Abstract: We reverse the Axiom of Foundation in set theory, representing how every consistent set belongs to itself, constructing an ideal set-theoretical axiomatization free from logical-mathematical paradoxes.

Keywords: set theory, logic, philosophy, unit

Introduzione

È lo svolgimento di una Teoria degli insiemi che si poggia su x∈x, sino a dimostrarlo.

Anzitutto ci concentriamo sull’Assioma di fondamento x∉x dell’assiomatizzazione di Zermelo (1908), il quale non è deducibile dagli altri assiomi del sistema, ma introdotto con un postulato intuitivo. Ciò ci permette di lavorarlo senza intaccare il restante corpus assiomatico (dell’estensione, dell’insieme vuoto, della coppia, dell’unione, della potenza, della sostituzione, dell’infinito, della scelta), sennonché, con le giuste cautele, di utilizzare e integrare questo restante corpus.

In questa lavorazione, inverto il detto Assioma di fondamento, rappresentando come ogni insieme consistente appartiene a se stesso x∈x. Da tale ideazione potremmo contare che il mare è blue fa parte delle cose blu; questa è la forma semplice che anima codesta dimostrazione: logicamente x(y) significa y ha la proprietà x; matematicamente x={y} significa x è l’insieme di y. Nota. È convenzione matematica indicare gli insiemi con la lettera maiuscola e gli elementi con la lettera minuscola X={y}, ed è convenzione logica indicare il soggetto in maiuscolo e le sue proprietà in minuscolo x(Y), ma poiché questa prova si svolge sulla condizione X={y}↔x(Y), uso indicare entrambi in minuscolo x={y}↔x(y).

Più nel dettaglio, la presente dimostrazione prevede: 1. La definizione,  costruzione e distinzione degli insiemi formali, definiti per caratteristica o intensione, e gli insiemi materiali, definiti per elencazione od ostensione; 2. La rappresentazione di come gli insiemi ben ordinati e non ben ordinati appartengono a se stessi; 3. La dimostrazione dell’Assioma di fondamento x∈x.

1 – Costruzione degli insiemi formali e materiali

Due esempi per distinguere intuitivamente fra insiemi formali e materiali:

• Esempio sensibile. Se Socrate y ha cuore x, allora formalmente e universalmente appartiene all’insieme delle cose con cuore x={y} e ha la proprietà di avere un cuore x(y), allora materialmente e individualmente è l’insieme del suo organo cuore y={x} e il suo cuore lo predica come suo soggetto y(x);

• Esempio matematico. Se l’operazione 2+3 restituisce il risultato 5, allora formalmente e universalmente appartiene all’insieme delle cose che restituiscono  5={2+3, 4+1, 6-1, …} e ha la proprietà di restituirlo 5(2+3), allora materialmente e individualmente è l’insieme da cui si dà quel risultato 2+3={5} il quale lo predica come sua operazione materiale e individuale 2+3(5).

Da tali regolarità definisco i seguenti insiemi formali e materiali, dove coniugo il mondo sensibile, e le sue frasi soggetto-predicato, col mondo matematico, e le sue equivalenze operazione-risultato (soggetto : predicato = operazione : risultato). Esattamente, ciò che sensibilmente è soggetto matematicamente è operazione, ciò che sensibilmente è predicato matematicamente è risultato (soggetto : operazione = predicato : risultato):

• Esempio sensibile. In “Pitagora è matematico” il soggetto “Pitagora” è l’operazione, il predicato “matematico” è il risultato;

• Esempio matematico. In “2+3=5” l’operazione “2+3” è il soggetto, il risultato “5” è il predicato.

Le seguenti definizioni degli insiemi formali e materiali trattano il principio di comprensione di Frege: “ogni proprietà determina un insieme costituito dagli oggetti che soddisfano la proprietà; ogni insieme è determinato da una proprietà che è appunto quella di essere un oggetto appartenente al’insieme”. Tale principio viene modificato e dimostrato come assioma a seguito delle suddette definizioni.

Simboli:
x = predicato o risultato
y = soggetto od operazione
d = determinazione insiemistica

1.1 – Insiemi formali

Assioma 1.1. Insieme formale

xdy : x={y}↔x(y)  

È un insieme formale universale, se xdy il predicato determina l’insieme del soggetto x={y} e il soggetto lo predica come sua proprietà x(y), ovvero se è costruito intensivamente dalle sue proprietà.

Comprensione

∃x∀y (y∈x ⇔ x(y))

È un insieme formale intensionale, se formato dagli elementi y che soddisfano le proprietà espresse dall’insieme x. Da cui, una gnoseologia connotativa mediata dalla descrizione x senza passare attraverso l’oggetto y, un formalismo hilbertiniano (1926) i cui assiomi  sono relazioni logiche fra concetti x.

Conclusione

x={y | x(y)}

L’insieme formale universale x è formato in intensione dagli elementi y che soddisfano le proprietà dell’insieme x(y).

Esempio:

2_n={x ∣ x è un numero intero e x mod 2=0}

1.2 – Insiemi materiali

Assioma 1.2. Insieme materiale

ydx : y={x}↔y(x)

È un insieme materiale individuale, se ydx il soggetto determinal’insieme del predicato y={x} e il predicato lo predica come suo soggetto y(x), ovvero se è costruito ostensivamente dall’elemento.

Comprensione

∃y∀x (x∈y ⇔ y(x))

È un insieme materiale ostensivo, se formato dall’insieme che soddisfa le proprietà espresse dall’elemento y. Da cui, una gnoseologia denotativa diretta all’oggetto y senza passare attraverso la descrizione x, un logicismo fregeano (1893-1903) i cui assiomi sono definizioni dei concetti y che li soddisfano.

Conclusione

y={x | y(x)}

L’insieme materiale individuale y è formato in ostensione dall’insieme x che soddisfa le proprietà dell’elemento y(x).

Esempio:

2_n={2, 4, 6, 8, …,}

1.3 – Dimostrazione comprensione

Dimostrazione. Prendiamo il principio di comprensione di Frege così comunemente riformulato ∃x∀y (y∈x ⇔ Φ(y)) e partiamo le mosse dalla proprietà di ogni x di appartenere a se stesso, otteniamo ∃x∀y (y∈x ⇔ y∈y). Se sostituiamo la nostra x con un generico termine a abbiamo (y∈a ⇔ y∈y). Se insistiamo nella sostituzione come scopo della generalizzazione otteniamo (a∈a ⇔ a∈a) e questo rende consistente lo Schema di assiomi di comprensione ∃x∀y (y∈x ⇔ Φ(y)).

Conclusione. Il risultato in questione è che esiste l’insieme universale ∃x∀y (y∈x).

1.4 – Separazione insiemi formali e materiali

Tra materia e ostensione da un lato e forma e intensione dall’altro, è un tema antico, centrale, sempre aperto in filosofia, logica e matematica. Intorno a esso Hilbert (1925) afferma:

Concepiamo la matematica come un corpus di formule di due tipi: in primo luogo, quelle cui corrispondono comunicazioni di enunciati finitari dotate di contenuto; e, in secondo luogo, altre formule che non significano nulla e costituiscono le strutture ideali della nostra teoria.^[1]

In guida classica Zermelo-Fraenkel (ZF), possiamo comprendere gli insiemi formali e materiali così separandoli; rimodellando lo Schema di assiomi ZF di separazione:

Assioma 1.3. Separazione insiemi formali e materiali

∀x∃y∀z (z∈y⇔z∈x ∧ Φ(z,…))

La formula Φ di separazione degli insiemi formali e materiali è funzionale rispetto a:

• Formula formale Φ

x(z,…) : x={y}↔x(y)

Data la proprietà x dell’insieme, l’insieme x è l’insieme degli y a esso equivalenti in dati predicati x;

• Formula materiale Φ

y(z,…) : y={x}↔y(x)

Data la proprietà y dell’elemento, l’invertito insieme x predica gli y che lo determinano.

Lo Schema di assiomi ZF di separazione è modificato dagli intenti di ZF, in cui la formula Φ è introdotta ad hoc con eventuali parametri diversi da y per impedire di formare insiemi da proprietà arbitrarie, cioè impedendo che per ogni proprietà esista la sua estensione e limitando l’estensione della proprietà fregeana solo agli insiemi noti. Mentre io definisco Φ permettendo l’estensione a ogni proprietà consistente, in funzione alla formula Φ considerata; e che funzionalmente a questo contesto, di insiemi formali e materiali, definisce le seguenti proprietà:

Proprietà di estensione logica

a(b) ⇒ a={b}

Ogni proprietà consistente si estende all’insieme formale di tutti gli elementi che hanno quella proprietà.

Proprietà di intensione insiemistica

a={b} ⇒ a(b)

Ogni insieme consistente si riduce alla proprietà per la quale gli elementi si dicono partecipi di esso.

Con siffatte proprietà, ho appena attraversato il vallo di Frege fra concetto e oggetto, impedente ai concetti di cadere sotto gli oggetti. L’attraversamento è il seguente: per estensione logica l’oggetto cade sotto concetti, per intensione insiemistica i concetti cadono sotto oggetti. Rimodellando Kenny (1995):

Il concetto mammifero è subordinato al concetto animale, animale è una componente del concetto mammifero, [ed è] una sua proprietà.^[2]

1.5 – Dimostrazione proprietà

Dimostrazione. Prendiamo il noto principio di equivalenza dei predicati x(y)↔y=x per cui se y soddisfa il predicato x allora y è x, es. Se Eulero predica la proprietà di essere matematico allora Eulero è matematico. Se ora sostituiamo le nostre x e y con un generico termine a otteniamo:

Proprietà consistente 

a(a)⇔a=a

È consistente se predica se stesso a(a), quindi se di sé dice che è se stesso a=a;

Proprietà inconsistente

¬a(a)⇔a≠a

È inconsistente se non predica se stesso ¬a(a), quindi se di sé dice che non è se stesso a≠a.

Conclusione. Il risultato in questione è che l’estensione logica e l’intensione insiemistica restituiscono coerenza per predicati che possono essere predicati di se stessi cioè per proprietà o insiemi consistenti, mentre restituiscono incoerenza per predicati che non possono essere predicati di se stessi cioè per proprietà o insiemi inconsistenti.

Esempio:

Sia w il predicato [inconsistente]: essere un predicato che non può essere predicato di se stesso. Si può predicare w di se stesso? Da ogni risposta segue l’opposto. Bisogna dunque concludere che w [a causa della sua contraddittorietà] non è un predicato. Allo stesso modo non esiste una classe (come totalità) di quelle classi che come totalità non appartengono a se stesse. Ne concludo che in determinate circostanze [di inconsistenza] un insieme [contraddittorio] non forma una totalità.^[3]

Le parentesi quadre da me introdotte normalizzano la dimostrazione di Russell al seguente discorso: se non è l’insieme universale a essere contraddittorio, allora appare contraddittoria la proprietà di non appartenere a se stessi.

1.6 – Astrazione della forma e della materia

Astraiamo l’intero Assioma 1. in un’unica formula: per ogni x(y)↔x={y}, se il predicato-risultato pr è assunto come insieme formale universale allora pr=x, se invece è il soggetto-operazione so a essere assunto come insieme materiale individuale allora so=x. Il nostro convenuto è la

logicamatematica

x(y)↔x={y}
Se y predica x, allora x è l’insieme di y.

La quale è capace di contare, definire costruire, comprendere separare, insiemi universali-formali, insiemi materiali-individuali, o in sinolo, o loro proprietà. Per la quale, se x(y) e x={y} coincidono, allora insieme x={x(y)}, sinteticamente x={y}, analiticamente x={x}. Con la quale, il classico Schema di assiomi ZF della sostituzione Φ(x,y), in cui la formula Φ è qui funzionale rispetto alla proprietà x che accomuna l’insieme e l’elemento, ovverosia x(x,y) dove l’insieme x e l’elemento y sono sostituibili nella proprietà x e in funzione della proprietà x di cui entrambi godono. Vale a dire:

Lemma

x∈x
Ogni insieme consistente appartiene a se stesso.

Tale lemma x∈x è l’interesse di questo saggio e ciò che si vuole dimostrare.  Prima però, di seguito, rappresento come gli insiemi consistenti appartengono a se stessi, distinguendo fra insiemi ben ordinati e non.

Nota. Dalla sopra logicamatematica in poi, proseguo con x letto come  predicato-risultato o soggetto-operazione, l’altro è y. Dall’economia della sopra logicamatematica, da essa in poi è costante che x si riferisce all’insieme o alle sue proprietà, è costante che y si riferisce all’elemento o alle sue proprietà, fatta eccezione l’Assioma 4.

2 – Appartenenza degli insiemi ben ordinati e non ben ordinati

La seguente rappresentazione si concentra esclusivamente sugli insiemi che soddisfano o non soddisfano il principio del minimo: “ogni sottoinsieme non vuoto ammette minimo”. Il fine è definire le diverse modalità con cui gli insiemi appartengono a se stessi.

Simboli:
x_n = insieme x di n
(x_n, ≤) = relazione d’ordine totale ≤ su x_n, dove ogni sottoinsieme non vuoto di x_n ha un elemento minimo rispetto a ≤
≤ = indicatore dell’elemento minimo

2.1 – Insiemi ben ordinati

Assioma 2.1. Appartenenza insieme ben ordinato

(x_n, ≤) : x_n={x, x(y)}    

Si dicono “insiemi ben ordinati”(x_n, ≤) se hanno un primo elemento della serie totale. In questo caso, il valore dell’insieme x_n si ritrova fra i suoi elementi y sia in veste di primo elemento della serie x_n={x, …,} sia in veste di proprietà dei suoi elementi x_n={x(y)}.

Comprensione

∃x∀y (y∈x ⇔ ≤(y))

È un insieme ben ordinato se i suoi sottoinsiemi predicano il primo elemento della serie totale. Da cui, una gnoseologia riduzionista riducibile al costituente dell’insieme ≤, i cui assiomi sono relazioni gerarchiche dell’ordine x.

Conclusione

x={y | ≤(y)}

L’insieme ben ordinato x è formato dagli elementi y che soddisfano la proprietà del primo elemento ≤(y).

Esempi:

• Se 1 è l’insieme degli n, allora la serie n deve avere la proprietà 1, e  il valore dell’insieme 1_n si ritrova dentro sé sia come primo elemento 1 della serie e sia come predicato costitutivo 1(n) di tutta la serie

1_n={1, 1+1, 1+1+1, …, n+1};

• Se ∅ è l’insieme vuoto, allora ogni suo elemento y ha predicato vuoto ∅(y) cioè non è, dimodoché il valore dell’insieme vuoto si ritrovi dentro di sé in quanto vuoto

∅={}.

I seguenti tre esempi registrano insiemi ben ordinati che, tuttavia, costituiscono sottoinsiemi non ben ordinati: insiemi globalmente ordinati ma non totalmente ordinati. Chiamo “insiemi ben ordinati ma non totalmente ordinati” gli insiemi che hanno come elemento minimo una funzione multivalente (Es. √4 che ha come soluzioni 2 e –2), un’equazione polinomiale di grado superiore (Es. f(x)=x³–3x+2=0 che ha come soluzione 1, –1 e 2) o altre funzioni non deterministiche, dove dall’elemento minimo, in questo caso la funzione, derivano più possibili soluzioni:

Insieme ben ordinato non totalmente ordinato

x_n={x, {x’, x’’}, {x’’, x’}}

È un insieme ben ordinato ma non totalmente ordinato, se, dato l’elemento minimo, il suo successore può diversificarsi in sottoinsiemi con struttura gerarchica ma senza un ordinamento fra loro. Per la cui proprietà f(x)={x’,x’’} esiste un elemento minimo x di x_n la cui funzione restituisce un insieme di diversi possibili successori a esso riducibili.

Esempi:

• Se Gir è l’insieme dei suoni che iniziano con gir, allora ha come primo elemento gir da cui tutti i suoni che iniziano con gir

Gir_n={gir, {giro, giravolta}, {giravolta, giro}, …, gir+n};

• Se la funzione multivalente √4 è l’insieme dell’operazione √4, allora in sé porta sé e le sue soluzioni (N.B. L’esempio potrebbe apparire controverso laddove si considerasse dubbia la funzione come elemento minimo o dubbi legati agli insiemi materiali)

√4_n={√4, {2, –2}, {–2, 2}}.

• Se Io sono l’universo psicofisico di me allora in me c’è un io (N.B. L’esempio potrebbe apparire controverso laddove si considerasse dubbio l’io come origine della coscienza o dubbi legati agli insiemi materiali)

Io_n={io, {sono felice, sono triste}, …, io+n}.

2.2 – Insiemi non ben ordinati

Assioma 2.2. Appartenenza insieme non ben ordinato

¬(x_n, ≤) : x_n={x(y)}   

Si dicono “insiemi non ben ordinati” ¬(x_n, ≤) se non hanno un primo elemento della serie totale. In questo caso, il valore dell’insieme x_n si ritrova fra i suoi elementi y in veste di proprietà dei suoi elementi x_n={x(y)}.

Comprensione

∃x∀y (y∈x ⇔ ¬≤(y))

È un insieme non ben ordinato se i suoi sottoinsiemi non hanno un primo elemento della serie totale da predicare. Da cui, una gnoseologia emergentista irriducibile al costituente dell’insieme ¬≤, i cui assiomi sono definizioni dei contesti y che li soddisfano.

Conclusione

x={y | ²(y)}

L’insieme non ben ordinato x è formato da elementi y che non soddisfano la proprietà del primo elemento ¬≤(y).

Esempi:

• Se il Giallo è l’insieme degli oggetti gialli, allora gli elementi del suo insieme devono avere la proprietà giallo, dimodoché il valore dell’insieme giallo si ritrovi fra i suoi elementi

Giallo_n={giallo(banana), giallo(limone), …, giallo(n)};

• Se la Mano è l’insieme degli oggetti con la mano, allora gli elementi del suo insieme devono avere l’ordine mano, dimodoché l’ordine dell’insieme mano si ritrovi fra i suoi elementi

Mano_n={mano(uomo), mano(scimpanzé), …, mano(n)};

• Se l’Irrazionale I è l’insieme dei numeri irrazionali, allora i suoi elementi devono avere l’ordine “irrazionale: numeri la cui espansione non termina mai in qualunque base e non forma una sequenza periodica”, dimodoché l’ordine dell’insieme irrazionale si ritrovi fra i suoi elementi

I_n={i(√2), i(π), …, i(n)};

Il seguente esempio registra insiemi non ben ordinati di tipo Insiemi concreti: Insiemi che hanno una natura fisica. Per esempio: i sacchi di patate, le sedie. I quali estendono al mondo fisico e corporeo la classica definizione di insieme, di tipo Insiemi astratti: Insiemi che hanno una natura mentale. Per esempio: «Un insieme è una collezione di definiti e distinti oggetti della nostra intuizione o del nostro pensiero. Gli oggetti sono chiamati elementi (membri) dell’insieme»:^[4]

Definizione insieme

Un insieme è una collezione, mentale o fisica, di definiti e distinti elementi.

Esempi:

• Se il Contenitore barattolo è l’insieme dell’elemento zucchero che contiene, allora, per principio di indeterminazione di Heisenberg, la misura di grandezza dell’insieme x influenza l’elemento y, ossia l’elemento y deve portare dentro sé contaminazioni dell’insieme x, dimodoché l’insieme si ritrovi fra i suoi elementi, tanto da poter anche, in taluni casi, sentire il sapore del barattolo nello zucchero che contiene

Contenitore={contenitore(contenuto)};

• Se il Linguaggio L è l’insieme delle parole p, allora le parole p devono avere proprietà di linguaggio l, dimodoché il linguaggio si ritrovi nelle parole, tale da poter distinguere suoni che hanno proprietà di linguaggio da quelli che non le hanno

L={l(p)}.

2.3 – Separazione insiemi ben ordinati e non ben ordinati

In guida classica ZF, possiamo comprendere gli insiemi ben ordinati e non bene ordinati così separandoli; rimodellando lo Schema di assiomi ZF di separazione:

Assioma 2.3. Separazione insiemi ben ordinati e non ben ordinati

∀x∃y∀z (z∈y⇔z∈x ∧ Φ(z,…))

La formula Φ di separazione degli insiemi ben ordinati o non ben ordinati è funzionale rispetto a:

• Formula ben ordinata Φ

≤(z,…) : x_n={x, x(y)}

Data la proprietà dell’insieme di avere un elemento minimo ≤, l’elemento y predica il primo elemento dell’insieme;

• Formula non ben ordinata Φ

¬≤(z,…) : x_n={x(y)}

Data la proprietà dell’insieme di non avere un elemento minimo ¬≤, l’elemento y predica la proprietà dell’insieme.

Da cui le seguenti proprietà:

Proprietà di riduzione

≤(b) ⇔ {a, a(b)}

In un insieme ben ordinato l’elemento è riducibile gerarchicamente all’ordine del primo elemento.

Proprietà di emergenza

¬≤(b) ⇔ {a(b)}

In un insieme non ben ordinato l’elemento emerge relativamente a come viene ordinato l’insieme.

2.4 – Astrazione dell’ordine

Con l’ordine degli insiemi ci astraiamo al problema millenario di Porfirio (III-IV secolo d.C.): “Gli universali (o meglio, i predicabili, come i generi e le specie) sono costruzioni mentali o sussistono di per sé? Sono corporei o incorporei? Sono nelle cose sensibili o separati da essi?”. Problema che questa idealizzata Teoria degli insiemi x∈x conta così:

Universale ben ordinato

• Quando l’universale è un insieme ben ordinato, potrebbe assumere la propria realtà corporea e sensibile, ontologica, la realtà ontologica dell’universale, per via ostensiva tramite il primo elemento della serie totale che è l’oggetto che denota il valore dell’insieme, o ragione della serie es. 2_n={2, 4, 6, …}, salvo particolari elementi non ontologici;

Universale non ben ordinato

• Quando l’universale è un insieme non ben ordinato, potrebbe assumere la propria realtà incorporea e sovrasensibile, di legame astratto, la realtà formale-mentale-spirituale dell’universale, per via intensiva tramite una proprietà esclusiva che hanno in comune solo gli elementi di quell’insieme e che connota il valore dell’insieme, o cuore della serie es. Frutto_n={f(mela), f(pera), …}, salvo particolari insiemi ontologici.

In entrambi i casi si conta che, ∀x∃y (∃y→x(y)) tutti gli universali sono nelle cose che partecipano a essi, x(y)→x={y} tutti gli attori predicanti partecipano a universi. Nell’idealizzata Teoria degli insiemi x∈x.

3 – Fondamento Teoria degli insiemi

Definisco la regolarità dei sopra rappresentativi insiemi, con il seguente assioma di fondamento:

3.1 – Fondamento insiemistica

Assioma 3.1. Fondamento insiemistica

Se x è l’insieme di y, allora y appartiene-∈ a x tale che y e x hanno elementi comuni. Dove è possibile avere contemporaneamente y∈x e x∈y sotto due distinti rapporti di appartenenza ∈:

1. Appartenenza matematico-insiemistica x={y} → y∈x;
2. Appartenenza logico-predicativa x(y) → x∈y.

y∈x ⊆ x={y}  ∧  x∈y ⊆ x(y)  ∧  x={y}↔x(y)
⇒  y∈x↔x∈y

Nella letteratura narrativa si direbbe: ciò a cui in qualche misura si appartiene, in qualche misura ci appartiene.

3.1.1 – Dimostrazione

Dimostrazione. Se indichiamo a={x, y}, l’Assioma di fondamento insiemistica ci dice che non esiste alcun elemento z di a che non abbia elementi in comune con a. Ciò permette di avere matematicamente y∈a per a=x per x={y}, e avere logicamente x∈a per a=y per x(y). Nel dettaglio:

• Matematicamente partiamo dall’insieme x={x, y} definito per proprietà P={x(y)}, in cui cioè gli elementi {x, y} dell’insieme x si rappresentano nella forma {x(y)}, tale che {x, y} è sottoinsieme di {x(y)} nell’inclusione {x, y}⊂{x(y)}. Il risultato è x={x(y)} cioè x={y};

• Logicamente partiamo dall’insieme y={x, y} definito per insieme Set-logico-invertito, in cui cioè gli elementi {x, y} dell’insieme y si rappresentano invertendo l’insieme con gli elementi x={y}, tale che {x, y} è sottoinsieme di {x={y}} nell’inclusione {x, y}⊂{x={y}}. Il risultato è x={y}.

Conclusione sintetica

∀x : x≠∅ ⇒ ∃y : y∈x ∧ ∃z : z∈x ∧ z∈y

Per ogni insieme non vuoto x, esiste un y che appartiene ad x ed esiste un z che appartiene a entrambi.

Conclusione analitica

x∈x

Ogni insieme consistente appartiene a se stesso.

Eureka! (Archimede III secolo a.C.)

3.2 – Proprietà

Di seguito le proprietà dell’Assioma di fondamento insiemistica. La prima proprietà è ripresa dagli iperinsiemi di Azcel (1988) ma senza una successione infinita, la seconda proprietà è invertita dalla proprietà di regolarità x∩y=∅ del sistema assiomatico ZF, la terza è ridondante abbastanza da rimarcare l’operatività dell’Assioma di fondamento insiemistica:

Proprietà di fondamento a={b}

… ∈ b_n+2 ∈ b_n+1 ∈ b_n ∈ a

Un insieme a è ben fondato se fra i suoi sottoinsiemi b esiste una successione di appartenenza ∈-discendente in esso a.

Proprietà di regolarità a={b}

a∩b=a

Un insieme a è regolare se ogni suo sottoinsieme b è congiunto ∩ a esso a. 

Proprietà di minimalità a={b}

b ∈-minimale a

Un insieme a è minimale se ai suoi sottoinsiemi b appartiene ∈-minimale la proprietà a.

3.3 – Operatività e Rapporti

Dalle sopra proprietà ridonda l’operatività dell’Assioma di fondamento insiemistica:

Assioma 3.2. Operatività di fondamento insiemistica

∀x∃y (y∈x sse x(y))

Ogni elemento y per appartenere all’insieme x predica minimale la proprietà x.

Ossia, sulle linee di Cantor, y appartiene a un insieme x se y∈x e, rimodellando Frege, y∈x se e solo se y soddisfa una determinata proprietà x espressa nella forma logica x(y). Questa Operatività di fondamento non porta contraddizione, giacché tratta di appartenenze diverse sotto rapporti rispettivamente diversi:

Rapporto insiemistico

Quando il rapporto di y si proietta all’esterno trascendente insiemistico x={y} si ha un’appartenenza matematica y∈x;

Rapporto predicativo

Quando il rapporto di y si proietta all’interno immanente predicativo x(y) si ha un’appartenenza logica x∈y.

In questo Assioma di Operatività di fondamento insiemistica, per la sua predicazione minimale, non necessariamente una valigia contiene una valigia, ma sufficientemente alcune sue proprietà minimali; parimenti a come non è necessario che un insieme vuoto contenga un insieme vuoto, ma è sufficiente sia vuoto; così come non c’è bisogno che io sia tutto il giallo per essere giallo; o così come sa il senso comune: chiunque intuitivamente si aspetta che una mela, in essa, abbia un numero di passi discendente alle proprietà per cui è un frutto, e nessuno intuitivamente si aspetta che la mela non appartenga all’insieme dei frutti.

In generale, prendendo x={y} si può giungere all’insieme x∈x che è ciò che è richiesto dall’Assioma di fondamento insiemistica. Con le seguenti risposte.

3.4 – Singoletto

Assioma 4. Singoletto x={x}

∀x∃i∀y (y∈i ⇔ y=!x)

Per ogni consistente insieme x esiste un sottoinsieme i di cui l’elemento y è identico a x. Nota. L’Assioma è classico.

Assioma 4.1. Risultanza singoletto

x={x} ≡ x

Il risultato estensionale di x={x} equivale a x:

• Logica, x={x}→x, se è un insieme singoletto x={x} allora x;

• Filosofia, ogni consistente sé (x) è l’insieme (x={…}) di sé ({x}), uno e trino x ⇔ x={…} ⇔ {x}.

Assioma 4.2. Costruzione insiemistica singoletto

x={x} ⇐ |{x}|=1

L’operazione intensionale di x={x} è un {x}:

• Logica, x={x}←{x}, il numero degli elementi {x} per la costruzione insiemistica dell’insieme x è 1;

• Filosofia, x è l’elemento causale {x} dell’insieme di sé x={x}, un singoletto in assoluto in causa sui.

Assioma 4.3. Ricorsività singoletto

{…x(x)} : {x} ∈-minimale x

Un elemento singoletto {x} che predica se stesso {x(x)} all’infinitesimo {…x(x)} ha minimale la proprietà x, cioè se stesso:

• Logica,…x(x)→x(x), se x predica sé all’infinitesimo …x(x) allora predica sé x(x);

• Filosofia, l’inclusione infinitesima ricorsiva del singoletto{…x(x)} è determinata poiché se ne conosce l’ultimo elemento, {x}.

3.5 – Conclusione

Si conclude l’Assioma di fondamento 3. x∈x portandolo alla prova delle sue estreme conseguenze: si conclude che il risultato dell’inclusione infinita ricorsiva per insiemi che appartengono a se stessi, sfocia in una tautologia:

Assioma 5. Consistenza insiemistica

X={A | A ∈ A}

L’insieme di tutti gli insiemi che appartengono a se stessi appartiene a se stesso solo se appartiene a se stesso.^{[5] [6]}

Con siffatto Assioma di consistenza insiemistica, ho appena connesso proposizioni che non aggiungono nulla, mero truismo, mera ispezione della proposizione iniziale

x → x=x → x(x) → x∈x → x={x} → x⊂x → x∩x →…

Tutta la matematica è solo un’immensa, splendente, tautologia; reificata in corpo individuale per ogni x soggetto-operazione, astratta in mente universale per ogni x predicato-risultato:

∃x∀y (x(y) ⇔ x={y} ⇔ x∈x ⇔ x∩y=x ⇔ x⊂y⊂x ⇔ y=x)

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Note:

[1] Hilbert (1925), tr. it. p. 42.

[2] Kenny (1995), tr. it. p. 127. L’originale [ma non è] è sostituito da [ed è].

[3] Russell (2002), p. 238.  Dalla lettera di Russell a Frege, 16 giugno 1902.

[4] Cantor (1895), p. 481: «Unter einer “Menge” verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die “Elemente” von M genannt werden) zu einem Ganzen».

[5] Dimostrazione. Definito X={A | A ∈ A}, se X∈X allora X appartiene a se stesso, il che implica X∈X per la sua definizione, e ciò è tautologico, consistente, sufficientemente forte da dimostrare la propria coerenza. Il risultato in questione è chiamare Insiemi consistenti gli insiemi che appartengono a se stessi x∈x, capaci di ridursi a proprietà e da proprietà tornare a insiemi.

[6] Reductio ad absurdum. Si definisca come controprova X={A | A ∉ A}, se X∈X allora X appartiene a se stesso, il che implica X∉X per la sua definizione, ma ciò è contraddittorio, inconsistente, non abbastanza forte da dimostrare la propria coerenza. Il risultato in questione è chiamare Insiemi inconsistenti gli insiemi che non appartengono a se stessi x∉x. In generale, gli insiemi inconsistenti non sono insiemi, sono classi proprie incapaci di estendersi a insiemi e ridursi a proprietà. Nel dettaglio:

• È senso comune x(y)→y=x che se y soddisfa la proprietà leone allora è un leone, ed è senso comune ¬x(y)→{y}≠x che se y non soddisfa la proprietà leone allora non fa parte dei leoni, quindi è un controsenso un insieme che non appartiene a sé x∉x in cui nessun elemento y può avere la proprietà x per appartenere a x:

y∈x sse x(y) | x={y} sse x∈x

• È paradossale x∉x perché non può di principio essere l’insieme di qualcosa né vuoto, da cui né vivo né morto, né appartenere né non appartenere, né vero né falso etc:

x∉x : (y≠∅∧z=∅)∉x

• È contraddittorio x∉x perché non è di principio un insieme, contraddice l’essere insieme separando sé da sé x∉x invece di appartenerlo x∈x. Tale contraddizione si palesa estendendolo al principio di equivalenza dei predicati (cap. 1.5):

x∉x ⇔ ¬x(x) ⇔ x≠x

Riferimenti bibliografici

Peter Azcel, Non-Well-Founded Sets, “CLSI Lecture Notes”, number 14, 1988.

Georg Cantor, Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, “Mathematische Annalen”, vol. 46, 1895, pp. 481-512.

Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik, Verlag Hermann Pohle, Jena 1893-1903.

David Hilbert, On the Infinite, Discorso alla Società Matematica della Vestfalia, in onore di Karl Weierstrab, 4 giugno, Münster 1925, tr. it. Alberto Frigo, Sull’infinito, Castelvecchi, Roma 2013.

David Hilbert, Über das Unendliche, “Mathematische Annalen”, vol. 95, 1926, pp. 161-190.

Anthony Kenny, Frege: An Introduction to the Founder of Modern Analytic Philosophy, Penguin Books, Harmondsworth 1995, tr. it. Marco Mazzone, Frege. Un’introduzione, Einaudi, Torino 2003.

Bertram Russell, Selected Letters of Bertrand Russell. The Private Years 1884-1914, ed. by Nicholas Griffin, Routledge, New York 2002.

Ernst Zermelo, Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I, “Mathematische Annalen”, vol. 65, 1908, pp. 261-281.