«Mi rappresento il vasto recinto delle scienze come una grande estensione di terreno disseminato di luoghi oscuri e illuminati. Lo scopo delle nostre fatiche deve essere quello di estendere i confini dei luoghi illuminati, oppure di moltiplicare sul terreno i centri di luce. L’un compito è proprio del genio che crea, l’altro della perspicacia che perfeziona» Denis Diderot
I address Gödel’s Incompleteness Theorem through four stages: by revisiting Aristotle’s Principle of Non-Contradiction; by revisiting Tarski’s Metalanguage; and, in a secondary way, by revisiting Hegel’s dialectic; as well as by using Gödelian mathematics to formalize the system. In short, I change the interpretative framework of Gödel’s theorem while its calculus remains untouched. The result provides a complete and coherent system.
È una prova di consistenza e completezza del sistema.[1]
La metateoria misurante la consistenza e completezza del sistema, per sistemi abbastanza potenti da esprimere le proprietà elementari dell’aritmetica (PA – Peano Arithmetic, da Giuseppe Peano), è il Teorema di Incompletezza di Gödel. Esso risponde alla domanda: il sistema è consistente e completo? Per esso, il sistema non può essere assieme consistente e completo.
Rivisitiamo la prova gödeliana: anzitutto semplifico in tre parti il suo teorema, evidenziando gli elementi centrali a questa prova, dopodiché dichiaro l’oggetto della presente dimostrazione (lemma) e – qui mi sospendo con una integrazione matematica leggibile primo o dopo i tre teoremi – di conseguenza rivisitiamo la completezza, la coerenza e la dimostrazione. Non è il calcolo di Gödel a essere messo alla prova, ma la teoria entro cui lo interpreta.
Sunto:Si vuole diffondere la Filosofia del fondamento (o filosofia del Tutto). Si inizia sciogliendo gli opposti finito-infinito in un semplice (cap. 1) poscia ne analizziamo la superficie (cap. 2). Si prosegue riflettendo su Tutto (cap. 3) e Niente (cap. 4), da cui il detto scioglimento. Giungiamo così all’amore come forza di unione fondamentale (cap. 5). Infine ci apriamo al divenire delle cose (cap. 6). La conclusione è un racconto immaginario sul fondamento (cap. 7). Il breve articolo si riferisce al saggio in bibliografia.
1. Fondamento
Cinque passaggi per giungere al fondamento:
Il Tutto è finito per sua perfezione, poiché ogni determinazione;
Il Niente non esiste, poiché nessuna determinazione;
Il Tutto può limitarsi solo nel Niente, poiché oltre sé nulla;
Limitarsi in Niente è non limitarsi, poiché non esiste;
La finita perfezione del Tutto a sé, limitandosi nel Niente, è nel contempo infinita oltre sé: finito in rapporto a sé e infinito in rapporto a nient’altro oltre sé. E non esistendo Niente oltre sé, allora il Tutto da solo è necessariamente finito e infinito, senza contraddirsi.
Lo scioglimento degli opposti finito-infinito in uno. [1]
Abstract: We reverse the Axiom of Foundation in set theory, representing how every consistent set belongs to itself, constructing an ideal set-theoretical axiomatization free from logical-mathematical paradoxes.
Keywords:set theory, logic, philosophy, unit
Introduzione
È lo svolgimento di una Teoria degli insiemi che si poggia su x∈x, sino a dimostrarlo.
Anzitutto ci concentriamo sull’Assioma di fondamento x∉x dell’assiomatizzazione di Zermelo (1908), il quale non è deducibile dagli altri assiomi del sistema, ma introdotto con un postulato intuitivo. Ciò ci permette di lavorarlo senza intaccare il restante corpus assiomatico (dell’estensione, dell’insieme vuoto, della coppia, dell’unione, della potenza, della sostituzione, dell’infinito, della scelta), sennonché, con le giuste cautele, di utilizzare e integrare questo restante corpus.
Il futurismo è stato con molta probabilità il movimento letterario, artistico e culturale[2] più importante e significativo che l’Italia ha prodotto nell’intero Novecento. Il futurismo non è stato un movimento d’avanguardia circoscritto soltanto all’ambito letterario, ma con una quantità smisurata di manifesti, appelli e conferenze, ha proposto nuove e mai esplorate strade per tutte le arti, ha avuto una chiara posizione politica[3], ha cercato di stabilire una sua morale e un nuovo senso del vivere. Tra i manifesti futuristi più significativi, dov’è proprio stabilito cosa vuol dire essere futurista, vi è quello di Filippo Tommaso Marinetti pubblicato su «Le Figaro» nel 1909. Di seguito riportiamo alcune delle parti salienti del testo:
«Avevamo vegliato tutta la notte – i miei amici ed io – sotto lampade di moschea dalle cupole di ottone traforato, stellate come le nostre anime, perché come queste irradiate dal chiuso fulgòre di un cuore elettrico. Avevamo lungamente calpestata su opulenti tappeti orientali la nostra atavica accidia, discutendo davanti ai confini estremi della logica ed annerendo molta carta di frenetiche scritture. Un immenso orgoglio gonfiava i nostri petti, poiché ci sentivamo soli, in quell’ora, ad esser desti e ritti, come fari superbi o come sentinelle avanzate, di fronte all’esercito delle stelle nemiche, occhieggianti dai loro celesti accampamenti. Soli coi fuochisti che si agitano davanti ai forni infernali delle grandi navi, soli coi neri fantasmi che frugano nelle pance arroventate delle locomotive lanciate a folle corsa… Allora, col volto coperto dalla buona melma delle officine – impasto di scorie metalliche, di sudori inutili, di fuliggini celesti – noi, contusi e fasciate le braccia ma impavidi, dettammo le nostre prime volontà a tutti gli uomini vivi della terra.
Abstract: foundation-theory. Let’s dissolve the opposites finite/infinity into a simple, let’s build the complexity of the world from a simple, let’s conclude the complexity of the world in a simple.
Keywords: foundation, philosophy.
Introduzione
Tre sono gli oggetti che accompagnano il nostro cammino: infinito, Niente, Tutto. Dalla loro definizione costruiamo una Teoria del fondamento che scioglie gli opposti finito/infinito in un semplice.
Sì giunti, introduciamo la storia del fondamento, la sua influenza sulle culture del mondo. Seguono alcune questioni strettamente correlate a esso, per poi aprirci agli scenari della causa e del paradigma, controllori del caos, i quali dal fondamento ci portano a Gaia. Il saggio prosegue ricamando istruzioni sul suo cammino, al fine di costruire la complessità del mondo dal semplice e riportare la complessità del mondo al semplice. Esattamente, l’iter è questo:
Cammino del fondamento
Sciogliamo gli opposti finito/infinito in un semplice e ne osserviamo l’intorno;
Costruiamo la complessità del mondo da un semplice;
Concludiamo la complessità del mondo in un semplice.
Questo percorso a tre tappe dovrebbe garantire la stabilità del Sistema fondamento. È diviso in sezioni atte a rilevare le differenti aree attraversate dalla presente comunicazione sul fondamento. L’opera, per la natura anteriore del suo oggetto, è sostanzialmente priva di riferimenti bibliografici, in compenso ha una bibliografia di incantevoli luoghi dove potete non trovarci. Come segue.
Abstract: We address Zeno’s paradoxes on motion, in the search for the coherence of becoming, defining step by step a becoming-theory.
Keywords: becoming, Zeno, space, time, paradoxes.
Introduzione
Di Zenone trattiamo 10 principali argomenti: direttamente i quattro principali enigmi sul moto, (a.) Achille (b.) Dicotomia (c.) Freccia (d.) Stadio; indirettamente i sei principali enigmi sul molteplice, (e.) della divisibilità infinita (f.) del grande e piccolo (g.) del limitato e illimitato (h.) dell’uguale e diverso (i.) delchicco di miglio (l.) dello spazio.Secondo la IEP (Internet Encyclopedia of Philosophy), ci sono delle soluzioni standard SS che tentano di affrontarli, anche se alcune sono più controverse che comunemente accettate: (a.b.) per Achille e la Dicotomia, SS impiega il calcolo della serie convergente all’infinito e dell’analisi reale; (c.) per la Freccia, SS impiega la teoria at-at del movimento; (d.) per lo Stadio, SS non è definita; (e.f.) per la divisibilità infinita e per il grande e piccolo, SS impiega l’idea di una grandezza continua composta da punti; (g.) per il limitato e illimitato,SS impiega l’idea che fra due oggetti fisici non necessariamente c’è un terzo oggetto fisico che li separa; (h.) per l’uguale e diverso, SS impiega la soluzione platonica; (i.) per il chicco di miglio,SS impiega il concetto di parti con proprietà diverse dagli insiemi che costituiscono; (l.) per lo spazio,SS impiega la negazione che i luoghi abbiamo luoghi in cui stare.
Hegel a differenza di molti autori che lo hanno preceduto non affrontò mai direttamente la questione legata all’origine del linguaggio. C’è però da dire che nelle sue opere egli lascia trapelare una sua idea senza però cadere nella querelle relativa alla nascita del linguaggio come dono divino o come frutto dell’evoluzione umana. In Italia le due autrici che meglio hanno affrontato questo tema sono Lucia Ziglioli[2] e Caterina De Bortoli[3].
Hegel parte dal presupposto che l’uomo essendo un essere razionale sia sempre stato dotato di linguaggio. Secondo il filosofo non è neanche corretto concepire il linguaggio come un mezzo inventato per uno scopo, poiché così lo si andrebbe a ridurre a mero strumento. Il dibattito sull’origine del linguaggio è in realtà uno pseudo-problema che concepisce il linguaggio stesso come sistema chiuso, isolabile dall’evoluzione dell’umanità[4]. Bisogna invece pensare al luogo del linguaggio: «il segno ed il linguaggio sono inseriti da qualche parte, a mo’ di appendici, nella psicologia o ancora nella logica, senza che si sia pensato alla loro necessità e alla loro connessione nel sistema dell’attività dell’intelligenza»[5]. Il linguaggio può trovare il suo fondamento solo se studiato all’interno dell’intelligenza, è proprio quest’ultima a far si che i segni si connettano tra loro e possano avere un senso compiuto. Nella concezione hegeliana del linguaggio, esso ha senso solo all’interno della sua funzione determinata che spinge l’intelligenza alla conoscenza.
Quale rapporto ebbe Giuseppe Parini con la felicità e soprattutto scrisse mai su tale tema? Parini non dedicò mai un’opera specifica a tale tema, né a tale argomento dedicò uno spazio programmatico. Nonostante questo quella della felicità è una tematica che attraversa tutta l’opera pariniana. Per comprendere il perché di tale trattazione è opportuno contestualizzare l’Intellettuale. L’Europa occidentale del Settecento ereditò dai secoli precedenti una lunga speculazione, ormai scevra dalle sole Sacre Scritture, sulla felicità terrena, ma anche sul dolore e il piacere. Dall’altra parte visse la temperie illuministica tutta concentrata sulla contrapposizione tra ragione e passione in una dialettica derivante dall’opposizione tra ragione e natura. Le riflessioni di alcuni intellettuali italiani, Verri su tutti, hanno portato all’assorbimento del concetto di felicità in quello di piacere (P. Verri, Discorso sull’indole del piacere e del dolore, a cura di S. Contarini, Roma, Carocci, “001, p. 135; N. Valeri, Pietro Verri, Firenze, F. Le Monnier, 1969, p. 23). Dunque, si sviluppa un pensiero critico nei confronti del piacere che va direttamente a condannare anche la ricerca della felicità con una conseguente esaltazione della sofferenza tanto cara al romanticismo.
Da sempre la filosofia si interroga sulle questioni di amore, essere e conoscenza. Risulta utile per addentrarci in tale tema la riflessione condotta dal filosofo Virgilio Melchiorre in Metacritica dell’eros: «In che modo l’eros ha a che fare con l’essere? La storia della filosofia potrebbe essere trascritta, in buona parte, come discorso sull’amore, da Anassimandro ed Empedocle sino a Platone e al neoplatonismo, da Agostino alle scuole italiane del rinascimento, da Spinoza alle diverse scuole romantiche sino a Hegel, a Kierkegaard, a Schopenhauer o, per venire a noi, sino alle vie più diverse del pensiero contemporaneo, si tratti in positivo o in negativo della riflessione esistenziale o si tratti della filosofia di Max Scheler, di Martin Buber e via dicendo»[2]. Dunque, stando al Filosofo, la riflessione sul rapporto eros-essere risulta un punto di snodo obbligato di tutte le correnti filosofiche. Nelle pagine seguenti Melchiorre porta l’attenzione sulla riflessione condotta da Maurice Blondel[3]. La riflessione ontologica blondeliana conduce il lettore in una sorta di attuazione della metafisica alla seconda potenza, nella quale la carità è il fondamento dell’Universo. Dunque, partendo da tale prospettiva, la domanda che è necessario porsi è come l’essere ci parla dell’amore? Prima di addentraci nella riflessione è opportuna una digressione su Blondel e la sua filosofia.
Il futurismo è stato con molta probabilità il movimento letterario, artistico e culturale[2] più importante e significativo che l’Italia ha prodotto nell’intero Novecento. Il futurismo non è stato un movimento d’avanguardia circoscritto soltanto all’ambito letterario, ma con una quantità smisurata di manifesti, appelli e conferenze, ha proposto nuove e mai esplorate strade per tutte le arti, ha avuto una chiara posizione politica[3], ha cercato di stabilire una sua morale e un nuovo senso del vivere. Tra i manifesti futuristi più significativi, dov’è proprio stabilito cosa vuol dire essere futurista, vi è quello di Filippo Tommaso Marinetti pubblicato su «Le Figaro» nel 1909.
È un racconto rientrante nella categoria filosofia-fiction, situato fra romanzi filosofico-storici, come la «Città del Sole» (Campanella) o «Il mondo di Sofia» (Gaarder), e romanzi filosofico-epici, come il viaggio di «Zarathustra» (Nietzsche), dove si perde il confine fra fiction e realtà a favore dell’immaginazione e argomentazione di un’altra cultura. Il tutto affidato alla voce narrante dell’io. È per la smisuratezza dell’ego che chiedo venia.
1. Luogo di configurazione
Ignoto mi era dove andavo, solo da dove venivo. Da dove vieni è da dove guardi, da dove configuri il mondo, e da dove vengo non ci sono citazioni e ogni vostro cammino si decostruisce e rinnova, trasforma da possibilità mai toccate prima.
Coerentizzazione delle operazioni con zero grazie all’introduzione del calcolo sull’infinito
di > Vito j. Ceravolo
Abstract: The classical mathematics loses algebraic coherence in the operations of division with zero. With this mathematics the operations with zero want to respond consistently thanks to the introduction of calculus on infinity.
Indice: Prima Parte. Mathematica Ad Infinitum 1. Numeri fondanti. 2. Numeri. 3. Potenza di calcolo. 4. Sistema aritmetico. 5. Struttura algebrica
Seconda Parte. Dalla matematica infinita a quella naturale 6. Dal ciclo infinito alla serie naturale. 7. Costruzione insiemistica dei numeri naturali. 8. Passaggio da un’unità a un’altra
Terza Parte. Proprietà dei numeri 9. Distribuzione numeri fondanti. 10. Distribuzione numeri naturali
Quarta Parte. Retta dei numeri 11. Annullamento positivo delle moltiplicazioni con 0 e ∞. 12. Annullamento negativo delle moltiplicazioni con 0 e ∞. 13. Principio di equivalenza. 14. Retta dei numeri
Quinta Parte. Applicazioni preliminari 15. Le quattro operazioni elementari. 16. Quantità e Grandezze. 17. Contare e Misurare. 18. Razionale e Irrazionale. 19. Risultato delle operazioni elementari. 20. Fattoriali. 21. Algebra degli infiniti e degli infinitesimi. 22. Algebra dell’infinito. 23. Potenze e Radici. 24. Reciprocità fra 0 e ∞. 25. Matematica e Linguaggio
Introduzione
Conto con le dita: zero, uno, infinito.
La presente conta una elementare matematica capace di risolvere le operazioni con lo zero grazie all’introduzione del calcolo con l’infinito. Non intacca la matematica classica nelle sue operazioni ordinarie, solo in quei casi limite che riguardano – appunto – le operazioni con zero e infinito. Ed è forse questa l’impresa a cui chiama: non tanto il contare, quanto l’interpretare quello stesso contare come dato da più ampie regole.
La prova si fonda sull’assoluto Tutto 1, l’assoluto Niente 0, l’infinito ∞. Fra cui mi ritrovai nel bel mezzo di risultati insoliti, come 0/0=1, 1/0=∞, ∞/∞=1. Alcuni di questi risultati sono già noti in matematica: nel VII secolo il matematico indiano Brahmagupta cercò delle regole per utilizzare lo 0 in combinazione con le altre cifre, attribuendogli 0/0=0 e 1/0=∞. Sulle sue orme, nel XII secolo, un altro matematico indiano, Bhaskara ipotizzò 1/0=∞. Al tempo attuale il matematico americano C. Seife immagina una gemellanza fra 0 e ∞ in virtù di alcuni campi matematici in cui i due compartecipano. In tutti questi casi però, le loro ipotesi sono nulle, o parziali, dove prive di un sistema coerente per integrare 0 1 ∞ con le altre cifre nel sistema aritmetico.
Filosofia e nuovi sentieri 