Abstract

I address Gödel’s Incompleteness Theorem through four stages: by revisiting Aristotle’s Principle of Non-Contradiction; by revisiting Tarski’s Metalanguage; and, in a secondary way, by revisiting Hegel’s dialectic; as well as by using Gödelian mathematics to formalize the system. In short, I change the interpretative framework of Gödel’s theorem while its calculus remains untouched. The result provides a complete and coherent system.

Keywords: Completeness, Coherence, Demonstration, Gödel.

È una prova di consistenza e completezza del sistema.[1]

La metateoria misurante la consistenza e completezza del sistema, per sistemi abbastanza potenti da esprimere le proprietà elementari dell’aritmetica (PA – Peano Arithmetic, da Giuseppe Peano), è il Teorema di Incompletezza di Gödel. Esso risponde alla domanda: il sistema è consistente e completo? Per esso, il sistema non può essere assieme consistente e completo.

Rivisitiamo la prova gödeliana: anzitutto semplifico in tre parti il suo teorema, evidenziando gli elementi centrali a questa prova, dopodiché dichiaro l’oggetto della presente dimostrazione (lemma) e – qui mi sospendo con una integrazione matematica leggibile primo o dopo i tre teoremi – di conseguenza rivisitiamo la completezza, la coerenza e la dimostrazione. Non è il calcolo di Gödel a essere messo alla prova, ma la teoria entro cui lo interpreta.

La presente consta di due momenti di discontinuità: il primo è diretto al tema in questione tramite Principio di non contraddizione (Mio 2022); il secondo è indiretto al tema in questione tramite Teoria degli insiemi (Mio 2025), dico “indiretto” finché è l’Incompletezza stessa a riferirsi a sistemi sufficientemente espressivi da rappresentare la teoria dei numeri naturali. Le due discontinuità hanno i loro rispettivi saggi di cui, al momento opportuno, riporto i passaggi di interesse al tema. Benché tali passaggi siano accessibili, e sufficienti a questa prova, senza bisogno dell’intero piano (saggio) da cui si estrapolano, tuttavia il loro impatto non è irrilevante ma restituisce un sistema coerente e completo.

Una premura di lettura: v’è una rivolta. Sarebbe da saggiarne rigore e possibilità più che l’adesione ai canoni attuali.

Simboli
⊢ = dimostrabilità sintattica (Es. T⊢A = T è dimostrabile A)
d = dimostrazione ontologica (Es. TdA = T dimostra A)
⊨ = verità semantica (Es. T⊨A = T è A)

1. Teorema di Incompletezza di Gödel

Sintetizzo e scompongo il teorema gödeliano in tre semplici fasi: definizione, calcolo, conclusione.

1.1. Definizione

Gödel (1931) definisce:

• Completezza: una teoria T è completa se per ogni A espresso nel linguaggio si ha T ⊢ A o T ⊢ ¬A;
• Consistenza: una teoria T è consistente se non esiste nessun A tale che T ⊢ A e T ⊢ ¬A.

1.2. Calcolo

Gödel dimostra, con una serie di calcoli formali, che data una teoria T ω-consistente[2] ed estensiva PA, esiste un enunciato A tale che T non dimostra né A né ¬A.

In guisa sintetica: Gödel assegna a ogni formula ϕ un numero naturale ⌜ϕ⌝ detto Gödel number G, il quale rappresenta sintatticamente la formula ϕ. Attraverso il metodo della diagonalizzazione di Cantor, dimostra che per ogni formula ϕ(x) esiste una formula G tale che G≡ϕ(⌜G⌝); cioè una formula autoreferenziale che inserisce il proprio codice dentro di sé, frasi che parlano di frasi dello stesso linguaggio, che parlano di se stesse. Costruisce quindi una formula G ben formata tale che G afferma “io non sono dimostrabile (da Beweisbar)”: G≡¬Bew(⌜G⌝).

In altre classiche parole,[3] del teorema di Rappresentabilità delle funzioni e delle relazioni ricorsive primitive P, esiste una formula ϕ tale che, per ogni n₁, …, n_k ∈ N:

P(n₁, …, n_k)   ⇒   ⊢ ϕ_P (n̅₁, …, n̅_k)
P̅(n₁, …, n_k)   ⇒   ⊢ ¬ϕ_P (n̅₁, …, n̅_k)

La forma di tale evento è la riproposizione rigorosa del paradosso dell’autoreferenza: “Questa formula non è dimostrabile”. Più comunemente del paradosso del mentitore: “Questa frase è falsa”. In generale di quella classe di problemi autoreferenziali risalenti almeno al VIII-VII secolo a.C. al cretese Epimenide: “Tutti i cretesi sono bugiardi”. Una classe di problemi caratterizzati dall’essere autoconfutanti: se è A allora è ¬A e se è ¬A allora è A, viceversa. In formula: A=A↔A≠A. Un’inferenza in cui né A né ¬A sono dimostrabili. Questa la forma dell’indecidibile[4] gödeliano.

Nel dettaglio, il rigore di Gödel afferma casi in cui: una proposizione semanticamente vera sul numero, cioè sul cardinale n, non è dimostrabile sintatticamente nel sistema formale, cioè sul numerale n̅.[5] Si evidenzia una relazione fra la matematica n e le sue descrizioni n̅, dimodoché le operazioni logiche n̅ sulle proposizioni matematiche n possano essere corrisposte alle proposizioni matematiche stesse. Questa l’essenza dell’autoreferenzialità gödeliana.   

Gödel costruisce “così” una formula ben formata ϕG tale che G è vera semanticamente nel modello standard, ma non è dimostrabile sintatticamente nel sistema formale. Questo il nucleo dell’Incompletezza gödeliana:

Per ogni classe k ricorsiva, ω-consistente di formule esistono segni di classe ricorsivi r tali che né vGenr né Neg(vGenr) appartengano a Flg(k) (dove v è la variabile libera di r). (Gödel 1931, p. 187: «Zu jeder ω-widerspruchsfreien rekursiven Klasse x von Formeln gibt es rekursive Klassenzeichen r, so dab weder v Gen r noch Neg (v Gen r) zu Flg (x) gehört (wobei v die freie Variable aus r ist)».)

1.3. Conclusione

Ivi, se il sistema è consistente, secondo le interpretazioni di Consistenza e Completezza, esso è incompleto — causa combinazioni indecidibili che non contiene né prevede, che non possono essere dimostrate vere secondo l’interpretazione data. La conclusione di Gödel: in ogni teoria T sufficientemente potente da contenere l’aritmetica, esiste una formula ϕ tale che, se T è consistente, allora né ϕ né la sua negazione ¬ϕ sono dimostrabili. Questo il primo Teorema di incompletezza gödeliano.

2. Lemma

La sopra breve scomposizione (definizione, calcolo, conclusione) permette di separare e distinguere semplicemente le varie fasi del teorema gödeliano.

La fase del calcolo formale, benché qua solo accennata, sembra inevitabile (i. Codifica aritmetica della sintassi della logica formale. ii. Funzioni primitive ricorsive. iii. Formule per la dimostrabilità. iv. Diagonalizzazione di Cantor).

La fase della definizione, che è la cornice entro cui interpreta il calcolo, è invece controversa. Essa dipende dalla classica interpretazione del Principio di non contraddizione (pdnc) dello Stagirita:

Non ogni enunciato è dichiarativo, se non quello cui appartiene l’essere vero o falso. (Aristotele, De interpretatione, 4, 17 a2-3)[6]

Dipendenza dichiarata da Gödel medesimo:

Per finire, ancora un’osservazione sui metodi dimostrativi impiegati nel seguente lavoro […] viene fatto uso essenziale del principio del terzo escluso per totalità infinite. (Gödel1986, p. 62)

La quale interpretazione è notoriamente controversa perché non in grado di giustificare le logiche non classiche, né alcuni aspetti della vita, la natura, le società e altre domande, ed è ciò che — controversa — ha portato Gödel a concludere che il sistema non è assieme consistente e completo. Esattamente, la falla s’annida dove l’interpretazione pdnc di Aristotele (A 1∨0) basa la propria consistenza sugli opposti vero 1 o falso 0, escludendo le altre possibili combinazioni, come né vero né falso ¬1∧¬0, e in questa Tavola di verità 1∨0, facendo concludere a Gödel che: dato un sistema consistente il sistema è incompleto. A ben vedere: incapace di anticipare la forma di tutti gli eventi o di tutte le combinazioni o dei vari enunciati, come per esempio gli indecidibili gödeliani né veri né falsi ¬1∧¬0 oppure gli oggetti di altre logiche non classiche.

Con le parole di Emil Post[7] a Gödel, lettera 30 ottobre 1938:

L’assunzione che il sistema in questione fosse in grado di assegnare un’unica risposta sì o no ad ogni problema costituente l’entscheidungsproblem, conduceva a contraddizione per mezzo dell’argomento diagonale di Cantor. Da qui la mia conclusione circa l’irresolubilità di quel problema in ogni “logica simbolica” e quindi la sua indecidibilità assoluta. […] esaminando ulteriormente la fonte della contraddizione mi accorsi che essa conduceva ad un problema specifico della classe di problemi che costituiva l’entscheidungsproblem che non riceveva né un si né un no come risposta — assumendo che la logica fosse consistente, cioè che essa non assegnasse sia sì che no come risposta. (Gödel 1995, p. 170) 

La qual lettera traspira l’irresolubilità della decisione a partire da certi metodi di inferenza formali precisamente specificati, o “condizioni di derivabilità” della conclusione gödeliana. Dai qual metodi, la qui presente interpretazione del pdnc (A 1∨¬1) si distingue ponendo la propria consistenza su base negativa vero 1 o non vero ¬1: un lieve spostamento del metodo inferenziale sufficiente a stabilizzare il principium firmissimum (pdnc) a cui nessuna logica classica e non classica si sottrae, menante a un sistema coerente e completo.

Dimostro il lemma con i tre successivi Teoremi di completezza, coerenza, dimostrazione; anticipati da una formalizzazione matematica circoscritta ai punti portanti dei detti teoremi. Iniziamo con la formalizzazione, che può essere letta a fine o prima dei teoremi, in maniera non parallela ma integrata. Dopodiché, l’esposizione dei Teoremi.

3. Matematica di completezza, coerenza, dimostrazione

Mappatura matematica circoscritta agli elementi portanti della presente Metateoria. I primi tre sottocapitoli contestualizzano i Teoremi su cui, successivamente, proviamo la matematica di Gödel.

3.1. Logica binaria estesa

In riferimento al Teorema di Completezza, definiamo il dominio fondamentale dei valori di verità:

                     V={1}∪𝒩
dove 1 è vero e 𝒩 è l’insieme strutturato che rappresenta ¬1, cioè tutti i valori diversi da vero: ¬1=𝒩.

La valutazione semantica v di ogni formula A appartiene al dominio di verità:

                     v(A)∈V.
Se v(A) = 1, allora la formula è vera.
Se v(A) = 𝒩, allora la formula appartiene a una delle sottoclassi dell’insieme strutturato 𝒩.

Definiamo l’insieme enumerabile di rappresentanti della gerarchia interna di 𝒩:

                     𝒩={0, B, P, F(p), …}.
Con:

• 0 : falso;
• B (both) : sovrapposto;
• P (neither) : paradossale;
• F(p) : fuzzy, con parametro p∈(0, 1) che indica il grado di verità. Es. F(0.7) = 70% vero, 30% falso;
• Ecc.

Dove 𝒩 è il complemento negativo di {1}, già integrato in V: è il dominio del negativo integrato. In primis: non negazione od opposto di {1} ma suo complemento, campo delle sue alterità, l’insieme delle modalità non piene di {1}, modalità del vero stesso:

                     𝒩={x∈V : x≠1}.

E dove ogni elemento di 𝒩 corrisponde a un diverso stato di non-vero.

3.2. Operatori v di valutazione

Definiamo tre operatori della sopra funzione v di valutazione.

3.2.1. Struttura formale ϕ

Sempre in riferimento al Teorema di Completezza, associamo a ogni caso V una forma logica distintiva ϕ_t(A), dove t ∈ {1, 0, B, P, F(p), …}.

La funzione di forma ϕ è associata a ogni formula A mediante connettivi formali ° ∈ {∧,∨,→,¬} e una coppia di opposti 1,0 ∈ V, che ne rappresentano la Forma di verità: ϕ(A)=1°0. Per via sintattico-formale:

Operatore ϕ_t di valutazione formale della verità

                     ϕ : 1°0 → V

• Forma logica del vero ϕ₁
  ϕ₁ = 1     se A è vero;
• Forma logica del falso ϕ₀
  ϕ₀ = 0     se A è falso;
• Forma logica del sovrapposto ϕ_B
  ϕ_B = 1∧0     se A è sia vero che falso;
• Forma logica del paradosso ϕ_P
  ϕ_P = ¬1∧¬0     se A è né vero né falso;
• Ecc.

ϕ valuta la forma e struttura della verità contenente sintatticamente A.

ϕ traduce ogni stato di verità in una configurazione sintattica di opposti 1 e 0.

ϕ è chiusa per operazioni logiche fondamentali ° ∈ {∧,∨,→,¬}.

3.2.2. Modello quantitativo µ

In riferimento al Teorema di Coerenza, definiamo una funzione di misura µ con cui v(A) associa a ogni A∈V una coppia (g, f) con g,f che appartengono a [0, 1] e g+f ≤ 2, che ne rappresenta il Grado di verità: µ(A)=(g_n,f_n). Chiaramente: g = grado di verità n che appartiene a [0, 1];  f = grado di falsità n che appartiene a [0, 1]. Per via semantico-quantitativa:

Operatore µ(t) di valutazione graduale della verità

                     µ : [0, 1] × [0, 1] → V          

• Grado di verità del vero µ(1)
  µ(1) = (1, 0)     se A è 100% 1 e 0% 0;
• Grado di verità del falso µ(0)
  µ(0) = (0, 1)     se A è 0% 1 e 100% 0;
• Grado di verità del sovrapposto µ(B)
  µ(B) = (1, 1)     se A è 100% 1 e 100% 0;
• Grado di verità del paradosso µ(P)
  µ(P) = (0, 0)     se A è 0% 1 e 0% 0;
• Ecc.

µ valuta la misura e intensità della verità contenuta semanticamente in A.

µ non misura A classicamente come scalare, valore unico sull’intervallo [0, 1], ma come vettoriale, coppia opposta di valori su intervalli [0, 1]² indipendenti.

3.2.3. Operatore semantico-sintattico ϑ

In riferimento al Teorema di Dimostrazione, costruiamo un operatore di valutazione semantica ϑ definito in base alla sua dimostrabilità sintattica; con cui v(A) valuta A sulla base delle condizioni di A-dimostrabilità. La regola base è:

                     Se A ⊢ 1 allora v(A) ⊨ 1, altrimenti v(A) = 𝒩.

Con la cui regola costruiamo un operatore parametrico ϑ_t(A), dove t ∈ {1, 0, B, P, F(p), …}, con cui dimostrare sintatticamente le verità semantiche dei casi V. Per via dimostrativa-meccanica:

Operatore ϑ_t di valutazione semantico-sintattica della verità

                     ϑ : ((A⊢ϕ_t ⇔ A⊢µ(t)) ⇒ A⊨t) → V

• Operatore di verità ϑ₁
  ϑ₁ : A ⊢ ϕ₁           
  ϑ₁ : A ⊢ µ(1)
  ϑ₁ ⇒ v(A) ⊨ 1;
• Operatore di falsità ϑ₀
  ϑ₀ : A ⊢ ϕ₀           
  ϑ₀ : A ⊢ µ(0)
  ϑ₀ ⇒ v(A) ⊨ 0;
• Operatore di incertezza ϑ_B
  ϑ_B : A ⊢ ϕ_B
  ϑ_B : A ⊢ µ(B)
  ϑ_B ⇒ v(A) ⊨ B;
• Operatore di indecidibilità ϑ_P
  ϑ_P : A ⊢ ϕ_P
  ϑ_P : A ⊢ µ(P)
  ϑ_P ⇒ v(A) ⊨ P;
• Ecc.

ϑ restituisce meccanicamente la verità di A.

ϑ per cui v si fa funtore di verità valutabili a partire dalle relazioni di dimostrabilità, una valutazione già informata della dimostrabilità, una dimostrabilità come condizione di valutazione interna.

3.3. Tavola di verità

Con i numeri µ a disposizione, calcoliamo la Tavola di verità del dominio V. Anzitutto rappresentiamola:

                     Tavola di Verità base dei valori elementari

A	µ(g, f)
───────────────
1	(1, 0)
B	(1, 1)
P	(0, 0)
0	(0, 1)

3.3.1. Ordine di grandezza della verità

Della Tavola di verità definiamo l’ordine lessicografico “< minore, maggiore >”:

• min(g, f)

                     µ(A)<µ(B) se (g_A​<g_B) ∨ (g_A=g_B ∧ f_A>f_B)
                     Il minore è maggiore piccolezza;

• max(g, f)

                     µ(A)>µ(B) se (g_A>g_B​) ∨ (g_A=g_B ∧ f_A<f_B) ​
                     Il maggiore è minore piccolezza.

Da queste condizioni risulta l’Ordine di grandezza di verità:

                     1 > B > P > 0.

Tale ordine non è un esempio o un canone, ma il risultato di un calcolo sulla base delle definizione di minore e maggiore. L’importanza di tale codifica è giustificata, peraltro, dall’influenza che ha nel calcolo della restante Tavola di Verità.

3.3.2. Tavola ¬ Negazione

Regola: ¬A = ¬(g, f) = (1−g, 1−f)
La negazione è un’inversione booleana sui valori numerici. Restituisce l’opposto di A. 

A	µ(g, f)		¬A	µ(1-g, 1-f)
───────────────			───────────────
1	(1, 0)		0	(0, 1)
B	(1, 1)		P	(0, 0)
P	(0, 0)		B	(1, 1)
0	(0, 1)		1	(1, 0)

3.3.3. Tavola ∧ Congiunzione

Regola: A∧B = min(g​, f​).
La congiunzione restituisce il congiunto minore.

A∧B	1	B	P	0
1	1	B	P	0
B	B	B	P	0
P	P	P	P	0
0	0	0	0	0

3.3.4. Tavola ∨ Disgiunzione

Regola: A∨B = max(g​, f​).
La disgiunzione restituisce il disgiunto maggiore.

A∨B	1	B	P	0
1	1	1	1	1
B	1	B	B	B
P	1	B	P	P
0	1	B	P	0

3.3.5. Tavola → Condizionale

Regola: A→B = max(¬A, B).

A→B	1	B	P	0
1	1	B	P	0
B	1	B	P	P
P	1	B	B	B
0	1	1	1	1

3.3.6. Fine (tavola di verità)

La Tavola di Verità mantiene le leggi di De Morgan in ogni configurazione classica e non classica, ed è ricorsivamente estendibile a tutte le combinazioni fra opposti 1 e 0, come per esempio la fuzzy F(p), quindi è chiusa e calcolabile per ogni connettivo logico ° ∈ {∧,∨,→,¬} e per ogni coppia di opposti 1,0 ∈ V. Un’estensione coerente della logica classica.

3.4. Matematica gödeliana

Spostiamo il discorso sotto il rigore di Gödel, con due punti metodologici.

1. Usiamo la sua matematica all’interno della presente Metateoria: usiamo Gödel come strumento e non come limite, senza pretendere di rientrare nel suo dominio ma estendendo il dominio.

2. Relativizziamo la consistenza della Metateoria a tutti i sistemi sufficientemente espressivi da contenere l’aritmetica di Peano (PA). Sicché, se la teoria base T (PA) è consistente, anche la Metateoria T* lo è: essa ne estende soltanto la capacità di rappresentazione, senza introdurre nuovi teoremi “ordinari”, ma aggiungendo una metastruttura più ricca; restando cioè conservativa rispetto alla struttura di partenza: se T*⊢A e A è del linguaggio di T, allora T⊢A. Brevemente: La Metateoria si dota di Consistenza relativa “se T è consistente allora lo è anche T*” e di Conservatività “T* non dimostra nuovi teoremi aritmetici di T”. Per essere chiari: la presente Metateoria estende PA sul piano semantico, ma non ne altera le proposizioni aritmetiche primitive; ne consegue che è conservativa per l’aritmetica classica.

Come segue.

3.4.1. Predicato di Prova (n, t)

                     Prov(n, t) = ∃p Proof(p, n, t)
Il predicato di prova Prov(n, t) equivale all’esistenza di una sequenza codificata p che costituisce una prova Proof(p, n, t) della formula il cui codice è n e il cui stato o etichetta è t.

Asserto: Esiste una prova p, ricorsivamente enumerabile, di lunghezza finita che dimostra, in modo ricorsivo e primitivo, la formula di codice n come avente stato t.

Tecnica: L’insieme degli assiomi di T e l’insieme delle regole di inferenza di T sono ricorsivamente enumerabili.

Risultato: La relazione Proof(p, n, t) è decidibile (in quanto ricorsivo-primitiva) e il predicato di prova Prov(n, t) = ∃p Proof(p, n, t) è ricorsivamente enumerabile (Σ₁).

In questa mappatura,

                     Prov(n, t) ∈ Σ₁
Prov(n,t) è Σ₁-definibile nel linguaggio aritmetico che rappresenta T.

In logica matematica: esiste un procedimento effettivo che elenca tutte le coppie (n, t) per le quali Prov(n, t) è vera. Pertanto ogni caso è enumerabile e computabile entro il dominio della teoria.

Insomma: una predicazione definibile e ricorsivamente chiusa. La struttura ricorsivamente chiusa della Metateoria. Illustriamola:

3.4.2. Funzione semantico-sintattica v
di valutazione dimostrativa

Denotiamo con #(ϕ) il numero di Gödel della formula ϕ, e poniamo la regola base del sopra predicato di prova:

                     T ⊢ A : t  sse Prov(#(A), t)
la formula A è dimostrabile nella teoria T con stato t se e solo se Prov(#(A), t) è vera.

Asserto: Esiste una prova, ricorsivamente enumerabile e di lunghezza finita, che attesta la formula codificata #(A) come avente stato t.

Tecnica: Definiamo la funzione semantico-sintattica v di valutazione dimostrativa

                            ⎧
                               1     se Prov(#(A), 1)
                               0     se Prov(#(A), 0)
                   v(A) = ​
                               B     se Prov(#(A), 1) ∧ Prov(#(A), 0)
                               P     se Prov(#(A), ¬1) ∧ Prov(#(A), ¬0)
                            ⎩

con eventuali estensioni per altri valori di 𝒩, ad esempio F(p) o stati misti.

In questa mappatura,

                   v(A)=t ⇔ Prov(#(A),t)
il valore di una formula coincide con l’esistenza di una prova corrispondente.

In breve: v esprime l’equivalenza operativa fra il livello semantico n della teoria T e il suo livello sintattico n̅, fra “dimostrabilità” e “esistenza di prova codificata”. Afferma v: ciò che è dimostrabile come stato è vero come valore nel dominio. Afferma Prov(#(A), τ): io definisco l’esaustività logica del dominio. 

3.4.3. Assioma di affermazione, Prova di definizione,
Macchina di arresto, Algoritmo di decisione

Definiamo le condizioni di ricorsività e decidibiltà per cui, dati A e t, si restituisce sempre v(A)=t; tramite il seguente Assioma di affermazione, la conseguente Prova di definizione, la concatenata Macchina di arresto e il finale Algoritmo di decisione.

3.4.3.1. Assioma di affermazione

U = coerente, C = contraddittorio:

                   Assioma U/C di affermazione dei predicati

• Prov(#(A), U)
  la prova è coerente ad A, A è affermato;
• Prov(#(A), C)
  la prova contraddice A, A è refutato;
• Prov(#(−A), U)
  la prova è coerente alla negazione di A, −A è affermato;
• Prov(#(−A), C)
  la prova contraddice la negazione di A, −A è refutato.

Asserto: Se esiste una prova p tale che Proof(p, n, t), allora l’enunciato A, il cui codice è n=#(A), possiede lo stato t e quindi soddisfa la proprietà t(A),

                   Proof(p, n,t) ⇒ Prov(n,t) ⇒ A=t ⇒ t(A).

Tecnica: L’Assioma di affermazione verte sul dimostrare che l’oggetto A dell’affermazione semantica A=t possegga effettivamente la proprietà t(A). Se la corrispondenza è positiva, allora la prova è coerente con A, altrimenti la prova contraddice A.

Risultato: Nel caso in cui venga affermata l’equivalenza semantica A=t, le condizioni operative di verifica sono:

                   t(A)  → Prov(#(A), U),
                   ¬t(A) → Prov(#(A), C).

In altri termini: si verifica se l’equivalenza A=t implichi t(A) o no.

Esempi:

• Il libro sul tavolo A=t soddisfa effettivamente la proprietà di essere sul tavolo t(A)?
• L’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi A=t soddisfa effettivamente la proprietà di non appartenere a se stesso t(A)?

In una Macchina di Turing, tali condizioni U/C corrispondono a quattro verifiche primitive di consistenza o contraddizione.

3.4.3.2. Prova di definizione

Dal sopra Assioma U/C costruiamo una prova U/C Proof(p, n, t), in cui le coppie U/C indicano la natura del rapporto della prova con l’enunciato. La prima lettera si riferisce ad A, la seconda alla sua negazione −A:

                   Prova U/C Proof(p, n, t) di definizione

• Vero
  Prov(n,1) è Σ₁ e.n. tale che ∃p UC Proof(p, n, t) → afferma A e refuta −A
  Definizione: esistono prove che affermano la sua verità e contraddicono la sua falsità, quindi è vero e non falso, affermabile e non refutabile, enumerabile (1, 0) se esiste prova di A con etichetta 1 ed esiste prova di −A con etichetta 0;
• Falso
  Prov(n,0) è Σ₁ e.n. tale che ∃p CU Proof(p, n, t) → refuta A e afferma −A
  Definizione: esistono prove che contraddicono la sua verità e affermano la sua falsità, quindi è non vero ma falso, non affermabile e refutabile, enumerabile (0, 1) se esiste prova di A con etichetta 0 ed esiste prova di −A con etichetta 1;
• Sovrapposto
  Prov(n,B) è Σ₁ e.n. tale che ∃p UU Proof(p, n, t) → afferma A e afferma −A 
  Definizione: esistono prove che affermano la sua verità e la sua falsità, quindi è sia vero che falso, affermabile e refutabile, enumerabile (1, 1) se esiste prova di A con etichetta 1 ed esiste prova di −A con etichetta 1.
• Paradosso
  Prov(n,P) è Σ₁ e.n. tale che ∃p CC Proof(p, n, t) → refuta A e refuta −A
  Definizione: esistono prove che contraddicono la sua verità e la sua falsità, quindi è né vero né falso, né affermabile né refutabile, enumerabile (0, 0) se esiste prova di A con etichetta 0 ed esiste prova di −A con etichetta 0. 

                   Tavola di Definizione U/C Proof(p, n, t)

Statot	Categoria	Prova	Tipo	Codifica	Interpretazione
1	Vero	∃p UC Proof(p, n, t)	Σ1	(1, 0)	vero e non falso
0	Falso	∃p CU Proof(p, n, t)	Σ1	(0, 1)	non vero e falso
B	Sovrapposto	∃p UU Proof(p, n, t)	Σ1	(1, 1)	vero e falso
P	Paradosso	∃p CC Proof(p, n, t)	Σ1	(0, 0)	né vero e né falso

Tutti i casi derivano da combinazioni ricorsivamente enumerabili Σ₁ delle etichette binarie (1, 0), e non esistono casi che si fondano su assenza di prove Π₁ o su negazioni universali ¬∃p. Notoriamente,[8] problema dell’indipendenza dell’enunciato da T o problema dell’inesistenza delle prove: ogni Proof è decidibile, etichettata con una specifica codifica in base allo stato interpretato. Pertanto il dominio V è chiuso e completamente enumerabile, estendibile per combinazioni.

3.4.3.3. Macchina d’arresto – Halting problem

Nei termini della Macchina di Turing, dotata di una procedura, binaria ristretta, di verifica della verità o falsità: ogni procedura di verifica della verità o falsità termina in qualche stato t ≠ P; la sola non-terminazione corrisponde a P che non può essere controllato come vero o falso perché le prove contraddicono entrambe le valutazioni. La non-terminazione della detta verifica è così indice computazionale della paradossalità. Ossia: dato un input x e una Macchina di Turing M, compiendo la verifica della verità o falsità, M(x) termina → t≠P, M(x) non termina → P.

                   Macchina di Turing
                   (Procedura ristretta di verifica della verità o falsità)

                   Comportamento di M(x)             Stato t      
                   ──────────────────────────
                   M(x) termina                             t∈{1, 0, B, …}
                   M(x) non termina                      t = P = (0,0)

Notoriamente,[9] halting-problem (problema dell’arresto): quando nella verifica vero o falso, M non si arresta, il motivo non è che resti indefinita, è che la procedura binaria entra in conflitto strutturale, avendo individuato — senza poterla codificare — una coppia di valutazione contraddittoria. Il non-arresto della verifica vero o falso è, perciò, la manifestazione del carattere “né vero né falso” dell’enunciato. Più semplicemente: ciò che è decidibile P tramite la Tavola di Definizione U/C, in un sistema binario ristretto genera meccanicamente la non terminazione della macchina M, inversamente la non terminazione di M è la manifestazione operativa di un caso codificabile P.

Sbrogliamo la tensione tecnica dell’ivi enunciato:

• P come esistenza di particolari proof contraddittorie — che è decidibile;
• M(x) come procedura di verifica della verità o falsità — che è inarrestabile sotto P (entrambe le verifiche sono simultaneamente impossibili), che è incerta sotto B (entrambe le verifiche  sono simultaneamente possibili), ecc.

Risolviamo tal tensione tecnica:

                   M(x) si arresta ogniqualvolta la procedura U/C individua le Proof del caso t.

3.4.3.3.1. Macchina avanzata

Più in là, in ottica di macchina avanzata: dotiamo M_V(x) di una procedura estesa di verifica della verità o non verità, non più ristretta vero o falso. Allora la macchina, per esempio anche nei casi P, si arresta non solo per ritrovamento di prove esistenti, ma arresta direttamente la procedura stessa di verifica della verità, in quanto è soddisfatta la verità del caso P; e via discorrendo:

                   Macchina di Turing-V
                   (Procedura estesa di verifica della verità o non verità)

                   Comportamento di M_V(x)             Stato t         
                   ───────────────────────────
                   M_V(x) termina                           t∈{1, 0, B, P…}
                   M_V(x) non termina                    Nessun caso

3.4.3.4. Algoritmo di decisione – Entscheidungsproblem

Con l’Assioma U/C, la prova U/C Proof(p, n, t) e l’arresto della Macchina M, costruiamo un algoritmo corrispondente:

                   Algoritmo ℵ_t di decisione v(A)=t per dati A e t

• v(A)=1   se Prov(#(A), U) ∧ Prov(#(−A), C)
  Se la prova di A è coerente ad A e se la prova di −A contraddice −A,
  allora ℵ₁ ⇒ ϕ₁, µ(1), ϑ₁ ⇒ A=1;
• v(A)=0   se Prov(#(A), C) ∧ Prov(#(-A), U)
  Se la prova di A contraddice A e se la prova di −A è coerente a −A,
  allora ℵ₀ ⇒ ϕ₀, µ(0), ϑ₀ ⇒ A=0;
• v(A)=B   se Prov(#(A), U) ∧ Prov(#(−A), U)
  Se la prova di A è coerente ad A e se la prova di −A è coerente a −A,
  allora ℵ_B ⇒ ϕ_B, µ(B), ϑ_B ⇒ A=B;
• v(A)=P   se Prov(#(A), C) ∧ Prov(#(−A), C)
  Se la prova di A contraddice A e se la prova di −A contraddice −A,
  allora ℵ_P ⇒ ϕ_P, µ(P), ϑ_P ⇒ A=P;
• Ecc.

Proprietà formale dell’Algoritmo ℵ_t:
Se esiste (p, t) tale che Proof(p, n, t) = Vero, allora per qualche iterazione s esiste un indice i ≤ s con t = tᵢ. E la procedura termina restituendo quella t.

Proprietà procedurale dell’Algoritmo ℵ_t:
La dimostrazione di A è rappresentata da una misura vettoriale (g, f), con g grado di verità ed f grado di falsità. L’algoritmo procede arrestandosi in g non appena si ottiene la prima prova valida per g — vale a dire quando g risulta U oppure C; parimenti si ferma in f alla prima prova per cui f è U o C. Quando entrambe le componenti hanno raggiunto il proprio stato di arresto, il valore complessivo individuato è necessariamente l’unico valido, e la procedura dimostrativa si conclude. Poiché ciò garantisce l’unicità della coppia (p, t), l’ordine computazionale non influenza il risultato.

In una Macchina di Turing:
L’Algoritmo ℵ_τ descrive un funzionale di Turing totale, una procedura effettiva che termina in un valore t. Notoriamente,[10] entscheidungsproblem (problema della decisione): esiste un algoritmo universale che decide la verità o non verità di qualunque enunciato formale.

3.4.3.5. Fine (affermazione, definizione,  arresto, algoritmo)

In questa mappatura, v(A) è funzione di predicati ricorsivi (Σ₁) definibile nella teoria T.

In termini classici: Prov(n, t) è una formula Σ₁ (ricorsivamente enumerabile) e la chiusura del linguaggio di T sotto tale predicato è garantita.

In termini metateorici: i risultati t della funzione v(A) corrispondono a ℵ-algoritmi dotati di forma ϕ_t, intensità µ(t), dimostrabilità ϑ_t. Tali che, ℵ_t conta il modo in cui la verità si distribuisce nelle sue tre manifestazioni fondamentali: forma, misura, valutazione.

3.4.4. Definizione dominio

Definiamo il dominio in cui si articola la funzione semantico-sintattica v, nei suoi suddetti aspetti ℵ-algoritmici, ϕ-sintattici, µ-computazionali,ϑ-valutativi:

Sia L il linguaggio, l’insieme delle formule ben formate fbf della teoria T.

Con cui definiamo il dominio della funzione semantico-sintattica:

                   Dom(v) = {A∈L : ∃t∈V, v(A)=t}.

Sono soggette a v tutte le formule ben formate, poiché enunciative: combinate conformemente alle regole del linguaggio, derivabili da esso,

                   fbf ∈ Dom(v) tale che v : fbf(L) → V.

Non sono soggette a v tutte le formule non ben formate ¬fbf, poiché non enunciative: propriamente non formule ma combinazioni di simboli prive di valore proposizionale, non conformi alla morfologia del linguaggio e non derivabili né valutabili secondo le sue regole,

                   ¬fbf ∉ Dom(v) tale che v : ¬fbf(¬L) → ¬V.

In questa mappatura,

                   v : L → V
v(A) si estende all’intero linguaggio della teoria.

Di cui vediamo i limiti:

3.4.5. Limiti dominio

Dalla definizione del dominio, definiamo i suoi limiti.

L’appartenenza al dominio fbf è necessitata, ma non sufficiente, dalla conformità della formula al limite composizionale 1∨¬1, il cui limite definisce la Coerenza universale:

                   ¬∃A : Prov(#(A), 1) ∧ Prov(#(A), ¬1).

Ogni formula che eccede tale limite composizionale è certamente non ben formata, la cui eccedenza definisce la Contraddizione universale:

                   Prov(#(A), 1) ∧ Prov(#(A), ¬1).

In questa mappatura, v(A) arresta la propria valutazione ai limiti della Coerenza universale che definiscono il dominio stesso del linguaggio.

3.4.6. Funzioni dominio

Analizziamo funzionalmente i suddetti limiti universali. Prima il limite della Contraddizione universale, poi quello della Coerenza universale.

Definiamo la Contraddizione universale, di stato ¬t, tramite due condizioni:

• Per la funzione di ¬t∉V ∧ ¬t=indefinibile, lo stato ¬t è esterno al dominio quindi da esso non definibile, poiché v definisce solo casi t. Una funzione indefinita, che non ammette valutazioni interne;
• Per il valore di ¬t(V)=nullo, lo stato ¬t è interno al dominio come valore nullo, poiché v è funzione semantico-sintattica dell’intero piano L quindi accoglie la contraddizione come momento nullo del suo spazio logico.

La funzione di ¬t∉V corrisponde alla condizione f(1∧¬1), il cui valore nullo è espresso da 1≠1.

Otteniamo una Funzione indefinita a valore nullo:

                   f(1∧¬1) ={C},  
                   con C qualunque contraddizione elementare del tipo 1≠1.

La funzione di t∈V corrisponde alla condizione f(1∨¬1), il cui valore valido è l’intero insieme del dominio {1, 0, B, P, F(p), …}.

Otteniamo una Funzione determinata a più valori:

                   f(1∨¬1) ={1, 0, B, P, F(p), …}.

In questa mappatura,

                   f(t) ⇔ ℵ_t
la t-funzione coincide con lo sviluppo dell’Algoritmo ℵ_t.

La funzione di dominio f(t) descrive la forma funzionale. L’algoritmo di verità ℵ_t è la realizzazione operativa nel calcolo. Due espressione dello stesso processo.

3.4.7. Chiusura dominio

Nella logica binaria estesa, ricevono valutazione semantica tutte le combinazioni naturali fra opposti, che sono tutti gli enunciati x,y derivabili dal linguaggio di V={1}∪𝒩.

Per esempio:

• Both B è assegnato alla forma sia vero che falso 1∧0;
• Paradosso P alla forma né vero né falso ¬1∧¬0;
• Vero 1 alla forma 1;
• Falso a 0;
• Ecc.

Mentre non riceve valutazione semantica la contraddizione universale, identificata con la mancanza di forma 1∧¬1, cioè con la non-formatività del linguaggio ¬fbf.

Sicché, tutti i valori di verità di v(A) sono definiti nel dominio V, dove ogni combinazione fra opposti – come 1∧0, ¬1∧¬0, e così via  –  resta un valore ammissibile, mantenendo la coerenza del dominio.

In questa mappatura, il dominio V è chiuso rispetto a ogni connettivo logico ° ∈ {∧,∨,→,¬} e per ogni coppia di opposti x,y ∈ V, secondo le regole composizionali su V espresse tramite Forma ϕ_t Misura μ(t) Valutazione ϑ_t Algoritmo ℵ_t Tavola di Verità [0, 1]² Tavola di Definizione U/C o mediante altre tavole di composizione:

                   ∀x,y ∈ V,   ∀° ∈ {∧,∨,→,¬},   x°y ∈ V
ogni operazione tra valori di verità produce ancora un valore nel dominio V.

Insomma: il dominio è chiuso per operazioni logiche, chiuso e coerente rispetto a ogni composizione logica ammissibile. Per cui ogni caso è formalmente specificabile.

3.4.8. Estensione dominio

Abbiamo visto come ogni valutazione semantica sia funzione di una prova sintattica, così ogni formula riceve una qualche valutazione, garantendo la completezza estesa del sistema:

                   ∀A∈L, ∃t∈V tale che T⊢A : t
per ogni formula A del linguaggio L, esiste un valore di verità t nel dominio V per cui A è dimostrabile nella teoria T con stato t.

In questa mappatura,

                   Dom(v) = {A∈L : ∃t ∈ V, v(A)=t} = L
il dominio della funzione semantico-sintattica si estende all’intero linguaggio della teoria. Ogni formula ben formata riceve il proprio corrispettivo valore logico.

3.4.9. Arresto dominio

La condizione di derivabilità della presente Metateoria di completezza, coerenza, dimostrazione, è la logica binaria estesa, fondata sul principio generale (non ristretto) di non contraddizione: ogni A è vero o non vero sotto il medesimo rispetto.

Formalizziamo così la condizione di derivabilità della Metateoria:

• “ogni A è 1 o ¬1” ⇔ ogni formula A riceve almeno un valore;
• “sotto il medesimo rispetto” ⇔ e non più di uno sotto lo stesso dominio di verifica.

I tre susseguenti Assiomi di esaustività — globale, spaziale e temporale — derivano direttamente, e in successione consequenziale l’uno dall’altro, dall’elementare proprietà di tal principio di non contraddizione, che costituisce la condizione stessa di derivabilità della Metateoria: da A 1∨¬1 segue l’esaustività globale, da questa discende l’esaustività spaziale, e infine l’esaustività temporale. In tal modo, la condizione di non contraddizione fonda in modo progressivo le tre forme di esaustività: la globalità dei valori, l’ordine spaziale delle prove e la finitezza temporale del processo dimostrativo.

Assioma di esaustività globale
                   ∀A ∈ L, ∃!t∈ V : Prov(#(A), t)
Per ogni formula ben formata A del linguaggio L, esiste un unico valore di verità t nel dominio V tale che il predicato di prova Prov(#(A), t) risulti vero.

Così ogni formula riceve almeno un valore e non più di uno sotto il medesimo rispetto.

Assioma di esaustività spaziale
                   v(A) = ≺min​{t∈ V : Prov(#(A), t)}
dove “≺min” indica il comando operativo: arrestati al primo t per cui esiste una prova vera.

L’ordine di verifica dell’esaustività spaziale può essere espresso, per esempio, come B≺0≺P≺1≺… (questo è un esempio possibile non un vincolo canonico), in cui l’arresto dell’algoritmo ℵ_t avviene quando la verità si manifesta nel dominio come stato effettivamente provato, (1, 1)≺(0, 1)≺(0, 0)≺(1, 0)≺…

Tale verità di A ci si manifesta compiutamente quando la sua misura vettoriale (g, f) ottiene una prova valida U/C sia per il grado di verità g sia per il grado di falsità f. Quando entrambe le componenti sono individuate, il valore complessivo è necessariamente quello minimo secondo l’ordine ≺, l’unico valido, e il processo dimostrativo si conclude.

Così, in qualunque combinazione si ponga l’ordine di verifica, esso non influenza il risultato; finché globalmente a ogni A spetta uno e un solo specifico t  (sotto lo stesso dominio di verifica).

Assioma di esaustività temporale
                   ∀A ∈ L, ∃k < ∞, ∃p ≤k Proof(p, n, t)
Per ogni formula A, esiste un valore t e una prova p di lunghezza finita ≤k che la dimostra avente stato t.

La verifica avviene sempre in tempo finito, poiché il dominio è chiuso per operazioni logiche e la predicazione di prova è definibile e ricorsivamente chiusa, poiché se esiste un minimo su cui arrestarsi ≺min allora la sua lunghezza k < ∞ (assumendo un infinito senza minimo e massimo).

Possiamo trarre la summa della derivabilità dei tre Assiomi di esaustività l’uno dall’altro sino al pdnc, secondo la catena o sequenza globale/spaziale/temporale:

                   A 1∨¬1 ⇒ ∃!t ⇒ v(A) = ≺mint ⇒ ∃k, p : Proof(p, n, t).

In questa mappatura, il dominio è numerabile ma chiuso: ogni formula ben formata possiede sempre una istanza Prov(#(A), t) vera, e la scansione dei valori in V è ordinata e finita. Qui: il calcolo termina sempre con il primo valore valido, garantendo – nella teoria T estesa con i predicati Prov – la rappresentabilità di tutti i predicati ricorsivi rilevanti all’interno della teoria.

3.4.10. Rappresentabilità del predicato di prova

In termini di Rappresentabilità delle funzioni e delle relazioni ricorsive primitive P:

                   P(n, t) ⇔ T ⊢ ϕ_P(n̅, tˉ)
se la relazione aritmetica P(n, t) è vera sul numero n e parametro t, allora la teoria T è dimostrabile come formula ϕ_P applicata ai corrispondenti numerali n̅, tˉ.

Asserto: ogni prova semantica trova una rappresentazione sintattica, e ogni rappresentazione sintattica corrisponde a una prova semantica.

Tecnica: esiste nella teoria T una formula aritmetica Prov_T(u, v) tale che, per ogni coppia (n,t),

                   Prov(n, t) ⇔ T ⊢ Prov_T(n̅, τˉ).
dove “Prov_T(u, v)” rappresenta la relazione numerica: esiste una prova p che conclude con la formula di codice u e valore v.

In questa mappatura, la rappresentabilità di Prov(n,t) all’interno di T garantisce l’equivalenza tra livello semantico e livello sintattico del sistema: ciò che è vero come prova è dimostrabile come formula.

3.4.11. Diagonalizzazione dominio

In ultima istanza, finiamo questa sezione come l’abbiamo iniziata: con l’intento di impiegare la matematica gödeliana mutandone però il quadro interpretativo — giacché quello originario rimane troppo ristretto per comprendere la piena portata della costruzione dell’austriaco. Ebbene: la diagonalizzazione di Cantor genera una contraddizione.[11]

In Metateoria, abbiamo impiegato la diagonalizzazione di Cantor come dimostrazione che A non è vero né falso, ma contraddittorio nei due sensi opposti:

                   Prov(#(A), C) ∧ Prov(#(−A), C).

Consequenziale ⇒ essa genera, insieme, una prova che afferma la contraddizione della verità di A e una prova che afferma la contraddizione della falsità di A:

                   Prov(#(A), ¬1) ∧ Prov(#(A), ¬0).

Affermando ≡ l’esistenza di questa prova:

                   ∃p CC Proof(p, n, t).

Finalmente, dalla rilevazione della prova, per via Algoritmo-ℵ_t  ϑ-etichettiamo il valore di A come

                   P = (0, 0)

lo stato di paradosso gödeliano:

                   G ⟷ Prov(#G, P)
dove la diagonalizzazione è, essa stessa, la prova esistente della paradossalità G.

Asserto: La formula gödeliana G assume valore P=(0,0) e soddisfa G⟷Prov(#G,P).

Fine della mappatura matematica.

3.5. Risultato

In tre momenti:

3.5.1. Quadro interpretativo

Le definizioni formali di completezza e consistenza restano quelle classiche, non variano:

                   Comp(T) : (T⊢A : 1 ∨ T⊢A : ¬1); Cons(T) : (¬∃A : T⊢A : 1 ∧ T⊢A : ¬1).

A variare è invece il significato semantico di “¬”, che nel dominio binario esteso V={1}∪𝒩 si interpreta come “non vero” anziché “falso”, consentendo la dimostrabilità sintattica non solo di ciò che è semanticamente falso, ma di tutto ciò che è semanticamente diverso da 1, cioè {0, B, P, F(p), …}.

Così:

• Comp(T) estesa

                   ∀A∈T (T⊢A : 1 ∨ T⊢A : 𝒩)
ogni formula del sistema è o dimostrabile come vera o come caso non-vero;

• Cons(T) estesa

                   ¬∃A (T⊢A : 1 ∧ T⊢A : 𝒩)
l’insieme delle dimostrazioni positive e quello delle dimostrazioni negative non si intersecano nello stesso livello inferenziale; A non può essere 1 e ¬1 sotto il medesimo rispetto, sotto lo stesso dominio di verifica.

Tale quadro tutela la legittimità formale di tutti i possibili casi di verità {1} e di tutti i possibili casi di non verità {0, B, P, F(p), … n≠1}.

3.5.2. Equivalenza semantico-sintattica

Ciò che nel problema Gödel-Tarski appare come disgiunzione — la separazione (≠) fra verità semantica (⊨) e verità sintattica (⊢) — trova qui coincidenza:

                   ⊨ = ⊢
nel dominio {1, ¬1}.

Un’equivalenza locale garantita dal fatto che la semantica è costruita sulla sintassi stessa: avendo definito v(A) come funzione dei predicati Prov(#(A), 1) e Prov(#(A), 0) e loro congiunzioni, allora la verità semantica è derivabile dalla dimostrabilità estesa, e ⊨ e ⊢ coincidono per definizione

                   T⊢A : 1 ⇔ T⊨A

trovando legittimità formale nella coerenza del dominio, trovando legittimità teorematica nella definizione semantica di  V, trovando legittime condizioni nella

Quadruplice condizione di equivalenza semantico-sintattica

1. Prov(#(A), t) è decidibile;
2. v(A)∈V è definito internamente;
3. T è coerente rispetto a V;
4. ⊨_V​ è chiusa sotto Prov.

3.5.3. Assorbimento indecidibili

Ciò che in Gödel è un buco logico (indecidibilità) diventa qui un modo d’essere della verità. Dacché la sua diagonalizzazione, che nella logica classica produce contraddizione sistemica, genera qui, nel dominio esteso, un valore definito:  il caso P (paradossale, o indecidibile).

In virtù delle presenti semantica e sintattica, bivalenti estese, la condizione logica di applicabilità dei teoremi gödeliani — la bivalenza ristretta su vero/falso — viene meno.

I teoremi di Gödel non vengono negati, ma trasformati in Teoremi dei casi indecidibili, integrati come stati interni del dominio. Gödel non è confutato, la sua matematica è conservata e applicata, al più è il Genio della logica ad aver confutato la bivalenza ristretta, o è la logica stessa che, seguendolo, l’ha oltrepassata, istituendo una logica binaria estesa “vero / non vero”.

Per un Sistema Coerente e Completo.

                   Equazione di identità semantico-sintattica
                   T ⊢ A : t   ⇔   T ⊨_V A : t
con t ∈ {1, 0, B, P, F(p), …} chiuso per operazioni logiche,
con Prov(#(A), t) Σ₁-definibile e ricorsivamente chiuso.

Come segue: Teoremi di completezza, coerenza, dimostrazione. In guisa integrata.

4. Teorema di Completezza

Della completezza vediamo: la definizione, l’assioma, la conclusione, la contrazione, la proprietà.

4.1. Definizione Completezza

                   A⊢1 ∨ A⊢¬1,
                   1=1   ∧   ¬1={0, 1∧0, ¬1∧¬0, …, n≠1}
Chiamo una teoria T completa, se ogni suo enunciato A è dimostrabile vero 1 o non vero ¬1. Dove ϕ: vero 1 è un’identità determinata, mentre non vero ¬1 può essere falso 0 o sovrapposto su vero e falso 1∧0 o paradossale né vero né falso ¬1∧¬0 o qualsiasi altra combinazione diversa da vero 1. (Mio 2022)

In ontologia, non 1 è tutto ciò che non è 1, il suo negativo (¬) e mancanza, non ancora la sua negazione (−) e annientamento, in primis la sua affermazione e magnificazione per inverso a ciò che non è: un’affermazione d’alterità, di una cosa diversa (Platone, Sofista, 254 e-257 c) o del volto dell’altro (Lévinas), l’altro da sé — per ogni è immediatamente ciò che non è; dove ciò che un essere non è può essere ancora un altro essere se i due esseri hanno caratteri distinguibili, pur accomunandosi come esseri (Es. Una mela non è una pera fintantoché hanno caratteri distinguibili, e si accomunano come frutti fintantoché hanno caratteri comuni di frutto).

In ontologia, propriamente è una lacuna linguistica l’interpretazione di ¬1 come opposto di 1, come fossero falso vero, giacché non è primariamente il suo opposto ma il suo negativo, vero non vero, dove, date circostanze, non vero non è solo falso ma l’insieme di tutto ciò che non è vero ¬1={0, 1∧0, ¬1∧¬0, …, n≠1}. In topologia, analogamente a una topologia di verità dove 1 è un punto di attrazione e ¬1 il suo complemento topologico.

O meglio: questa proposta non si identifica come alternativa a quella, bensì quella un’approssimazione aristotelica che si paga al prezzo dell’Incompletezza gödeliana. Prezzo che qua non paghiamo, in virtù di una logica binaria 1 e ¬1 dove ¬1 è l’insieme di tutto ciò che non è 1, analogamente all’insieme dei numeri naturali N che può darsi nei suoi elementi n relativamente al caso in questione, dove fra le varie combinazioni del non vero stanno già iscritti anche gli indecidibili gödeliani (qualsiasi sia il livello metalinguistico della loro espressione, sempre già inclusi).

Il saggio di riferimento di questo pdnc (Mio 2022) quantomeno stimola l’intelletto: cercare, argomento ontologico o inferenza formale, per vietare la possibilità di circostanze in cui non mela indichi assieme tutto ciò che non è una mela e la mancanza della mela cioè ¬1={0, 1∧0, ¬1∧¬0, …, n≠1}.

4.2. Assioma Completezza[12]

                   ∃x∀y (y∪{y} ∈ x)
Chiamo un insieme x completo, se per ogni suo sottoinsieme y, ogni successione e combinazione di y appartiene a x. Nota. La formula y∪{y} è canonica fra gli assiomi della Teoria degli insiemi, e significa: y e ogni suo successore.

Il linguaggio assiomatico appena adottato richiede di dimostrare matematicamente l’insieme universale ∃x∀y (y∈x):

Prendiamo il principio di comprensione di Frege così comunemente riformulato ∃x∀y (y∈x ⇔ ϕ(y)) e partiamo le mosse dalla proprietà di ogni x di appartenere a se stesso, otteniamo ∃x∀y (y∈x ⇔ y∈y). Se sostituiamo la nostra x con un generico termine a abbiamo (y∈a ⇔ y∈y). Se insistiamo nella sostituzione come scopo della generalizzazione otteniamo (a∈a ⇔ a∈a) e questo rende consistente lo Schema di assiomi di comprensione ∃x∀y (y∈x ⇔ ϕ(y)). Il risultato in questione è che esiste l’insieme universale ∃x∀y (y∈x). (Mio, 2025)

Questo, con la stessa matematica, richiede di dimostrare l’appartenenza a sé x∈x:

Prendiamo il noto principio di equivalenza dei predicati x(y)↔y=x per cui se y soddisfa il predicato x allora y è x, es. Se Eulero predica la proprietà di essere matematico allora Eulero è matematico. Se ora sostituiamo le nostre x e y con un generico termine a otteniamo: Proprietà consistente a(a)⇔a=a è consistente se predica se stesso a(a), quindi se di sé dice che è se stesso a=a; Proprietà inconsistente ¬a(a)⇔a≠a è inconsistente se non predica se stesso ¬a(a), quindi se di sé dice che non è se stesso a≠a. (Mio, 2025)

Siamo sì giunti dall’autoreferenziale metateoria di Gödel G≡ϕ(⌜G⌝) all’autoreferenziale Teoria degli insiemi x∈x. La soluzione dell’autoreferenzialità, però, qua non è negativa. Registro due soluzioni negative al problema, che chiamo, una la negazione dell’elemento problematico, l’altra la negazione del sistema problematico:

• La negazione dell’elemento problematico, vieta certi enunciati che parlano di se stessi. Alcuni suoi esponenti: Tarski[13] e l’Indefinibilità della verità nel linguaggio; Zermelo[14] e la non appartenenza a sé x∉x degli insiemi matematici; da Wittgenstein[15] ad altri;
• La negazione del sistema problematico, supera con un sistema più evidente le contraddizioni del sistema.[16] Alcuni suoi esponenti: la Tesi epistemologica per cui, il limite dell’Incompletezza è il punto di appoggio all’elevazione su nuove vie della conoscenza e a «nuovo meta-punto di vista» (Morin 2000); la Tesi meccanicistica per cui, se una macchina M non può esprimere p, esiste sempre un’altra macchina M₁ capace di esprimere p, ma contro cui si porrà un nuovo indecidibile p₁ solvibile da un’altra macchina M₂ e così all’infinito (Beccuti 2018). Insomma, un meta-sistema che supera i limiti del sistema di partenza, e così via, senza che la contesa veda mai fine, un vincente, la stabilizzazione, pace.

Mentre qua la presente soluzione è positiva: assorbe le autoreferenzialità nel sistema. Questa devianza richiede un saggio sul tema: un altro argomento. Il saggio di riferimento delle due sopra dimostrazioni (Mio, 2025) quantomeno, ad ora, nessun logico e matematico ne nega rigore e semplicità.

4.3. Conclusione Completezza

                   ¬1={0, 1∧0, ¬1∧¬0, …, n≠1}   ⇔   ¬1≡|0|
Le diversificazioni particolari degli elementi {0, 1∧0, ¬1∧¬0, …. n≠1} dell’insieme non vero ¬1={…} possono compattarsi tutte in un assoluto non vero |0| che le accomuna, cioè possono equivalersi nell’elemento 0 che in positivo o negativo è in tutte le diversificazioni particolari del non vero; e a cui lo stesso insieme non vero si equivale. Ripeto, possono equivalersi “aristoteliche” tutte al falso ¬1≡|0|.[17]

In ontologia distinguo il discorso assoluto di Tutto 1 e Niente 0 dal discorso relativo di qualche 1, 0, 1∧0, ¬1∧¬0, … In epistemologia distinguo il piano fondativo 1 e 0 dal paradigma 1, 0, 1∧0, ¬1∧¬0, …

Con i termini semplificati dell’Algebra di Boole: una teoria T è completa se ha un’algebra booleana a due variabili, o vero 1 o falso 0, in cui il falso è l’insieme delle possibili intersezioni che combinandosi con il vero aprono a diverse porte, circuiti e stati logici.

Con i termini del teorema di Compattezza di Maltsev (1936): se ogni sottoinsieme finito di assiomi di un certo sistema formale T ha un modello, allora anche T ha un modello, da cui l’asserto che |0| è il modello di tutte le diversificazioni formali del sistema ¬1 e di ¬1 stesso.

Insomma, ci si distingue da Aristotele perché:

• Se 1 è inteso in assoluto u allora ¬1 non è altro che assolutamente niente

                   u(1) → ¬1≡|0|;

• Se 1 è inteso arbitrariamente r allora ¬1 è tutto il resto

                   r(1) → ¬1={0, 1∧0, ¬1∧¬0, …, n≠1}.

4.4. Contrazione Completezza

È una teoria T completa 1∨¬1 se ogni enunciato A del suo linguaggio L è vero 1 o falso 0 o loro combinazioni: sovrapposto 1∧0,  paradossale ¬1∧¬0, ecc. Dacché ¬1 è l’insieme di tutte le possibili combinazioni diverse da 1, l’intera serie delle possibilità oltre 1, suo complemento universale, mancante di 1.

4.5. Proprietà di contrazione completezza

                   A={a’, a’’} → A≡|x|
Ogni insieme A ha un x che accomuna tutti i suoi elementi a’, a’’ e a cui l’insieme si equivale. Ossia ogni serie di elementi a’, a’’ di un insieme A è sintetizzabile in una proprietà x che li accomuna tutti, e che equivale alla ragione del loro insieme. (Cfr. Mio 2025)

5. Teorema di Coerenza

Della coerenza vediamo: la definizione, l’assioma, la conclusione, l’estensione, la proprietà.

5.1. Definizione Coerenza

                   ¬∃A : A ⊢ 1 ∧ A ⊢ ¬1
Chiamo una teoria T coerente, se non esiste alcun A dimostrabile, sotto il medesimo rispetto, vero e non vero, quindi se A è vero (1) o falso (0) o sovrapposto su vero e falso (1∧0) o paradossale né vero né falso (¬1∧¬0) o fuzzy ecc ma mai vero e non vero sotto il medesimo rispetto: le dichiarazioni positive e quelle negative non si intersecano nello stesso livello inferenziale, sotto lo stesso dominio di verifica. Nota. Si assume una divergenza fra l’insieme N e i suoi elementi n dove l’identità di N comprende tutti gli n, mentre l’identità di ogni n è diversa dagli altri n’.

Per pdnc, la contraddizione si annida nella forma 1∧¬1, mentre non è automaticamente contraddittorio nessuno dei possibili accadere di 1 o ¬1. Con il seguente schema µ (Cfr. Mio 2022):

• Contraddizione universale A 1∧¬1

                   Nullo (valore nullo o funzione indefinita);

• Coerenza universale A 1∨¬1

                   Tavola di Categoria veritativa

Categoria enunciati	% di verità	Classe	Campo di
da 1
Vero	100% 1 & 0% 0	certezza	Determinazione
da ¬1
Falso	0% 1 & 100% 0	certezza	Determinazione
Sovrapposto (vero falso)	100% 1 & 100% 0	incertezza	Probabilità
Paradosso (né vero né falso)	0% 1 & 0% 0	indecidibilità	Probabilità
Fuzzy (tra vero falso)	es. 60% 1 & 40% 0	vaghezza	Probabilità
Eccetera.

Tale schema è adeguato per definizione: implica tutti gli enunciati del linguaggio di riferimento, permettendo di distinguerli dalla loro appartenenza a una categoria, quindi se l’appartenenza dell’enunciato a quella categoria sia vera o falsa, trovandogli conseguentemente posto come categoria veritativa definita, quindi restituendo un sistema completo rispetto al proprio dominio di verità.

Nota tabella: Sovrapposto[18], Paradosso[19], Fuzzy[20].

Tale schema afferma impossibile la contraddizione fra negativi 1∧¬1, mentre afferma possibili le varie combinazioni fra opposti 1∧0. Infatti non capita affatto né nel pensiero né nella vita che qualcosa sia e non sia sotto il medesimo rispetto, mentre è una caratteristica intrinseca della vita e del pensiero che qualcosa possa essere sotto il medesimo rispetto sia 1 che il suo opposto 0, assieme sia in un posto che in un altro. Ad esempio: assieme saggio 1 e ignorante 0, tanto più quando più si sa e più, socraticamente, si sa di non sapere, o come altre qualità opposte che possiamo facilmente riscontrare negli esseri umani, odi et amo Catullo, riscontrabili anche nelle scienze come il noto gatto di Schrödinger (regolante l’evoluzione nel tempo dei sistemi microscopici) che è assieme vivo 1 e morto 0 finché nessuno l’osserva, o riscontrabili anche nella filosofia come la nota «la via in salita e in discesa sono un’unica via» di Eraclito (filosofo del divenire) dove la via è assieme in salita 1 e discesa 0 finché nessuno la cammina.

E mentre la contraddizione universale fra negativi 1∧¬1 è un errore che non accade nel pensiero e nella vita — ripeto — secondo pdnc e secondo vita non è automaticamente errore qualsivoglia combinazione naturale fra opposti, come la presenza di uno solo 1∨0 (freddo e non caldo), o di nessuno dei due ¬1∧¬0 (né bianco né nero), o di tutti e due assieme 1∧0 (la strada in salita e in discesa), o un po’ uno e un po’ l’altro (18% 1 & 82% 0 grigio scuro), ecc:

È stata appena inclusa la dinamica delle opposizioni fra 1 e 0 nella fissità della forma 1∨¬1.

Appare una visione profonda della realtà, che ancora non cade in antinomie, e che detiene forme logiche astratte che ancora non fanno violenza alla natura e ai viventi,[21] anzi, non vietano a loro pose e dinamicità, fatta salva l’impossibilità d’essere (1) e non essere (¬1) assieme.

In questo orizzonte:

• Il metodo dialettico fondamentale di Hegel si sposta dalla negazione-annientamento e contraddizione 1∧¬1 all’affermazione-magnificazione e opposizione 1∧0, come motore della vita e del pensiero;
• Il principium firmissimum (pdnc) fondamentale di Aristotele sposta l’interpretazione dagli opposti 1∨0 ai negativi 1∨¬1, abbracciando tutti gli oggetti e tutta la conoscenza del mondo.

Ravvisato un legame fra dialettica 1∧0 e logica 1∨¬1.

5.2. Assioma Coerenza

                   ∃x∀y (y=1 ∨ y=0 ∨ y=1∧0 ∨ y=¬1∧¬0 ∨… ∈x)
Chiamo un insieme x consistente, se per ogni suo sottoinsieme y, o vero 1 o falso 0 o qualsivoglia altra combinazione fra gli opposti 1 e 0, esso y appartiene a x.

5.3. Conclusione Coerenza

Intrecciamo due modi di restituire la coerenza, uno contenutistico “Combinazioni di verità”, l’altro sistemico “Sistema di verità”.

Dal punto di vista contenutistico, o dell’oggetto di riferimento, adottiamo lo Schema di Tarski:

Schema T
x è un enunciato vero se e solo se p. (Tarski 1944, p. 344: «X is true if, and only if,p»)

Applichiamo il metalinguaggio di Tarski alle sopra combinazioni e chiamiamole “Combinazioni di verità”:

• Combinazione binaria, “x è vero” è un enunciato vero se e solo se x è vero;
• Combinazione paradossale, “x è né vero né falso” è un enunciato vero se e solo se x è né vero né falso;
• Combinazione sovrapposta, “x è sia vero che falso” è un enunciato vero se e solo se x è sia vero che falso;
• Combinazione fuzzy, “x è tra il vero e il falso” è un enunciato vero se e solo se x è tra il vero e il falso;
• Ecc.

Da tali Combinazioni di verità si ricava una teoria di stampo corrispondentista in cui le forme dell’oggetto sono preminenti sulle forme del pensiero, e la verità corrisponde a come stanno le cose:

                   A=x → 1(A=x)
                   È x, allora “è x” è vero.

Dal punto di vista sistemico, o del sistema di riferimento, invece, adottiamo una teoria che si antepone come verità sistemica alle variegate combinazioni del suo dominio ed è quindi capace di deciderne la verità, e chiamiamola “Sistema di verità”:

• È vero che è vero, 1, quindi è vero;
• È vero che è falso, 0, quindi è falso;
• È vero che è paradossale, ¬1∧¬0, quindi è paradossale;
• È vero che è sovrapposto, 1∧0, quindi è sovrapposto;
• È vero che è fuzzy, quindi è fuzzy;
• Ecc.

Da tale Sistema di verità si ricava una teoria di stampo costruttivista in cui le forme del pensiero sono preminenti sulle forme dell’oggetto, e la verità corrisponde a come vengono poste le cose:

                   1(A=x) → A=x
                   È vero “è x”, allora è x.

Fra Combinazioni di verità e Sistema di verità, è una compartecipazione fra piani diversi, fra contenuto ostensivo e contenitore intensionale, che aspira a proposizioni coerenti alla materia e alla forma: la coerenza materiale è la coerenza dell’enunciato all’oggetto di cui parla; la coerenza formale è la coerenza dell’enunciato a sé. Cosicché la coerenza abbia a cuore la semantica dell’oggetto riferito n e abbia a ragione la sintattica della descrizione riferente n̅. In altri termini: l’oggetto di riferimento tende all’ostensione (contenuto ostensivo), ad accadere secondo sé; il sistema di riferimento tende all’intensione (contenitore intensionale), ad assumere secondo sé.

Beninteso senza bisogno di meta-linguaggi più ricchi dei metodi combinatori elementari, per dominare il caos delle forme primordiali {1∨0, 1∧0, ¬1∧¬0, <1∧>0}, né di eliminare gli elementi caotici, poiché: qualsivoglia enunciato decidibile e indecidibile, in Metateoria è già possibile dalle Combinazioni di verità ed è già compreso fra le possibilità del Sistema di verità; compresi i paradossi autoreferenziali, la cui soluzione quindi non è più negativa, bensì, come si intravede nel prossimo Teorema di Dimostrazione e come ho avvisato nel sopra Assioma di completezza (4.2.), è una soluzione positiva sul piano formale-matematico, ma un altro argomento (Mio 2025).

Decade il determinismo di prevedere con certezza ogni circostanza futura, sotto il riconoscimento sistemico di elementi paradossali in irresolubilità indecidibile, o sovrapposti in nuvole di incertezza, o fuzzy in sfumature di vaghezza, e chissà quante altre categorie in campi di probabilità o indeterminabili… se non per una potenza di calcolo infinita. Per cui, si staglia il principio di derivazione formale: circostanze di determinazione (p è vera o falsa) e di probabilità (c’è una certa probabilità P che p sia vera e una (1–P) che sia falsa) licenziabili da un unico pdnc, un piano di logiche particolari derivanti da una universale.

Più profondamente decade l’idea di una verità accessibile tout court – sempre – dalla sola logica formale o dalla sintattica, senza una controparte contenutistica o semantica, senza un fatto o un presupposto. A livello computazionale, infatti, ho trovato nella logica formale il ruolo di anticipare la forma delle proposizioni e restituire la verità della loro forma: è binaria! è vaga… è incerta! è indecidibile… è contraddittoria! A livello riflessivo, come altri l’ho trovata aspirare a modo corretto di condurre il pensiero, da un posto a un altro; così se il posto di partenza è un errore, la logica restituisce un errore: tutti gli umani hanno le ali, quindi Socrate ha le ali. In questo logos: la buona conduzione del pensiero è formale, i posti sono semantici; e sono il motivo per cui Gödel, partendo da una dicotomia semantica ristretta “vero o falso”, arrivò, con geniale logica e sintattica, a una posizione altrettanto mancante “coerente o completo”.

In termini formali: la logica è necessaria ma insufficiente alla verità tout court, la quale, per date circostanze, può dipendere assieme sia dalla coerenza formale che dalla coerenza materiale. In termini meccanici: un contenuto semantico ineliminabile e uno schema assiomatico traducibile e riproducibile.

5.4. Estensione Coerenza

È una teoria T coerente ¬(1∧¬1), se capace di decidere la verità dei suoi enunciati, di tutte le combinazioni di formule nel linguaggio della teoria. Caratterizzata per la decidibilità dell’insieme delle formule mediante una procedura finita.

5.5. Proprietà di estensione coerenza

                   A={a,¬a} → A={a, b, c, …}
L’insieme di una coppia di negativi si estende a tutti gli elementi, poiché sono uno a e ogni altra cosa diversa da a: fuoco/non-fuoco. Ossia ogni coppia di negativi a,¬a rappresenta l’intera serie universale. Diversamente dall’insieme di una coppia di opposti che può estendersi al massimo a tutti gli elementi intercorrenti da uno all’altro opposto: fuoco/acqua.

6. Teorema di Dimostrazione

Della dimostrazione vediamo: la definizione, l’assioma, la conclusione, la profondità, la proprietà.

6.1. Definizione Dimostrazione

                   A ⊢ 1 ∨ A ⊢ ¬1   ⇔   1d A=1 ∨ A=¬1
Chiamo una teoria T dimostrabile, se per ogni suo enunciato A esso è dimostrabile 1 o non 1, dove con 1 posso dimostrare (d) che A è 1 o non 1, cioè 1 è la prova effettiva con cui dimostrare che A ha o non ha l’istanza 1: “fintantoché il predicato è attribuito all’oggetto e l’oggetto ha o non ha un’istanza di quella proprietà, allora la proprietà può misurare la sua presenza o mancanza nell’oggetto”. 

                   1(A) → 1d A=1
                   ¬1(A) → 1d A=¬1

Esempi:

• Con il giallo g posso dimostrare che A è giallo in quanto soddisfa il colore giallo g oppure non giallo in quanto non soddisfa il colore giallo ¬g;
• Con la dimostrazione d posso dimostrare che A è dimostrabile in quanto soddisfa la dimostrazione d oppure non dimostrabile in quanto non soddisfa la dimostrazione ¬d.

Con cui l’Assioma di affermazione 3.4.3.1. può verificare che l’affermazione semantica A=1 implichi effettivamente 1(A) o no.

In termini gödeliani non è più contraddizione dimostrare tutte le verità aritmetiche, finché è possibile dimostrare l’indimostrabilità di quelle verità autoreferenziali G che dicono di non essere dimostrabili. Cioè: ogni proposizione può essere dimostrata, finché di alcune di esse si può dimostrare l’indimostrabilità.

                   Abbiamo dimostrazione che è indimostrabile!

perché A non è dimostrabile mai vero e mai falso 0% 1 & 0% 0, è né vere né falso ¬1∧¬0, perché se fosse vero allora sarebbe falso e se fosse falso allora sarebbe vero A=A↔A≠A: un circolo infinito senza procedura finita per determinare se sia vero o falso, indecidibile.

In generale, per qualsiasi classe ricorsiva e consistente di formule, la consistenza del sistema è dimostrabile; con schema ϑ:

• (A  0% 1 ∧ 0% 0) & (A ¬1∧¬0) & (A=A↔A≠A)
  → 1d A=paradossale indecidibile;
• (A  100% 1 ∧ 100% 0) & (A 1∧0) & (A=A→A)
  →  1d A=sovrapposto incerto;
• (A  100% 1 ∨ 100% 0) & (A 1∨0) & (A=A→A)
  →  1d A=binario certo;
• Ecc.

Ove l’indecidibile è integrato, l’incertezza compresa, la sfumatura contenuta, ecc.

Nell’“indecidibile” di Church (1936), esistono asserzioni matematiche su cui, intraprendendo una procedura sistematica per controllare la loro verità o falsità, questa procedura non avrebbe termine e il risultato non potrebbe essere conosciuto. Ciò, di principio, è però già il risultato: una dimostrazione di indecidibilità, la prova su cui abbiamo appena fatto un’affermazione di verità, senza ricorrere ad assunzioni esterne.

                   Abbiamo decisione che è indecidibile!

perché se non lo si può a (né affermare né negare) senza contraddirsi, cioè se da ogni risposta segue il suo opposto, e così all’infinito, allora termina presto la nostra decisione: A è ¬a (indecidibile, non affermabile e non negabile).

In formula: ∀a(A) ≠ A → ¬a(A) per ogni A che sia affermato che negato si contraddice, allora A è indecidibile (non affermabile e non negabile).

In matematica: Se sintatticamente la prova paradossale Proof(p, n, P) è decidibile in quanto definibile tramite l’esistenza di prove contraddittorie ∃p CC Proof(p, n, P), allora semanticamente Prov(n, P) è indecidibile in quanto né vero né falso µ(0,0) ∧ ϕ(¬1∧¬0).

6.2. Assioma Dimostrazione

                   ∀x∃y (x⊢sse y∈x)
Chiamo un insieme x dimostrabile, se ha un sottoinsieme y che gli appartiene.

Quindi che lo dimostra come insieme.

In questo Assioma la dimostrazione dell’insieme x è mediata dai presupposti e gli strumenti deduttivi di un sottosistema y di x, riducendo il problema di consistenza di x a quello della consistenza di y: un risultato oggettivo, un funzionale calcolabile di tipo finito. Il che è diverso dal dimostrare la consistenza di un sistema mediante un sistema più evidente, dove, pur riconoscendo la parsimonia del Rasoio di Occam, la maggiore o minore evidenza di un sistema formale non costituisce un dato oggettivo, preciso e ben definito. L’Assioma diverge anche dal difendere la consistenza di un sistema negando gli elementi che lo scuotono, dove, pur riconoscendo il bisogno di accettare i propri bui per andare avanti, se vi fosse anche solo un elemento che destabilizza il sistema invece di consolidarlo, ciò sarebbe sufficiente a gettare tutto in crisi — per un sistema coerente e completo. In termini di regole inferenziali: un sistema formale del prim’ordine è consistente se e solo se ha un modello, mentre se non ha un modello o se il modello è difettoso allora è possibile derivare una contraddizione a partire dai suoi assiomi; ovverosia, sulle parole del sopra Assioma di dimostrazione, è possibile dimostrare la verità di un modello-insieme mediante i suoi assiomi-sottoinsiemi.

In questo Assioma, la corrente Costruttiva assurge al ruolo di forza di conoscenza propria degli elementi, forza ostensiva[22] per Combinazioni di verità, mentre la corrente Formale assurge al ruolo di forza di conoscenza propria dell’insieme, forza intensionale[23] per Sistema di verità.

6.3. Conclusione Dimostrazione

                   (T ⊢ 1 ∨ T ⊢ ¬1) ∧ (1d T=1 ∨ T=¬1) → d∈T
Se una teoria T è dimostrabile 1 o ¬1, allora la sua dimostrazione 1 appartiene al sistema.

La dimostrabilità ⊢ è sintattica. La dimostrazione d è ontologica. Tale che ogni sintattica Proof(p, n, t) abbia una semantica ⊨ t che la dimostra d-ontologicamente.

6.4. Profondità Dimostrazione

La dimostrazione 1 di A è interna alla teoria T : A 1∨¬1, tale che la teoria T è dimostrabile completamente tramite i suoi assiomi senza uscire da sé, senza rinunziare alla “purezza dei metodi” bramata da Hilbert.

Per cui, per codesta Metateoria, un sistema formalizzato complesso può trovare in se stesso la prova della sua validità. Spiritualmente: la risposta, la verità, dentro di sé. Profeticamente l’oracolo di Delfi: “Conosci te stesso”.[24] Senza che ciò escluda, dalla conoscenza, anche la via delle relazioni, giacché anche nell’altro, in mezzo a tutte le differenze particolari, è racchiusa la stessa verità universale che in noi è racchiusa. Una relazione snodo di uguaglianze e diversità, unioni e divisioni, crocevia di riconciliazioni con l’universo e con la propria individualità, o di cadute da essi.  

È stata appena posta la possibilità metateorica di un sistema di conoscenze chiuso tale da riuscire a spiegare se stesso.

6.5. Proprietà di profondità dimostrazione

                   a⊢A « Ada
Se a è dimostrabile A allora A dimostra a, viceversa. Ossia se A è la codifica di una dimostrazione d dell’enunciato codificato da a, allora l’enunciato a deve essere dimostrabile A.

7. Conclusione

Il risultato teorematico in questione, nei termine dell’Eterna ghirlanda brillante di Hofstadter (Mio 2017), è: la Coerenza equivale a stabilire la verità degli enunciati nel sistema, la Completezza equivale a dimostrare tale coerenza tramite gli enunciati stessi del sistema. Il risultato matematico in questione, nei termini degli Angeli e Demoni di Gödel, è: anche gli indecidibili hanno il loro posto, quanto le verità, le falsità, le sovrapposizioni, le sfumature e ogni altra combina del creato; così in Cielo n̅, così in Terra n. Il risultato filosofico in questione, nei termini della Metateoria, è: è stata solo una lunga e mala ermeneutica a limitare ¬1 al solo falso, a limitare il riflettere e l’enumerare.

Fronte alla Metateoria d’un sistema coerente e completo, or dunque: la prima risposta teorica spetta al campo aritmetico, dato che la metateoria in questione si riferisce a qualsiasi sistema adeguato a esprimere la teoria dei numeri naturali. Precisamente è la Teoria degli insiemi il conteggio preposto a tale risposta. (Mio 2025) Naturale notare che antecedentemente si parla filosofia, reductio ad unum, fondamento: (i) la completezza ontologica corrisponde alla totalità dell’essere; (ii) la coerenza logica corrisponde all’armonia interna; (iii) la dimostrazione gnoseologica corrisponde all’autosufficienza.

Di seguito invece si introduce la differenza di valori fra Verità e Dimostrazione.

La Verità ha due valori, o vero o non vero. Si muove con logica binaria estesa e negativa, poiché per essa: mentre il valore positivo è un’identità 1=1 stabile e determinata; il valore negativo è invece polivalente, è l’insieme dei valori dati dall’opposto di 1, cioè 0, e le loro combinazioni (fra 1 e 0). Funzionalmente: Il valore negativo ¬1 della logica binaria estesa è un’elaborazione di possibilità, permette alla mente di evolversi in un pensiero dialogico che assume «l’inseparabilità di nozioni [opposte] per poter concepire un fenomeno complesso». (Morin 2000, p. 99. La parentesi quadra sostituisce l’originale “contraddittorie”).

La Dimostrazione ha due valori, o dimostrabile o indimostrabile. Si muove con dialettica opposta dialogica e positiva, poiché per essa: il valore positivo è polivalente, cioè p è dimostrabile o la sua negazione −p è dimostrabile o tutti e due p e −p sono dimostrabili o è dimostrabile un qualche valore fra p e −p ecc; mentre il valore negativo, per essa, è un’identità indecidibile per cui «nessuno fra p e −p è dimostrabile» (Lolli 2009, p. 4),[25] con prove che contraddicono sia p che −p, e questa è dimostrazione di indimostrabilità, stato di paradossalità.

In complesso, sotto questo calcolo 1∨¬1 e conducendo l’argomento di conseguenza attraverso i teoremi di completezza, coerenza e dimostrazione, la conclusione è una Metateoria Coerente e Completa: per coerenza, consistente e sufficientemente potente da essere dimostrabile; per completezza, ricorsiva e sufficientemente potente da essere rappresentabile.

In conclusione lo iato di questo saggio svanisce con un salto logico del Principio di non contraddizione. Ove tale Metateoria appare, a rigore, naturale. Senza preclusione di dire:  

Io percepisco (con certezza matematica) che tutti questi assiomi e queste regole sono corretti, e inoltre credo che contengano tutta la matematica. (Gödel 1990, p. 309)[26]

È possibile approfondire sul piano logico (Mio 2022), insiemistico (Mio 2025), teorematico (Mio 2017).

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Note:

[1] “Crisi dei fondamenti della matematica” è il nome dato a quel capitolo della storia umana sorto sulla scia delle Geometrie non euclidee e la Teoria degli insiemi, le quali portarono a una discussione critica sui presupposti ultimi delle scienze matematiche: sfociata nei due Convegni Internazionali di matematica, Parigi 1900, in cui David Hilbert elenca i suoi matematici 23 Problemi del Millennio, fino alla dimostrazione nel 1931 del Teorema di Incompletezza di Gödel, il quale segna una svolta in logica matematica e nel fondazionalismo, dal momento che pare sancire il fallimento del programma formalista di Hilbert, colpendolo al cuore, al secondo dei suoi 23 problemi, consistente nel provare la coerenza dell’aritmetica, nel ricercare una Teoria della dimostrazione (beweistheorie) o una prova diretta di un Sistema assiomatico. In questa Metateoria affrontiamo la Teoria della dimostrazione (beweistheorie), lasciando il Sistema assiomatico alla Teoria degli insiemi (Mio 2025).

[2] Una teoria T è ω-consistente se non esiste nessuna predicazione P(x) del linguaggi T che, per ogni numero naturale n, T ⊢ P(n) ∧ T ⊢ ∃x¬P(x).

[3] Cfr. Bruni R. (2014), Riflessioni sull’incompletezza. I teoremi di Gödel tra logica e filosofia, in Università degli Studi di Firenze, Tesi di Dottorato – XVI° ciclo, dipartimento di filosofia.

[4] Conferenza sull’Epistemologia e le Scienze Esatte. Organizzata da Gesellschaft für empirische Philosophie (Società per la Filosofia Empirica). Königsberg 5-7 settembre 1930. È il 7 settembre 1930 il giorno del primo annuncio pubblico della scoperta dell’esistenza di proposizioni formalmente indecidibili nel sistema dei Principia Mathematica. L’annuncio è di un giovane Kurt Gödel.

[5] Gödel si sta muovendo distinguendo fra oggetti e simboli. Gli oggetti sono i numeri cardinali n, per esempio: il numero 3. I simboli sono i numeri ordinali n̅, per esempio: 3̅, cioè S(S(S(0))), è il termine sintattico nel linguaggio formale, o simbolo linguistico, che rappresenta il numero 3. Gli oggetti n riguardano la semantica, i simboli n̅ riguardano la sintattica.

[6] L’interpretazione aristotelica del principium firmissimum afferma che, sotto il medesimo rapporto, una proposizione p e la sua negazione ¬p non possono essere contemporaneamente vere. Il Maestro interpreta come negazione ciò che è il negativo di p, e interpreta ¬p come falso creando la dicotomia vero/falso a cui si assoggetta Gödel.

[7] Con la sua lettera, Post non vuole avanzare alcuna priorità in materia, anzi afferma esplicitamente che «non sono le idee bensì la loro esecuzione a costituire il segno della grandezza» (Gödel 1995, p. 72), e ancora: «avrei dimostrato il Teorema di Gödel nel 1921 – fossi stato Gödel» (Ivi, p. 179).

[8] Problema dell’inesistenza delle prove o problema dell’indipendenza dell’enunciato da T. Nel classico argomento gödeliano, l’indecidibile è un caso di assenza di prove ¬Prov(#(A),1)∧¬Prov(#(A),0): “non esiste prova di A perché né la verità né la falsità di A si possono provare”. Qui invece l’indecidibile è incarnato nel valore P=(0,0) di V, definito tramite esistenza di proof contraddittorie Prov(#(A),¬1)∧Prov(#(A),¬0): “la prova contraddice A perché né la verità né la falsità di A si possono provare”. Quindi l’indecidibile è qui definito via condizioni esistenziali, come presenza e non come assenza, presenza di certe particolari proof. In questo modo ciò che prima era mancanza, un buco nero logico, viene ricodificato come presenza di un tipo di prova, per la quale né A né la sua negazione si possono affermare senza contraddirsi. Qui si prova che è un paradosso, cioè che né la sua verità né la sua falsità sono affermabili.

[9] Halting-problem, posto da Alan Turing nell’ambito della teoria della computabilità / macchine di Turing. Nel formalismo classico-ristretto la non-terminazione di una macchina M(x) è un caso privo di esito; nella Metateoria è invece riconosciuta come stato P = (0,0).

[10] Entscheidungsproblem, posto da Hilbert nell’ambito del programma di “decisione” dei sistemi formali. Esso domanda: esiste un algoritmo universale che decida la verità o falsità di qualunque enunciato formale? Gödel e Church/Turing mostrano che ciò non è possibile all’interno di un sistema binario ristretto. La Metateoria mostra la decidibilità estesa via ℵ_τ.

[11] Nel nucleo dell’Incompletezza gödeliana. Tale contraddizione, non appartenendo né al vero (1) né al falso (0), all’interno della bivalenza aristotelica conduce Gödel a concludere che non esistono prove sintattiche di A, pur ammettendo che A possieda una semantica. Tuttavia, il passaggio logico da contraddizione Prov(#(A),C)∧Prov(#(-A),C) ad assenza di prova ¬Prov(#(A),1)∧¬Prov(#(A),0) non è lecito in senso rigoroso, una non consecutio che risente del quadro binario ristretto dentro cui Gödel interpreta il proprio risultato. Infatti, la diagonalizzazione afferma unicamente la contraddizione di A: Prov(#(A),C)∧Prov(#(-A),C) ⇒ Prov(#(A),¬1)∧Prov(#(A),¬0). Ma non dice, né implica, che una prova di A sia impossibile: tale ulteriore deduzione è un surplus teorico, un effetto del presupposto secondo cui nulla esiste o è dichiarativo oltre il vero e il falso; eppur… La diagonalizzazione, essa stessa, è l’esistenza di una prova della paradossalità di A.

[12] I tre Assiomi che presento: Completezza, Coerenza, Dimostrazione; conseguono dal mio 2025.  E lì che si trova l’assiomatizzazione che li sorregge. Quelli sono Assiomi della Teoria degli insiemi, questi tre sono Assiomi della Metatoria di consistenza, completezza e dimostrazione. In generale tutti gli assiomi presentati in questo saggio sono metateorici, e derivano dal mio 2025.

[13] Tarski (1944) prevede che se si tentasse di definire la verità all’interno del linguaggio stesso, si creerebbero paradossi in virtù di frasi che affermano di essere false. Ne conclude che non è possibile definire il concetto di verità all’interno di un linguaggio formale abbastanza potente da esprimere concetti aritmetici, ma è necessario ricorrere a un metalinguaggio: un linguaggio di livello superiore. Benché l’approccio di Tarski 1944 evidenzi l’indipendenza del suo studio da quello gödeliano 1931, esso però finisce nel coincidere in una riproposizione linguistica del medesimo problema logico.

[14] Zermelo E. (1908), Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I, in “Mathematische Annalen”, vol. 65, pp. 261-281. Cfr. Mio 2025.

[15] Sembra da un lato avere un perché la critica mossa a Wittgenstein da alcuni suoi interpreti, per i quali l’austriaco si approccia superficialmente all’incompletezza gödeliana, senza entrare nella comprensione profonda del significato matematico del teorema: «il prodotto sorprendentemente insignificante di una mente brillante» (Kreisel G., 1958, Wittgenstein’s Remarks on the Foundations of Mathematics, in “British Journal for the Philosophy of Science”, n. 34, pp. 135-158, p. 158), intessuto di «errori definiti» (Dummett M. 1959, Wittgenstein’s Philosophy of Mathematics, in“The Philosophical Review”, vol. LXVIII, pp. 324-348, p. 324). Un atteggiamento di Wittgenstein quasi snobbante verso il teorema di Gödel, dall’alto di averlo catalogato come una nuova versione del paradosso del mentitore. E su questo invece, da questo lato, Wittgenstein ha ragione, essendo l’Incompletezza gödeliana la riproposizione rigorosa di tutta quella classe di problemi che non ricevono né un sì né un no come risposta. Ma la prova di Gödel copre l’intero scibile standard dei numeri naturali o dell’ordine naturale, tanto da rendere la questione universale, almeno per tutti quei sistemi che parlano di qualcosa, referenzialisti, potenti da comprendere i numeri naturali. Quindi G non è più semplicemente un errore da estromettere per un corretto uso del linguaggio, escludendo «dalla grammatica determinati modi di esprimersi» (Lolli G., 1992, Incompletezza. Saggio su Kurt Gödel, Il Mulino, Bologna, p. 22), né tantomeno G riguarda la rilevanza matematica di certe proposizioni poiché ci hanno fatto vedere proposizioni formalmente indecidibili di PA dotate di un genuino contenuto matematico (Cfr. Paris J., Harrington L., 1977, A mathematical incompleteness in Peano arithmetic, in “Barwise”, pp. 1133-1142), G è invece una dinamica intrinseca del sistema, da ben collocare, assorbire nella spiegazione sistemica.

[16] Tale soluzione di superamento è una soluzione negativa al problema. Essa significa affermare la verità G tramite enunciati esterni al sistema. E poco incide se relativamente è sempre possibile un sistema più potente capace di superare le limitazioni dei precedenti:  «Possono esistere uomini più intelligenti di ogni data macchina, e tuttavia possono esistere altre macchine ancora più intelligenti, e così via» (Turing A.M., 1950, Computing Machinery and Intelligence, in “Mind”, vol. LIX, pp. 443-460, p. 445). Essa resta comunque una soluzione negativa perché non si tratta di una spiegazione interna al sistema ma di una soluzione che deve eccedere il sistema per spiegarlo, incapace di spiegarlo dall’interno, e che di conseguenza genera una spirale insostenibile e drammatica di auto-superamento infinito: teoria poco valida a rispondere a quell’area d’universo che segue costanti o che tende al mantenimento più che al superamento Per esempio: i pianeti kepleriani che, a seguito d’aspre battaglie, trovano la loro stabilità fra le orbite del sistema solare; Due bilie ferme senza abitudine sul tavolo da biliardo di Hume; Me sdraiato su un prato d’erba inglese.

[17] Il calcolo è sostenuto dalla Teoria assiomatica Mio 2025, che appunto garantisce quanto segue. Se tutte le diversificazione del ¬1 riportano lo 0 come elemento positivo o negativo, allora hanno tutte, fra le proprie proprietà, la proprietà 0 e fanno parte dell’insieme 0. Ora facciamo cadere sotto la stessa forma un evento sensibile e una definizione matematica. In sensibile, assumiamo che dati elementi si equivalgano in una proprietà comune: la penna rossa, la palla rossa, si equivalgono nel rosso. Notiamo che tale proprietà che li accomuna equivale al loro insieme: se la penna e la palla sono accomunate dal colore rosso, allora appartengono all’insieme delle cose rosse. Tale dinamica è vera in ogni nostra esperienza sensibile e non è possibile immaginare un’esperienza sensibile che la violi: (i) se B soddisfa la proprietà A allora B appartiene all’insieme A. In matematica, assumiamo la classica definizione insiemistica per cui “i membri di un insieme hanno in comune la proprietà di appartenere a quell’insieme”. Ne consegue che tali membri hanno tale proprietà, la quale pertanto appartiene anche all’insieme che li contiene, il quale finisce per avere la proprietà di appartenere a se stesso, finché è necessario transitivamente che: (ii) se A contiene B e se C contiene A allora C contiene B.

[18] Sovrapposizione, indica casi in cui valori opposti sono presenti fisicamente nello stesso stato, logicamente sotto il medesimo rispetto. Un’ormai classica logica sovrapposta, è la logica quantistica quando formalizza particelle che, in assenza di osservatore, sono presenti contemporaneamente su stati opposti 1 e 0. Un’antica logica sovrapposta sono invece le parole di Eraclito quando formalizza una via sia in salita che in discesa, cioè presenziata da stati opposti 1 e 0. In generale la logica sovrapposta è dicibile come logica dell’incertezza, poiché la posizione dell’oggetto non è determinata ma definita nel momento della rilevazione, o meglio, l’oggetto sovrapposto non è determinabile a priori perché a priori, cioè formalmente n̅, è su più posizioni. Di conseguenza, in misura incerta, n può essere rilevato in una qualsiasi delle sue possibilità, in relazione all’osservatore.

[19] Paradosso, dal greco antico para-doxa (contro l’opinione), è un termine utilizzato nel corso dei secoli in maniera variegata per indicare casi di diversa forma: dai casi indecidibili (Epimenide, l’insolubilia medievale, l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi, Gödel, questa frase è falsa) ai casi di incertezza (logica quantistica), dai casi vaghi (quant’è un mucchio di riso?) ai casi di credenza (ma come è possibile che l’insieme dei punti di un cubo sia equipotente all’insieme dei punti di un suo spigolo?! — davvero la Terra è un geoide?). Questi 4 casi e oltre rientrano nell’alveolo di ciò che, in letteratura, da questo o da quello, in questo secolo o in quest’altro, è stato detto paradossale. La qui presente, invece, propone la logica paradossale ai soli casi indecidibili, lasciando alla logica sovrapposta i casi di incertezza, alla logica fuzzy i casi di vaghezza, e ad altre nozioni le credenze ecc. In alternativa, per conciliare la letteratura sul tema con lo schema qui proposto, si potrebbe continuare il tentativo storico di nominare come paradossali i casi appena elencati, tutti i casi di non vero diversi da falso. Anche se ciò credo porti a delle criticità nell’approfondimento.

[20] Fuzzy, indica almeno 3 proprietà graduate, di seguito elencate rispettivamente in un crescendo di sfocatura: – Sfumature (l’arancione fra il giallo e il rosso); – Ambiguità (essere piccolo); – Vaghezze (con quanti capelli si è calvi?). Le forme sfumate possono essere trasformate in forme binarie (arancione o non arancione), le forme ambigue hanno più risposte attendibili (piccolo, non è una misura definita), le forme vaghe hanno una risposta imprecisa (non c’è di principio un numero preciso di capelli da cui inizia l’alopecia). Nella letteratura fuzzy, a livello matematico queste proprietà sono oggetti matematici chiamati “insiemi fuzzy” (essere neonato è una proprietà che va da 0 a x mesi). A livello linguistico, sono proprietà ragionevolmente soggette a modificatori linguistici indeterminati: possono essere modificate con espressioni del tipo “un po’”, “molto”, “quasi”, “abbastanza”, ecc (l’arancione è quasi rosso). A livello logico, sono proprietà ragionevolmente soggette a risposte intermedie fra gli usuali 1 o 0: un po’, molto, quasi, abbastanza, ecc (con trecento capelli in testa si è abbastanza calvi). A livello filosofico, sono proprietà bordeline in cui esistono casi limite riguardanti il loro partecipare o meno a tali proprietà (quante persone alte ci sono fra gli astanti?). A livello relazionale, sono proprietà comparative che si verificano per grado maggiore a un altro (Usain Bolt è veloce). Fuzzy occupa una stratificata area graduale.  Per ora provo a comprenderla in questo linguaggio adottando la forma: A <1∧>0, minore del vero e maggiore del falso; che è la stessa di 0<A<1.

[21] Cfr. Malimpensa M.M., Trudu M. (a cura di) (2023), Al di là del principio di non contraddizione. Logiche del trascendentale tra ’800 e ’900, in “I Castelli di Yale”, vol. XI, n. 2.

[22] Un esempio di corrente Costruttiva, benché slittata in costruttiv-ismo, la possiamo astrarre dalla filosofia della matematica di Brouwer L.E.J. (1912, Intuitionism and Formalism, in “Bulletin of the American Mathematical Society”, vol. 20, 1913, pp. 81-96), dove l’intuizionismo indica il ruolo creativo e costruttivo del soggetto conoscente rispetto agli enti matematici. La mia interpretazione di costruzione non include la creazione, solo la messa in luce di uno o l’altro teorema, la costruzione di questo o quel mondo, il far apparire la realtà; e l’intuizione è un movimento proveniente dal soggetto e che dissolve il soggetto nell’abbandonarsi all’oggetto. (Mio 2022, Le tre meditazione e l’accesso al mondo dell’invisibile, in “Filosofia e nuovi sentieri”) Anche da ciò, per l’esistenza dell’oggetto, trovo che la matematica conservi campi di autonomia rispetto al soggetto conoscente.

[23] Un esempio di corrente Formale, benché slittata in formal-ismo, la possiamo astrarre dalla filosofia della matematica di Hilbert (1925, Sull’infinito), quando predilige formule che non dicono nulla ma che sono le strutture ideali della teoria. Un Hilbert tacciabile di idea, di Platone.

[24] Benacerraf P. (1967), God, the Devil and Gödel, in “The Monist”, vol. LI, pp. 9-32, p. 30:«Possiamo riformulare come segue la portata [filosofica] dei teoremi di Gödel: se io sono una macchina di Turing, allora la mia stessa natura mi impedisce di obbedire all’imperativo socratico: CONOSCI TE STESSO». Mentre il presente teorema, cambiando le premesse del passato teorema, suggerisce di seguirlo il detto monito millenario – indipendentemente dal fatto che la mente eccede il cervello.

[25] Pur mantenendo la perspicacia e problematica di Gabriele Lolli (2009), egli distingue che: «il concetto di verità ha solo due valori, vero e falso, mentre quello di dimostrabilità, in una teoria consistente, presenta tre possibilità mutuamente esclusive: se ϕ è un qualunque enunciato, o ϕ è dimostrabile, o la sua negazione ¬ϕ è dimostrabile, o nessuno fra ϕ e ¬ϕ è dimostrabile». Qua invece distinguo tra: Verità polivalente nel valore negativo e Dimostrazione polivalente nel valore positivo.

[26] Gödel riteneva che se qualcuno avesse pronunciato tale asserzione, si sarebbe contraddetto. Naturalmente, avendo rovesciato i suoi presupposti di interpretazione, cioè le premesse, allora la logica, pur davanti allo stesso numero G gödeliano, ci porta a un altro risultato, in questo caso coerente e completo, senza preclusione verso un’assiomatizzazione insiemistica capace di contenere tutta la matematica (Cfr. Mio 2025).

Bibliografia di riferimento

Aristotele, De interpretatione.

Beccuti F. (2018), La disgiunzione di Gödel, in “APhEx. Portale italiano di filosofia analitica”, n. 18.

Ceravolo V.J. (2017), Teoremi di coerenza e completezza. Epimenide, Gödel, Hofstadter, in “Filosofia e nuovi sentieri”.
Id. (2022), Principio di non contraddizione, matematica e teoria, in “Filosofia e nuovi sentieri”.
Id. (2025), Teoria degli insiemi x∈x. Un’introduzione, in “Filosofia e nuovi sentieri”.

Church A. (1936), A Note on the Entsheidungproblem, in “The Journal of Symbolic Logic”, vol. 1, n. 1, pp. 40-41.

Gödel K. (1931), Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, in “Monatshefte für Mathematik und Physik”, vol. 38, pp. 173-198.
Id. (1986), Collected works vol. I. Publications 1929-1936, Oxford University Press, New York.
Id. (1990), Collected works vol. II. Publications 1938-1974, Oxford University Press, New York.
Id. (1995), Collected works vol. III. Unpublished essays and letters, Oxford University Press, New York.

Lolli G. (2009), Indecidibilità e incompletezza, in “XlaTangente”, n. 14.

Maltsev A.I. (1936), Untersuchungen aus dem Gebiete der mathematischen Logik, in “Matematicheskii sbornik”, n. 1, pp. 323-336.

Morin E. (2000), La testa ben fatta. Riforma dell’insegnamento e riforma del pensiero, trad. it. di S. Lazzari, Raffaello Cortina, Milano.

Tarski A. (1944), The Semantic Conception of Truth: and the Foundation of Semantics, in “Philosophy and Phenomenological Research”, 4, pp. 341-376.