Filosofia e nuovi sentieri

«Mi rappresento il vasto recinto delle scienze come una grande estensione di terreno disseminato di luoghi oscuri e illuminati. Lo scopo delle nostre fatiche deve essere quello di estendere i confini dei luoghi illuminati, oppure di moltiplicare sul terreno i centri di luce. L’un compito è proprio del genio che crea, l’altro della perspicacia che perfeziona» Denis Diderot

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Metateoria di completezza, coerenza, dimostrazione. Gödel, Aristotele, Hegel, Tarski

Abstract

I address Gödel’s Incompleteness Theorem through four stages: by revisiting Aristotle’s Principle of Non-Contradiction; by revisiting Tarski’s Metalanguage; and, in a secondary way, by revisiting Hegel’s dialectic; as well as by using Gödelian mathematics to formalize the system. In short, I change the interpretative framework of Gödel’s theorem while its calculus remains untouched. The result provides a complete and coherent system.

Keywords: Completeness, Coherence, Demonstration, Gödel.

È una prova di consistenza e completezza del sistema.[1]

La metateoria misurante la consistenza e completezza del sistema, per sistemi abbastanza potenti da esprimere le proprietà elementari dell’aritmetica (PA – Peano Arithmetic, da Giuseppe Peano), è il Teorema di Incompletezza di Gödel. Esso risponde alla domanda: il sistema è consistente e completo? Per esso, il sistema non può essere assieme consistente e completo.

Rivisitiamo la prova gödeliana: anzitutto semplifico in tre parti il suo teorema, evidenziando gli elementi centrali a questa prova, dopodiché dichiaro l’oggetto della presente dimostrazione (lemma) e – qui mi sospendo con una integrazione matematica leggibile primo o dopo i tre teoremi – di conseguenza rivisitiamo la completezza, la coerenza e la dimostrazione. Non è il calcolo di Gödel a essere messo alla prova, ma la teoria entro cui lo interpreta.

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Teoremi di coerenza e completezza. Epimenide, Gödel, Hofstadter.

> di Vito J. Ceravolo*

Abstract: Completamento dei teoremi di incompletezza di Gödel, grazie alla formalizzazione di un sistema capace di racchiudere sia ciò che è soggetto a valore di verità (vero o falso) sia ciò che è soggetto a non valore di verità (né vero né falso).

Parole chiave: Kurt Gödel; Teorema di incompletezza; Coerenza; Completezza; Enunciati; Dimostrazioni; Paradossi; Sintattica; Semantica; Epimenide; Hofstadter.

1. Introduzione ai Teoremi di coerenza e completezza (1)

Scopo di questo saggio è completare i teoremi di incompletezza di Gödel, anzitutto astraendo il suo primo teorema alla forma linguistica che lo genera:

VALORE DI VERITÀ: L(α=α ∨ ¬α=¬α) → L = 1 ∨ 0
A parole: Se, affermandosi o negandosi, un concetto α coerente con sé =α predica () un linguaggio L allora → quest’ultimo ha un valore di verità che può essere vero 1 o falso 0.

NON VALORE DI VERITÀ: L(α≠α ∧ ¬α≠¬α) → L ≠ 1 ∧ 0
A parole: Se, affermandosi e negandosi, un concetto α che si contraddice da sé ≠α predica un linguaggio L allora → quest’ultimo non ha un valore di verità, non è né vero 1 né falso 0.

In gergo comune: se quando affermo una frase essa si contraddice e si contraddice anche quando la nego, allora la stessa non ha un valore di verità. Mentre ha un valore di verità se non si contraddice almeno in una delle due forme, affermandola o negandola. Naturalmente queste formalità mostrano le possibilità d’interpretazione della frase (affermandola o negandola), non sono la frase in quanto tale; e la loro unione ci restituisce un principio di anticipazione del valore di verità: un metodo infallibile per discriminare, a priori di ogni riscontro con la realtà, gli enunciati con valore di verità (veri o falsi) da quelli senza valore di verità (né veri né falsi). Ma la formalizzazione di questo elemento logico non è il solo ampliamento che andiamo a compiere al fine di completare i teoremi di Gödel. Ma per meglio comprendere, a questo punto, entriamo nel vivo della questione; ben considerando che non sarà la numerazione G gödelliana a essere messa in discussione, bensì la sua interpretazione in luogo della sopra forma e di quanto segue. Continua a leggere →