> di Vito J. Ceravolo*

Abstract: Completamento dei teoremi di incompletezza di Gödel, grazie alla formalizzazione di un sistema capace di racchiudere sia ciò che è soggetto a valore di verità (vero o falso) sia ciò che è soggetto a non valore di verità (né vero né falso).

Parole chiave: Kurt Gödel; Teorema di incompletezza; Coerenza; Completezza; Enunciati; Dimostrazioni; Paradossi; Sintattica; Semantica; Epimenide; Hofstadter.

1. Introduzione ai Teoremi di coerenza e completezza (1)

Scopo di questo saggio è completare i teoremi di incompletezza di Gödel, anzitutto astraendo il suo primo teorema alla forma linguistica che lo genera:

VALORE DI VERITÀ: L(α=α ∨ ¬α=¬α) → L = 1 ∨ 0
A parole: Se, affermandosi o negandosi, un concetto α coerente con sé =α predica () un linguaggio L allora → quest’ultimo ha un valore di verità che può essere vero 1 o falso 0.

NON VALORE DI VERITÀ: L(α≠α ∧ ¬α≠¬α) → L ≠ 1 ∧ 0
A parole: Se, affermandosi e negandosi, un concetto α che si contraddice da sé ≠α predica un linguaggio L allora → quest’ultimo non ha un valore di verità, non è né vero 1 né falso 0.

In gergo comune: se quando affermo una frase essa si contraddice e si contraddice anche quando la nego, allora la stessa non ha un valore di verità. Mentre ha un valore di verità se non si contraddice almeno in una delle due forme, affermandola o negandola. Naturalmente queste formalità mostrano le possibilità d’interpretazione della frase (affermandola o negandola), non sono la frase in quanto tale; e la loro unione ci restituisce un principio di anticipazione del valore di verità: un metodo infallibile per discriminare, a priori di ogni riscontro con la realtà, gli enunciati con valore di verità (veri o falsi) da quelli senza valore di verità (né veri né falsi). Ma la formalizzazione di questo elemento logico non è il solo ampliamento che andiamo a compiere al fine di completare i teoremi di Gödel. Ma per meglio comprendere, a questo punto, entriamo nel vivo della questione; ben considerando che non sarà la numerazione G gödelliana a essere messa in discussione, bensì la sua interpretazione in luogo della sopra forma e di quanto segue. Continua a leggere →