutturale delle asserzioni formalizzate goduta da tutti i teoremi ma non da una contraddizione formalizzata (in seguito all’introduzione delle nuove cose mentali f (successore), u (insieme infinito), f’ (operazione di accompagnamento) da cui si ricavano i successivi tre assiomi). Il primo assioma esprime che a ciascun elemento dell’insieme ne segue un altro, il secondo esprime che se due elementi sono seguiti dallo stesso elemento allora sono uguali fra di loro, il terzo esprime che in u non c’è alcun elemento al quale segue l’elemento u1 (cosicché u1 si definisce il primo elemento in u) attraverso un uso strategico del segno di negazione. Può effettuarsi mediante il rilevamento di una contraddizione formalizzata che non gode di una proprietà strutturale delle asserzioni formalizzate posseduta dai teoremi di una teoria. Si può ottenere con l’individuazione di un sistema di enti per cui valgono gli assiomi. Infine, può compiersi trasformando ogni dimostrazione formalizzata di una contraddizione a partire dagli assiomi in una dimostrazione formalizzata di una contraddizione a partire dagli assiomi di una teoria per cui si è già dimostrata la non-contraddittorietà. «La non-contraddittorietà degli assiomi può venir allora riconosciuta o mostrando come un’eventuale contraddizione dovrebbe già comparire ad uno stadio precedente nello sviluppo della teoria, oppure supponendo che ci sia una dimostrazione che porti dagli assiomi ad una determinata contraddizione e mostrando poi che una siffatta dimostrazione non è possibile, e cioè conterrebbe in sé una contraddizione (Ivi, p. 174).» In ognuno dei quattro metodi precedentemente elencati è di fondamentale importanza l’adoperamento del ragionamento per induzione che afferma che tutti i teoremi hanno una certa proprietà sulla base della constatazione che gli assiomi hanno quella proprietà e che, se è posseduta dalle premesse di una regola, allora è posseduta anche dalla conclusione della regola. «Una volta arrivato ad un certo stadio nello sviluppo della teoria, posso dire vero un altro enunciato quando è stato riconosciuto che non risulta nessuna contraddizione se esso viene aggiunto come assioma agli enunciati fin allora accertati come veri, che cioè esso porta a conseguenze che sono tutti enunciati veri rispetto ad una certa partizione delle cose nella classe degli enti e in quella dei non-enti (Ivi, p. 171).» Hilbert pensa di poter iniziare la fondazione senza il concetto intuitivo di numero naturale nelle dimostrazioni di coerenza, mentre nella realtà fa continuo uso di ragionamenti per induzione che quantomeno lo presupporrebbero. L’asserzione dell’esistenza dell’infinito (in senso potenziale) sembra essere pienamente giustificata nella sua esposizione ed assumere un significato determinato e consequenzialmente determinabile insieme agli altri concetti matematici (fra cui l’aggregato dei numeri reali e gli aleph di Cantor, che Hilbert crede di poter definire inglobando (incompatibilmente) l’assioma di completezza nei tre assiomi istituiti per l’infinito potenziale).

2. L’intuizionismo brouweriano

Il 19 febbraio 1907 Brouwer discusse all’Università di Amsterdam la sua tesi di dottorato Over de grondslagen der wiskunde (Sui fondamenti della matematica), in cui espose per la prima volta le idee fondamentali del suo nuovo modo di concepire la matematica su basi fermamente filosofiche che risiedevano nella maniera in cui il soggetto concepiva la realtà in accordo alla sua visione pienamente matematizzante dell’esistente. «Proper to man is a faculty which accompanies all his interactions with nature, namely the faculty of taking a mathematical view of his life, of observing in the world repetitions of sequences of events, i.e. of causal systems in time. The basic phenomenon therein is the simple intuition of time, in which repetition is possible (L.E.J. Brouwer, On the foundations of mathematics in L.E.J. Brouwer Collected Works Vol.1 di L.E.J. Brouwer, North-Holland Publishing Company, 1975, p. 53).» La matematica per Brouwer è un’attività puramente mentale data dall’unica forma di a-priori conoscitivo attraverso cui il singolo soggetto avvia il flusso di pensieri teso a correlarlo al mondo di cui fa parte e del quale tende a comprendere le manifestazioni attraverso l’individuazione di sequenze causali di tipo matematico: la percezione temporale da cui si genera l’intuizione matematica originaria legata alla realtà che si manifesta nella sua temporalità. Essa concede di originare la matematica in quanto scienza dei numeri che si sostanzia nella forma di raffigurazione temporale dell’esperienza (che si staglia per l’appunto nel tempo) scandita dall’apposizione di diverse unità che si aggiungono le une alle altre producendo i numeri naturali (ivi compresi i negativi e i razionali) secondo il principio di duità (per cui un’unità, rappresentata temporalmente da un dato istante, si scinde in un’altra unità che segue nel tempo e che corrisponde ad un dato altro istante). «Questa “intuizione” si ricava per astrazione dalla percezione temporale e può essere definita “unity in molteplicity” (unità nella molteplicità), ovvero individuazione dell’istante, sua conservazione nella memoria, scissione dell’istante, conservazione dei due istanti nella memoria, scissione dei due istanti, conservazione dei tre istanti nella memoria, e così via. (…) Per questo l’intuizione temporale è chiamata da Brouwer anche intuizione della “duo-unità” (Miriam Franchella, L.E.J. Brouwer pensatore eterodosso. L’intuizionismo tra matematica e filosofia, Edizioni Angelo Guarini e Associati, Milano, 1994, pp. 42-43).» L’utilità della matematica risiede per Brouwer nella sua applicabilità al mondo esterno per tentare una comprensione delle sue dinamiche quanto più efficace possibile che possa risultare utile all’uomo, dal momento che i numeri sono dati dall’intuizione temporale (senza cui la matematica non nascerebbe e non potrebbe pertanto originare le sue successive costruzioni più complesse temporalmente determinate per la descrizione del reale) che si collega inscindibilmente alla descrizione e spiegazione dei fenomeni naturali che avvengono nel tempo. A tal scopo, Brouwer distingue nettamente le sequenze “osservate” analizzate dall’intelletto, la cui accuratezza descrittiva e predittiva dei fenomeni naturali dipende dalla capacità del soggetto di isolare i vari contesti in cui avviene l’osservazione da tutti quegli agenti esterni che possono perturbare la rilevazione matematica della sequenza, e le sequenze “esperite” recepite dall’”istinto”, ossia dall’intuizione soggettiva, che invece si basa unicamente sulla costituzione della matematica pura che sta nell’intuizione temporale che permette la costruzione mentale di sequenze causali di ogni tipo (sia reale che irreale) proiettabili in qualsiasi momento nella realtà a seconda delle circostanze in cui una descrizione matematica intuitiva risulta più agevole di un’altra. La combinazione di queste sequenze induce alla formazione di una legge. «Mathematical science does not however derive its great power solely from the observation of sequences which are approximately equivalent for the instinct, but from combining a very large number of such sequences from one point of view by means of a mathematical system built up with the aid of mathematical induction. Such a system is called a law (Brouwer, op. cit. in L.E.J. Brouwer Collected Works Vol.1 di L.E.J. Brouwer, North-Holland Publishing Company, 1975, p. 54).» L’intuizione del tempo è dunque necessaria in Brouwer per poter concepire mentalmente qualsiasi tipo di oggetto dal momento che l’individuazione di un oggetto passa attraverso la sua differenziazione da un altro oggetto che si scinde da esso, quindi attraverso il riconoscimento della sua identità (data dalla sua contabile unitarietà) rispetto ad un altro oggetto e a quelli che seguono. La matematica è quindi necessariamente ancorata al tempo (unico a-priori umano) e, essendone sua espressione costitutiva nell’intelletto, è l’unica reale modalità naturale attraverso cui l’uomo può comprendere la realtà dato che la realtà è ancorata al tempo. Il soggetto, che compie le sue esperienze nel mondo esterno e può comprenderle soltanto individuando in esse delle precise regolarità causali che gli permettono di darsi una spiegazione dei fenomeni naturali (elaborando cioè sequenze causali matematiche intuitive), costruisce prove di entità matematiche proiettate nelle esperienze che rendono conto del vero senso dell’esperienza scientifica formata dalla combinazione di esperienza ed elaborazione matematica naturale (naturale in quanto connaturata all’intelletto per via della sua origine nell’a-priori temporale e collegata all’esperienza in seguito matematizzata). «Scientific experience finds its origin in the application of intuitive mathematics to reality (Ivi, p. 61).» Le costruzioni matematiche riflettono direttamente gli stati di fatto oggettivi del mondo fisico in quanto originate dall’intuizione che permette la costruzione all’interno dell’intelletto umano delle prove dei costrutti matematici che non sono distaccati dal mondo esterno, come avviene in Hilbert, ma sono applicati ad esso e descrivono quanto più precisamente possibile le variazioni dei fenomeni senza imporre ai fenomeni alcun sistema assiomatico predeterminato basato sulle relazioni formali tra i concetti. La matematica hilbertiana come sistema di pensiero fondato su primitive “cose mentali” da cui prende avvio la formalizzazione dei suoi enunciati che li destituisce di significato (riducendo in tal modo le operazioni matematiche a manipolazioni di puri enti formali del tutto astratti dalla realtà contingente) non risponde ai criteri brouweriani di oggettività (in questo Brouwer era vicino a Frege) e a-priorità delle teorie matematiche, i cui sistemi assiomatici non devono essere predeterminati in modo slegato dai fenomeni finendo per istituire teorie scientifiche astratte (le cui relazioni formali interne date dagli assiomi possono comprendere indifferentemente un’ampia gamma di fenomeni in quanto gli assiomi sono neutrali nei confronti delle verità fattuali), ma applicarsi a quanto manifestato dall’esperienza. Le strutture relazionali hilbertiane, che sembrerebbero alludere alla possibilità di fondare le scienze naturali su basi matematiche (tratti salienti della filosofia analitica), nel momento in cui tentano di annettere lo spazio con l’ambizione non tanto dissimulata di applicarsi alla varietà dei fenomeni studiati nelle scienze naturali, mostrano la loro precaria posizione matematica, in quanto risultano essere puri impianti logico-linguistici astratti non rispondenti ai criteri della matematica pura ricercata da Brouwer in cui l’espressione matematica dei fenomeni segue l’intuizione. Se Hilbert, per non ricadere nelle antinomie logico-insiemistiche ai fini della fondazione della matematica, rovescia il pensiero logicista mediante la fondazione simultanea di matematica e logica che prevede la matematizzazione di quest’ultima per mezzo del formalismo, Brouwer radicalizza la priorità della matematica sulla logica affermando che la matematica non solo è da porre prima della logica, ma anche che è un’attività del tutto autonoma e indipendente da essa poiché la reale matematica non è da identificare con enti formali astratti privi di significato alcuno ai fini della costruzione di enunciati matematici che siano effettivamente esistenti, ma con la costruzione di prove (costruzioni matematiche) che inducano ad oggetti matematici che si dimostrano intuitivamente esistenti, ossia costruibili. Per Brouwer non è la consistenza formale a certificare l’esistenza, ma la costruibilità intuitiva. «Mathematical existence then in its strictest sense is “having been constructed” and remaining alive in the mind or memory. (…) Mathematical entities are identified with the whole of their constructive pedigree, whether they be single concepts, such as, for example, an ordinal number, or more complex, such as a mathematical theorem, which combines various constructions (Walter P. van Stigt, Brouwer’s Intuitionist Programme in From Brouwer to Hilbert. The debate on the foundations of mathematics in the 1920s di Paolo Mancosu, Oxford University Press, New York, 1998, p. 8).» La logica è un mero strumento di descrizione di dati di fatto matematici, ossia di riconoscimento di regolarità e di caratteristiche interne dei costrutti matematici una volta che questi sono già stati formulati, ed è caratterizzabile come un tipo speciale di linguaggio che tratta in modo matematico il linguaggio proprio della matematica. Pertanto, fermandosi al solo livello esplicativo, la logica di per sé non può apportare alcuna verità (compito assegnato alla matematica pura) in quanto resta strumento per rilevare particolarità del discorso matematico che produce soltanto edifici verbali che stanno al di fuori della reale pratica matematica. «Linguistic structures, sequences of sentences, proceeding according to the logical laws. If it turns out that such a structure can never produce the linguistic form of a contradiction, then all the same it belongs to mathematics only in its quality of a linguistic structure, and it has nothing to do with mathematics outside of it, such as ordinary arithmetic or geometry (Brouwer, op. cit. in L.E.J. Brouwer Collected Works Vol.1 di L.E.J. Brouwer, North-Holland Publishing Company, 1975, p. 75).» La logica ha impronta essenzialmente linguistica, dipende dalla matematica e consiste sostanzialmente nella massima forma di ragionamento, espressione ed estrapolazione delle regolarità linguistiche della matematica. Il linguaggio è necessario per la comunicazione della matematica costruita intuitivamente, ma non può servire da fondamento della matematica dato che esso si limita ad esprimere e comunicare i costrutti matematici (come la logica, che difatti è un caso particolare di linguaggio). La fondazione assiomatica hilbertiana è in errore per Brouwer quando attesta che si ricavano risultati matematici soddisfacenti con l’applicazione della prova di consistenza formale, per il semplice fatto che un sistema assiomatico (che è per sua natura logico-linguistico) non può costituire il fulcro dei costrutti matematici dal momento che lo svincolamento che Hilbert compie dei fondamenti dall’intuizione per dimostrare che un ente matematico è provabile nella sua esistenza in un apparato descrittivo logico-formale porta soltanto a stabilire eventualmente la non-contraddittorietà di quel dato ente, ma non la sua esistenza dato che questa è data necessariamente dall’intuizione che fornisce le prove per l’ammissibilità dell’ente ed è sottostante a qualsiasi formalizzazione assiomatica che concerne il mero ambito del linguaggio e della logica (come esemplificato nel caso dell’induzione, senza la quale una formalizzazione non potrebbe compiersi). L’applicazione dei sistemi logici può avvenire solo come strumento di accompagnamento delle ricerche effettuate ed effettuabili nel campo della pura matematica; nel caso dell’esistenza degli oggetti matematici essa non può fornire alcun contributo, poiché l’esistenza non risponde al criterio di consistenza formale ma solo a quello di costruibilità intuitiva (data dalla denumerabilità, quindi dalla costruzione nel tempo (un tempo preciso) di prove per certificare l’esistenza di entità matematiche). L’assiomatismo hilbertiano sorge da un trattamento logico della matematica che genera una costruzione alinguistica (non-semantica) delle figure della logica destituite di ogni significato (“matematica del secondo ordine”) accompagnata in seguito da un’espressione linguistica studiata matematicamente secondo principi logici e aritmetici che sviluppano, a partire dalle figure logiche, elementi corrispondenti agli atti di costruzione della matematica del secondo ordine (fase che «corrisponde a quella che più tardi verrà denominata da Hilbert metamatematica e che, quindi, Brouwer sosterrà di avergli ispirata (Franchella, op. cit., p. 52)»). A partire dagli elementi della “matematica del secondo ordine” avviene una costruzione matematica alinguistica del terzo ordine che abbandona il significato delle figure logiche del secondo ordine e viene poi espressa linguisticamente per provare la consistenza del sistema logico-matematico collaudato. Il sistema hilbertiano risulta dunque essere l’esito di un processo di astrazione progressiva dal vero significato della matematica in quanto non riesce a mantenere la connessione con l’intuizione originaria che rende conto dell’esistenza di un costrutto matematico per mezzo di una prova (indi della sua stessa consistenza, dato che la prova stessa vale come dimostrazione di un dato enunciato matematico intuizionisticamente) per formulare un sistema formale che delega la prova della consistenza del proprio sistema matematico (formalizzato attraverso una matematizzazione della logica che depreda le espressioni logiche stesse del loro significato) al linguaggio di tale edificio verbale sulla base del falso presupposto che dalla dimostrazione di non-contraddittorietà segua la prova dell’esistenza di un dato ente matematico. Ciò, per Brouwer, non è ammissibile in quanto la prova di consistenza può indurre alla prova di esistenza di un ente solo nel caso della costruzione di effettive prove matematiche condotte intuitivamente di cui lo stesso Hilbert pare aver bisogno per portare a termine la sua formalizzazione, poiché soltanto dopo avere implicitamente accertato la correttezza dell’intuizione sottostante a una data costruzione matematica si può procedere a una prova di consistenza di carattere logico-formale che, in quanto tale, resta limitata al solo ambito linguistico e pertanto non può asserire alcunché di rilevante sull’esistenza degli enti matematici veramente presupposta dall’intuizione al fondo di ogni costruzione matematica (contrariamente a quanto sostenuto da Hilbert col suo metodo assiomatico formale). La matematica, la sua esattezza, per l’intuizionismo, risiede nell’intelletto umano. «A logical construction of mathematics, Brouwer concludes, is impossible. The only thing one can obtain in this way is a linguistic construction, which is always separated from real mathematics. What is needed is the mathematical primordial intuition (Hesseling, op. cit., p. 45).» La verità matematica ricercata dall’intuizionismo corrisponde alla costruzione di una prova (che certifichi il contenuto di un dato enunciato), che non stabilisce l‘esistenza di una certa entità matematica in base alla sua prova di consistenza formale (che attesterebbe la mera non-contraddittorietà al livello logico dell’enunciato senza asserire nulla sulla data esistenza dell’oggetto in questione), ma necessita di un procedimento di elaborazione matematica dell’entità puramente mentale in grado di fondare stabilmente la certezza del pensiero matematico poiché attraverso l’intuizione del “soggetto creativo” (da cui si originano le prove) si attesta l’esistenza o meno dell’ente matematico ricercato. L’intuizionismo è una forma di pensiero concentrata sul flusso di coscienza individuale del soggetto che genera le architetture proprie delle strutture matematiche. Esso individua nelle capacità intellettive umane la facoltà di apprendere direttamente attraverso l’intuizione l’impalcatura razionale tipica dei modi in cui si manifestano le dinamiche della realtà mediante una loro diretta matematizzazione a carattere essenzialmente mentale che permette di spiegare e descrivere nei termini delle costruzioni matematiche gli oggetti della conoscenza, giacché l’intuizione è il nodo fondamentale che lega il soggetto che conosce e il mondo che viene conosciuto. Poiché la matematica è fondata sulle costruzioni che la mente umana riesce a fornire e non su schemi assiomatici di relazioni concettuali che sono elaborati come universalmente validi ed eternamente fissati (con la dovuta eccezione dei casi in cui si rende necessaria l’immissione di ulteriori assiomi per meglio completare la teoria), le leggi logiche classiche che Hilbert applica agli enunciati matematici formalizzati per dimostrarne la non-contraddittorietà (identità, non-contraddizione, terzo escluso), nel caso in cui si considerino insiemi finiti di enti, sono superflue nella loro enunciazione in quanto la costruzione stessa della prova dell’ente matematico implica necessariamente se il dato ente ottenuto soddisfa alle leggi logiche o meno. Il principio del terzo escluso diviene allora banale e non necessario nel caso in cui il numero degli enti matematici cui si riferisce sia finito, mentre la sua validità per insiemi infiniti di enti viene drasticamente sospesa in quanto non si ha modo di verificare se è possibile giungere ad una soluzione (se ogni dato ente goda di una specifica proprietà) senza compiere un numero potenzialmente infinito di passaggi temporalmente indeterminato. Poiché il dogma hilbertiano della risolvibilità di ogni problema all’interno del suo sistema assiomatico poggia direttamente sulla possibilità o di fornire una dimostrazione della soluzione di un problema o di fornire una dimostrazione dell’impossibilità di fornire una dimostrazione della soluzione di un problema (che pertanto, in questo caso, si dimostra irrisolvibile), Brouwer comprende che l’ideale hilbertiano della risolvibilità di ogni problema matematico determinato è rappresentato espressamente dal tertium non datur; sostenendo l’invalidità (dunque l’inapplicabilità a tutti gli effetti) del principio del terzo escluso per totalità infinite, Brouwer conclude che esistono problemi che non possono essere dimostrati né nella loro risolvibilità né nell’impossibilità della loro risolvibilità (occorrerebbe un numero infinito di passaggi) e che pertanto rimangono semplicemente irrisolti senza con ciò essere direttamente etichettati come irrisolvibili perché «il fatto che sia irrealizzabile passare in rassegna sistematica tutte le costruzioni possibili che porterebbero a una soluzione non esclude che si riesca a trovare la costruzione ad esempio per un “colpo di fortuna”: Brouwer non reintroduce in matematica l’”ignorabimus” di Du-Bois Reymond. (…) Non nega l’affermazione hilbertiana che nel cuore di ogni matematico c’è la sicurezza che ogni problema prima o poi verrà risolto, però affronta la questione in modo più “scientifico” e meno “retorico” (Franchella, op. cit., p. 68).» Il principio del terzo escluso viene dunque dichiarato da Brouwer inaffidabile all’interno di sistemi infiniti e, benché il suo uso improprio non comporti l’insorgere di contraddizioni, la sua applicazione (come quella degli altri due principi logici di discendenza aristotelica) non implica di per sé l’esistenza di un ente matematico, dunque non decide della verità o falsità di un singolo enunciato. La sospensione del tertium non datur è utile fondamentalmente a limitare e a giustificare razionalmente le pretese hilbertiane di porre una soluzione a ogni problema matematico, poiché, riconoscendo l’esistenza di problemi irrisolti che potranno sempre essere risolti nel futuro, permette realmente a matematici come Hilbert di poter credere che si possa veramente trovare una soluzione ad un problema (consistente o nella dimostrazione della sua risolvibilità o nella dimostrazione dell’impossibilità della sua risolvibilità), ma su basi matematiche del tutto differenti più consone per Brouwer alla reale pratica mentale dell’intuizione originaria da cui nascono le costruzioni. Le dimostrazioni classiche di esistenza in analisi matematica (come nel caso del reperimento di numeri che posseggano o meno una data proprietà) non sono accettabili per la matematica intuizionistica in quanto frutto dell’applicazione del principio del terzo escluso che non può indurre all’effettiva individuazione del numero ricercato che abbia o meno quella determinata proprietà (la costruzione matematica dunque non è possibile in tali dimostrazioni di esistenza), a meno che al problema matematico analizzato non si aggiungano determinate condizioni che ne possano rendere la soluzione intuizionisticamente accettabile. Nella critica al principio del terzo escluso si racchiude quindi il nucleo essenziale del pensiero filosofico-matematico brouweriano, in quanto essa comporta una netta revisione del sistema della logica classica in rapporto alla nuova concezione di matematica coniata nell’intuizionismo (molte parti della matematica classica devono di conseguenza essere ricostruite) ed esprime con chiarezza il rigore finitario richiesto a qualsiasi produzione matematica affinché queste non originino teorizzazioni riguardanti l’infinito non verificabili intuizionisticamente, dal momento che l’intuizione matematica può conseguire unicamente costruzioni a cardinalità non infinita attualmente (ma solo potenzialmente) e denumerabile (di un numero appartenente a una totalità infinita si può dire se goda o meno di una data proprietà solo dopo averne costruito la prova). Nella costruzione degli insiemi di enti matematici finiti, l’intuizionismo consente la creazione di tutte quelle collezioni di oggetti che possono essere sviluppate a partire dall’intuizione basilare da cui si origina tutta quanta la matematica e che consiste nella produzione unicamente di ciò che è denumerabile (cardinalità finita). La denumerabilità richiesta dall’intuizionismo è il tratto essenziale che caratterizza il suo finitismo nella ricerca dei fondamenti della matematica ed è perfettamente estendibile a collezioni di enti denumerabilmente infinite in senso potenziale (cardinalità denumerabilmente infinita, come nel caso dell’insieme dei numeri naturali che non viene mai considerato come infinito attuale, dato che può sempre essere posto in corrispondenza biunivoca con qualsiasi altro insieme finito col quale condivide la stessa cardinalità e conduce alla costruzione (proseguibile potenzialmente all’infinito) di entità numeriche definite in tempi determinati che esprimono l’infinito in modo potenziale come ripetizione proseguibile arbitrariamente della procedura finitaria per ottenere i numeri naturali, che sono enti definiti producibili in tempi precisi). Le costruzioni logico-linguistiche non svolgono alcun ruolo centrale nel processo di creazione intuizionistica degli insiemi in quanto non fanno uso delle proprietà intrinseche dell’intuizione matematica del soggetto, ma poggiano sulle proprie proprietà logiche che non producono criteri né di verità né di esistenza matematica. La costruzione formalista di collezioni finite e potenzialmente infinite, pur rigettando al pari di quella intuizionistica la nozione di infinito attuale che non riveste significato compiuto all’interno di una riedificazione della matematica su fondamenta stabili che siano provabili nella loro consistenza logica, adotta un metodo di creazione che, come già fatto notare da Poincaré a Hilbert qualche anno prima, fa un uso implicito del principio di induzione completa che, nella sua applicazione, ha validità di carattere esplicitamente intuitivo e implica il generarsi all’interno della costruzione formalista di un circolo vizioso per cui si intende provare che una proprietà, valente per un numero, varrà anche per qualsiasi altro numero sulla base della convinzione che così operando si provi lo stesso principio di completa induzione. Il formalismo fonda in tal modo la costruzione assiomatica su cui fa leva la sua teoria insiemistica su un uso circolare scorretto del principio di induzione completa, che rivelerebbe per Brouwer la natura fortemente intuitiva che sta a fondo della
matematica e che, proprio per la sua ineludibilità nell’ambito delle costruzioni matematiche necessarie al dipanarsi della disciplina stessa, verrebbe tradita anche dal formalismo («Following Poincaré, Brouwer argues that formalists cannot do without the intuitive use of the principle of
complete induction, whereby they strengthen intuitionism rather than formalism (Hesseling, op. cit., p. 52)»). Se l’intuizionismo e il formalismo sono conciliabili nella costruzione di insiemi a cardinalità finita e denumerabilmente infinita in senso potenziale (come prevedibile sulla base delle loro comuni esigenze finitistiche), lo stesso non può sostenersi nel caso di creazioni di insiemi di enti matematici infiniti (o transfiniti), per i quali il formalismo implica il costituirsi di un insieme di tutti gli insiemi denumerabilmente infiniti che avrebbe potenza maggiore di aleph-zero (la potenza dell’insieme dei numeri naturali) e pertanto rappresenterebbe il secondo numero ordinale infinito più piccolo (la seconda classe numerica cantoriana) dopo aleph-zero, che per la posizione intuizionistica (che ammette i numeri transfiniti in veste di insiemi denumerabilmente infiniti nella misura in cui non generano la seconda classe numerica) è l’unico numero ordinale infinito. Il rifiuto intuizionistico del principio del terzo escluso e dell’impostazione assiomatica del formalismo hilbertiano (che smaschera implicitamente le sue tacite posizioni intuitive) è il motivo dominante che guida la nuova costruzione della teoria degli insiemi e fissa un’alternativa di indubbio interesse rispetto alle pretese formaliste in merito alla determinazione del continuo (quindi dello statuto dei numeri reali) necessaria ai fini della fondazione della matematica. Il distacco fra le due posizioni si sarebbe avvertito maggiormente in tale questione di imprescindibile importanza e avrebbe costituito il limite fondamentale raggiunto dai tentativi di fondazione per via della natura non pienamente rigorizzabile della matematica transfinita, che, infine, non ha portato al prevalere netto di una fondazione rispetto all’altra. Il dibattito accesosi a tal riguardo lascia molte suggestioni sul modo in cui si potrebbe eventualmente procedere senza accettare in maniera esclusiva una posizione rispetto all’altra, ma cercando un’armonizzazione di quanto di efficace apprestato sia dall’intuizionismo che dal formalismo. Nella matematica intuizionistica sono ammissibili unicamente insiemi pienamente denumerabili che possano essere vidimati dalla relativa costruzione mentale operata dal “soggetto creativo” (l’esistenza matematica è certificata dal criterio di costruibilità di un dato ente matematico sulla base della sua relativa prova). Nel momento in cui si postula l’esistenza di un oggetto che trascende l’ordine della denumerabilità, si genera un elemento privo di significato matematico (ossia indimostrabile intuizionisticamente). È questo il caso della seconda classe numerica cantoriana, consistente nella costruzione illegittima della totalità di tutti i numeri ordinali transfiniti (insieme di insiemi denumerabilmente infiniti) che spianerebbe la strada alla costruzione di classi numeriche ancora più alte che allargherebbe senza confini il campo dei numeri transfiniti minandone la denumerabilità (quindi la costruibilità intuitiva che ne determina l’ammissibilità intuizionisticamente). Nell’intuizionismo brouweriano la seconda classe numerica e le potenze di più elevato rango rispetto a quello dei numeri naturali che non soddisfano alla denumerabilità non trovano posto, benché le seconde risultino necessarie come procedura fondamentale per generare collezioni di enti non gestibili costruttivamente che stanno alla base della formulazione dell’ipotesi del continuo (e quindi dell’insieme stesso dei numeri reali) e si definiscono “denumerabilmente incomplete” (“non-finite”) in quanto solo una parte numerabile è costruibile in modo intuizionisticamente accettabile, ma tale parte non esaurisce tutto l’insieme («il riferimento è al “continuo aritmetico”, cioè a tutte le successioni infinite convergenti, sia prodotte in base a una legge e, quindi, ammissibili, sia anomiche (Franchella, op. cit., pp. 89-90)»). Questi insiemi (cardinalità denumerabilmente non-finita) non esistono in realtà matematicamente in maniera vera e propria in quanto tendenti all’infinità attuale (esiste la sola potenza della numerabilità per gli insiemi matematici infiniti in senso potenziale), ma rappresentano un metodo di pensiero assai efficace per costruire i numeri reali (insieme di costruzioni intuizionisticamente ammissibili perché rispondenti al criterio della denumerabilità) attraverso successioni infinite convergenti. L’infinito nella matematica intuizionista può essere trattato mediante l’applicazione di algoritmi di calcolo appositi che riescono a rendere conto della presenza di impianti numerici mai del tutto completabili ed esauribili (come gli intervalli del continuo) fornendo per loro un’adeguata costruzione intuizionisticamente accettabile su fondamenta denumerabili rappresentate dalla produzione continua e costante di sequenze di numeri razionali convergenti collegate da nodi definenti la convergenza verso la costituzione dei numeri reali (si introducono così i numeri reali, quindi la porzione non-denumerabile del continuo per via della loro continua produzione, trattenendo l’infinito attuale cantoriano per mezzo dell’infinito potenziale rappresentato dalle sequenze di numeri razionali). La forma di raggruppamento che Brouwer reperisce per il trattamento intuizionistico dei numeri reali afferenti all’edificazione del continuo è lo “spiegamento”, ossia una legge di composizione dei numeri reali deputata alla costituzione di un “albero” (forma del continuo) in cui viene attribuito un ente matematico (numeri razionali o relazioni numeriche di diverso tipo) a ogni punto di ramificazione (termine di una successione) in modo da costruire attraverso tali enti acquisiti precedentemente attraverso le sequenze (raggruppati all’interno di uno “spiegamento”) i numeri reali secondo le condizioni vigenti per il genere di successione aventesi in un dato punto della costruzione intera (l’attribuzione di un ente (che permette di continuare l’ammissione dell’intera costruzione sequenziale per la definizione di un reale) o di nulla (che termina ad un dato punto di diramazione la considerazione di alcune successioni per la definizione di un reale) e l’interruzione delle sequenze (che impedisce la costruzione di un reale limitatamente ad alcune successioni) dipendono dal grado di convergenza delle successioni). «La costruzione dello spiegamento viene descritta in un primo tempo in riferimento all’albero universale (pensato come struttura in crescita e rappresentato da Brouwer partendo dall’alto verso il basso), ovvero all’albero con tutte le ramificazioni possibili: in corrispondenza di ciascun punto di ramificazione – detto nodo – si assegna o la sterilizzazione o un termine o nulla (Ivi, p. 78).» Lo “spiegamento” costituisce un insieme denumerabilmente infinito (in quanto dato da sequenze di numeri razionali a cui sono necessariamente vincolati gli enti raggruppati negli “spiegamenti”
perché acquisibili solo a partire da esse) di enti che posseggono una determinata proprietà per la quale lo “spiegamento” stesso ha potuto realizzarsi. Tale proprietà prende il nome di “specie” (le “specie” consentono così di applicare il tertium non datur ai numeri reali, legittimandone implicitamente per Brouwer l’utilizzo nella matematica transfinita, diversamente da Hilbert, su basi denumerabili) e lo “spiegamento” rappresenta un caso particolare di “specie” (i diversi “spiegamenti” che definiscono i numeri reali si differenziano così in base a una proprietà degli enti da essi raccolti per la definizione dei rispettivi numeri reali che non vale anche per gli enti definenti i numeri reali precedenti). Ogni singolo numero reale può essere concepito come l’insieme dei rami dell’albero costituiti da successioni di numeri razionali i cui nodi costruiscono il numero reale. Le sequenze infinite classiche vennero pertanto riconosciute da Brouwer sotto la veste di algoritmi che permettevano di ricostruire i singoli punti del continuo (i numeri reali) senza la necessità di effettuare i tagli caratteristici delle sezioni dedekindiane a vantaggio di un approccio risalente a Cantor nella determinazione dei numeri reali. La natura delle successioni che avvengono all’interno degli “spiegamenti” per la generazione degli elementi del continuo (quindi dei numeri reali) delimita l’essenziale linea di confine che intercorre fra la matematica classica e quella costruttivista, poiché l’origine puramente mentale della costruzione delle sequenze perseguita dall’intuizionismo deve essere ricondotta all’introduzione di un concetto non compreso nel modo di fare matematica tradizionale e introdotto a pieno regime da Brouwer nella sua trattazione dell’infinito: il concetto di scelta, da cui discendono le sequenze di scelta tipiche della costruzione brouweriana del continuo. «A choice sequence is a sequence of mathematical objects, in which each time the next element in the sequence is decided upon by the free human subject who is generating the choice sequence. The choice of the next element may be limited by a law, which can depend on the choices made earlier. At every moment in the process, there must be at least one object that can be chosen (Hesseling, op. cit., p. 63).» La scelta è designata da Brouwer come tratto peculiare della nuova configurazione dei numeri reali che sono prodotti in modo libero dal soggetto (in concordanza con la presenza di una precisa restrizione dovuta al soggetto che determina una successione di tipo legiforme o con l’assenza di restrizioni sulle scelte effettuabili che determina una successione del tutto libera) e la sua introduzione nel dibattito fondazionale della matematica implica l’assoluta importanza assunta dal “soggetto creativo” fautore della matematica pura, che, agendo al fine della costruzione del continuo pieno (così detto in parziale opposizione al continuo ridotto formulato con sole successioni legiformi) operando libere scelte (si scelgono gli estremi degli intervalli dei numeri razionali) per ottenere i numeri transfiniti più alti sulla base dei segmenti iniziali finiti di complessi numerici già attribuiti all’inizio delle prime ramificazioni (il punto iniziale in assoluto dell’albero del continuo, da cui si originano le sequenze con i loro nodi, è rappresentato dai numeri naturali) e proseguibili così in modo infinito (potenzialmente) perché le libere scelte sono svincolate da leggi (che si limitano, con i loro algoritmi con cui stabiliscono gli estremi degli intervalli, alla produzione dei primi numeri transfiniti), annette il dominio del non-denumerabile al di là degli algoritmi stabiliti per successioni legiformi (che, comunque, regolano la calcolabilità delle scelte libere per le sequenze successive in modo denumerabile, benché sussistano anche situazioni intermedie fra il legiforme e le scelte libere che lasciano intendere come la connessione fra ambedue i tipi di successione sia inevitabile). Il carattere intuizionistico delle sequenze di scelta con cui si esplica lo “spiegamento” delle porzioni interconnesse del continuo è presentato dai segmenti finiti iniziali che rappresentano la denumerabilità necessaria (senza di essa le sequenze non sarebbero ammissibili) dalla quale il “soggetto creativo” può attuare le sue scelte infinite in senso potenziale estendendo progressivamente il segmento di partenza. In tal modo, la cardinalità denumerabilmente non-finita (valente come idea di base nella concezione geometrica del continuo) è sostituita dalle sequenze di scelta che la sussumono legittimandone la presenza puramente metodica sotto la garanzia intuizionistica dell’unica vera cardinalità a cui si riconduce l’intera matematica intuizionista, quella degli insiemi denumerabili infiniti (i numeri razionali) che rende ragione dell’esistenza del continuo non come insieme compiuto di numeri reali (al modo di Hilbert che, pur cercando di ridefinire, come fa Brouwer, l’infinito attuale in termini potenziali, esegue quest’operazione in maniera errata trattando indiscriminatamente le totalità infinite allo stesso modo delle totalità finite senza considerare il criterio della denumerabilità in base a cui è opportuno scartare gli insiemi transfiniti cantoriani denumerabilmente incompleti per fondare il continuo), ma come matrice determinabile nelle sue partizioni (aritmetizzabile) a partire dalle sequenze di scelta che procedono indeterminatamente prima di giungere alle ramificazioni per definire i numeri reali raggruppate negli “spiegamenti” (che attribuiscono enti, precedentemente acquisiti tramite le sequenze, ai nodi per definire la loro convergenza verso i numeri reali in quanto questi non sono rappresentabili come punti di accumulazione (perciò è necessaria l’attribuzione di enti ai nodi)). Le sequenze procedono all’infinito nelle loro ramificazioni per costituire i singoli punti del continuo raggruppate negli “spiegamenti” costituenti tanti piccoli “continui” strettamente connessi illimitatamente agli altri “spiegamenti” che raccolgono sequenze derivanti dai diversi segmenti finiti iniziali (i numeri reali sono collegati fra di loro in modo che alla produzione di un numero reale a partire da un dato segmento finito iniziale si connette quella del numero reale precedente a partire da un altro segmento e viceversa (connessione di un numero reale col successivo)) e si diramano da “spiegamenti” precedenti (quando rappresentano casi di “specie” differenti da quelle precedenti, che terminano quando appaiono numeri con proprietà diverse) e con cui definiscono il continuo nei suoi singoli punti perché questo è una costruzione mai completabile di cui non possono essere definiti i limiti poiché le ramificazioni dei diversi “spiegamenti” proseguono collegate fra di loro all’infinito. Il continuo ricercato da Hilbert con l’applicazione dell’assioma di completezza non è sufficiente per Brouwer a generare un ente matematico la cui esistenza non sia unicamente contrassegnata da connotazioni logico-linguistiche che lo rendono inammissibile in sede di matematica pura. Il fondamento denumerabile rappresentato dai segmenti finiti iniziali, su cui poggia il continuo brouweriano elaborato tramite sequenze di scelta, concede di legittimare intuizionisticamente l’esistenza matematica del continuo la cui non-denumerabilità è trattenuta e regolamentata dallo “spiegamento” che la rende accettabile per Brouwer e permette di concepire il continuo come un’unica costruzione costantemente evolventesi per sequenze infinite intuizionisticamente rese lecite dall’intervento della scelta del “soggetto creativo”. Questi consente di pensare il continuo come un solo oggetto matematico continuamente completabile e nondimeno esistente come matrice (come sfondo ineludibile nell’analisi di continua sia matematici che fisici (spazio e tempo)) nella sua inscindibilità. La totale dipendenza del dipanarsi del continuo dai segmenti finiti iniziali è indice non soltanto del suo carattere prettamente unitario e inseparabile, ma soprattutto, come diretta conseguenza di tale non-scomponibilità, dell’impossibilità contingente di applicare il principio del terzo escluso alle successioni costitutive del continuo aritmetico per quanto riguarda la proprietà della razionalità dei numeri reali. Il principio del terzo escluso, ammesso per totalità finite e sospeso per totalità infinite per le quali è ammessa solo l’esistenza di proprietà sfuggenti trova per Brouwer in questo caso il suo scacco ultimo che ne determina la contraddittorietà; perché, se la razionalità dei numeri reali fosse decidibile, allora il continuo si dovrebbe scindere in una parte razionale ed una irrazionale, il che è assolutamente escluso dalla sua stessa natura che è legata all’imprescindibile interconnessione delle ramificazioni delle sue sequenze di scelta dedotte dai segmenti finiti iniziali.

Bibliografia

  • Ernst Nagel e James R. Newman, La prova di Gödel, Editore Boringhieri, 1961
  • L.E.J. Brouwer, L.E.J. Brouwer Collected Works Vol.1, North-Holland Publishing Company, 1975
  • V. Michele Abrusci, Ricerche sui fondamenti della matematica, Bibliopolis, 1978
  • Walter P. van Stigt, Brouwer’s Intuitionism, Elsevier Science Publishers B.V., 1990
  • Miriam Franchella, L.E.J. Brouwer pensatore eterodosso. L’intuizionismo tra matematica e filosofia, Edizioni Angelo Guarini e Associati, Milano, 1994
  • Paolo Mancosu, From Brouwer to Hilbert. The debate on the foundations of mathematics in the 1920s, Oxford University Press, New York, 1998
  • William Ewald, From Kant To Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, Clarendon Press, 1999
  • Immanuel Kant, Critica della ragion pura, Adelphi Edizioni, 1999
  • Dennis E. Hesseling, Gnomes in the fog. The reception of Brouwer’s Intuitionism in the 1920s, Springer Basel AG, 2003
  • Francesco Berto, Tutti pazzi per Gödel! La guida completa al teorema di incompletezza, Editori Laterza, 2008

*Giovanni Mazzallo Laureato magistrale all’Università di Catania in Filosofia della scienza e laureato magistrale alla Scuola Superiore di Catania (college d’eccellenza dell’Università di Catania) in Filosofia della fisica. Si occupa di filosofia della scienza, logica, filosofia della fisica e storia-critica-filosofia del cinema.

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