«Mi rappresento il vasto recinto delle scienze come una grande estensione di terreno disseminato di luoghi oscuri e illuminati. Lo scopo delle nostre fatiche deve essere quello di estendere i confini dei luoghi illuminati, oppure di moltiplicare sul terreno i centri di luce. L’un compito è proprio del genio che crea, l’altro della perspicacia che perfeziona» Denis Diderot
Abstract: We reverse the Axiom of Foundation in set theory, representing how every consistent set belongs to itself, constructing an ideal set-theoretical axiomatization free from logical-mathematical paradoxes.
Keywords:set theory, logic, philosophy, unit
Introduzione
È lo svolgimento di una Teoria degli insiemi che si poggia su x∈x, sino a dimostrarlo.
Anzitutto ci concentriamo sull’Assioma di fondamento x∉x dell’assiomatizzazione di Zermelo (1908), il quale non è deducibile dagli altri assiomi del sistema, ma introdotto con un postulato intuitivo. Ciò ci permette di lavorarlo senza intaccare il restante corpus assiomatico (dell’estensione, dell’insieme vuoto, della coppia, dell’unione, della potenza, della sostituzione, dell’infinito, della scelta), sennonché, con le giuste cautele, di utilizzare e integrare questo restante corpus.
Coerentizzazione delle operazioni con zero grazie all’introduzione del calcolo sull’infinito
di > Vito j. Ceravolo
Abstract: The classical mathematics loses algebraic coherence in the operations of division with zero. With this mathematics the operations with zero want to respond consistently thanks to the introduction of calculus on infinity.
Indice: Prima Parte. Mathematica Ad Infinitum 1. Numeri fondanti. 2. Numeri. 3. Potenza di calcolo. 4. Sistema aritmetico. 5. Struttura algebrica
Seconda Parte. Dalla matematica infinita a quella naturale 6. Dal ciclo infinito alla serie naturale. 7. Costruzione insiemistica dei numeri naturali. 8. Passaggio da un’unità a un’altra
Terza Parte. Proprietà dei numeri 9. Distribuzione numeri fondanti. 10. Distribuzione numeri naturali
Quarta Parte. Retta dei numeri 11. Annullamento positivo delle moltiplicazioni con 0 e ∞. 12. Annullamento negativo delle moltiplicazioni con 0 e ∞. 13. Principio di equivalenza. 14. Retta dei numeri
Quinta Parte. Applicazioni preliminari 15. Le quattro operazioni elementari. 16. Quantità e Grandezze. 17. Contare e Misurare. 18. Razionale e Irrazionale. 19. Risultato delle operazioni elementari. 20. Fattoriali. 21. Algebra degli infiniti e degli infinitesimi. 22. Algebra dell’infinito. 23. Potenze e Radici. 24. Reciprocità fra 0 e ∞. 25. Matematica e Linguaggio
Introduzione
Conto con le dita: zero, uno, infinito.
La presente conta una elementare matematica capace di risolvere le operazioni con lo zero grazie all’introduzione del calcolo con l’infinito. Non intacca la matematica classica nelle sue operazioni ordinarie, solo in quei casi limite che riguardano – appunto – le operazioni con zero e infinito. Ed è forse questa l’impresa a cui chiama: non tanto il contare, quanto l’interpretare quello stesso contare come dato da più ampie regole.
La prova si fonda sull’assoluto Tutto 1, l’assoluto Niente 0, l’infinito ∞. Fra cui mi ritrovai nel bel mezzo di risultati insoliti, come 0/0=1, 1/0=∞, ∞/∞=1. Alcuni di questi risultati sono già noti in matematica: nel VII secolo il matematico indiano Brahmagupta cercò delle regole per utilizzare lo 0 in combinazione con le altre cifre, attribuendogli 0/0=0 e 1/0=∞. Sulle sue orme, nel XII secolo, un altro matematico indiano, Bhaskara ipotizzò 1/0=∞. Al tempo attuale il matematico americano C. Seife immagina una gemellanza fra 0 e ∞ in virtù di alcuni campi matematici in cui i due compartecipano. In tutti questi casi però, le loro ipotesi sono nulle, o parziali, dove prive di un sistema coerente per integrare 0 1 ∞ con le altre cifre nel sistema aritmetico.
Filosofia e nuovi sentieri 