Coerentizzazione delle operazioni con zero grazie all’introduzione del calcolo sull’infinito

di > Vito j. Ceravolo

Abstract: The classical mathematics loses algebraic coherence in the operations of division with zero. With this mathematics the operations with zero want to respond consistently thanks to the introduction of calculus on infinity.

Keyboards: Mathematics, Zero, One, Infinity, Foundation.

Indice:
Prima Parte. Mathematica Ad Infinitum
1. Numeri fondanti. 2. Numeri. 3. Potenza di calcolo. 4. Sistema aritmetico. 5. Struttura algebrica

Seconda Parte. Dalla matematica infinita a quella naturale
6. Dal ciclo infinito alla serie naturale. 7. Costruzione insiemistica dei numeri naturali. 8. Passaggio da un’unità a un’altra

Terza Parte. Proprietà dei numeri
9. Distribuzione numeri fondanti. 10. Distribuzione numeri naturali

Quarta Parte. Retta dei numeri
11. Annullamento positivo delle moltiplicazioni con 0 e ∞. 12. Annullamento negativo delle moltiplicazioni con 0 e ∞. 13. Principio di equivalenza. 14. Retta dei numeri

Quinta Parte. Applicazioni preliminari
15. Le quattro operazioni elementari. 16. Quantità e Grandezze. 17. Contare e Misurare. 18. Razionale e Irrazionale. 19. Risultato delle operazioni elementari. 20. Fattoriali. 21. Algebra degli infiniti e degli infinitesimi. 22. Algebra dell’infinito. 23. Potenze e Radici. 24. Reciprocità fra 0 e ∞. 25. Matematica e Linguaggio

Introduzione

Conto con le dita: zero, uno, infinito.

La presente conta una elementare matematica capace di risolvere le operazioni con lo zero grazie all’introduzione del calcolo con l’infinito. Non intacca la matematica classica nelle sue operazioni ordinarie, solo in quei casi limite che riguardano – appunto – le operazioni con zero e infinito. Ed è forse questa l’impresa a cui chiama: non tanto il contare, quanto l’interpretare quello stesso contare come dato da più ampie regole.

La prova si fonda sull’assoluto Tutto 1, l’assoluto Niente 0, l’infinito ∞. Fra cui mi ritrovai nel bel mezzo di risultati insoliti, come 0/0=1, 1/0=∞, ∞/∞=1. Alcuni di questi risultati sono già noti in matematica: nel VII secolo il matematico indiano Brahmagupta cercò delle regole per utilizzare lo 0 in combinazione con le altre cifre, attribuendogli 0/0=0 e 1/0=∞. Sulle sue orme, nel XII secolo, un altro matematico indiano, Bhaskara ipotizzò 1/0=∞. Al tempo attuale il matematico americano C. Seife immagina una gemellanza fra 0 e ∞ in virtù di alcuni campi matematici in cui i due compartecipano. In tutti questi casi però, le loro ipotesi sono nulle, o parziali, dove prive di un sistema coerente per integrare 0 1 ∞ con le altre cifre nel sistema aritmetico.

La presente propone tale sistema mancante. E benché chiunque possa inventarsi con le cifre o altri simboli matematici tutti i giochi che vuole, qua inventiamo il primo gioco che, con operazioni mentali controllabili, porta in coerenza algebrica le operazioni con lo zero. Esattamente operiamo sul fondamento dell’aritmetica, ottenendo il medesimo sistema aritmetico a parte le divisioni con 0 e le operazioni con ∞.

Ciò si propone anzitutto come contributo formale, un’algebra senza eccezioni capace di sciogliere le sette forme indeterminate della matematica classica (0/0, ∞/∞, 0×∞, ∞–∞, 0⁰, ∞⁰, 1^∞), una teoria sistemica non contraddittoria con cui contare 0 e ∞ assieme alle altre cifre, una matematica immaginifica. Definita tale possibilità, successivamente, verificarne il contributo pratico e reciproca consistenza con altre regioni della matematica.

La presente stabilisce il piano della mathematica ad infinitum (MAI) che è un calcolo ricorsivo infinito simultaneo su tutte le operazioni assieme, da cui deriviamo la matematica classica dei numeri naturali. Fin qui la stabilizzazione dovrebbe essere accessibile, per quanto esotica, quando poi finiamo sulla retta dei numeri ci tocca invece contare tutto assieme.

Prima Parte
Mathematica Ad Infinitum

1. Numeri fondanti

La mathematica ad infinitum (MAI) è fondata, non più come quella classica sugli elementi 0 e 1, bensì sui tre oggetti 0, 1, ∞. Definisco: matematica classica fondata su 0 e 1; MAI fondata su 0, 1, ∞.

Questi oggetti matematici 01∞ sono quindi il fondamento di questa matematica e come numeri fondanti essi, per dirsi fondanti, non possono essere preceduti, di conseguenza si danno simultaneamente fra loro attraverso un rapporto di ciclicità infinita:

I – Ciclo infinito
     0 precede 1
     1 precede ∞
     ∞ precede 0

Da cui la seguente proposizione primitiva:

Didascalia:

• 1 simboleggia l’unità in generale, e ogni diverso numero è un’unità in particolare;
• 1+1 simboleggia la progressione da un numero a un altro;
• …+ simboleggia la presenza di un precedente;
• +… simboleggia la presenza di un successivo.

II – Primitiva  fondante
     …+1+1+1+…
Nella classe infinita, senza inizio né fine, ogni numero ha simultaneo un successivo e un precedente.[1]

2. Numeri

Si noti che nel ciclo infinito il successore non limita il precedente il quale gli sussegue nel ciclo dopo; e il precedente non limita il successore il quale lo precede nel ciclo prima. Subitanea la differenza di piano con l’analoga primitiva della matematica classica:

III – Primitiva non fondante
     1+1+1+…
In un insieme non infinito di numeri,[2] esiste o almeno un numero che non è il successivo di alcun numero dell’insieme o almeno una limitazione di genere.[3]

Questa seconda proposizione è succedanea alla prima:

• La proposizione primitiva dei numeri fondanti, denota una classe infinito «più grande di tutti gli infiniti che enumera» (Teoria degli insiemi di Von Neumann-Bernays-Gödel);
• La proposizione primitiva dei numeri non fondanti, denota un insieme non infinito con uno spazio occupato dai numeri finiti e uno spazio occupato dagli infiniti di genere. La distinzione fra finiti e infinito sta esplicitamente nei limiti dei primi. La distinzione fra infiniti di genere e infinito sta implicitamente nel fatto che i primi contano o un inizio o una limitazione di genere, e si distinguono fra loro come reali infiniti, infinitesimi e infiniti.

Abbiamo così una Primitiva classificazione dei numeri, di tipo binaria p et ¬p, in cui p processa la classe infinita, ¬p processa l’insieme di ciò che non è infinito e a cui appartengono:

• I finiti e i reali infiniti, numeri infinitamente vicini ad ogni reale n→R (in cui n è numero naturale da cui deriviamo il resto della matematica, così usiamo n per estenderci a ogni reale);
• Gli infinitesimi 0^±, o infimum legati a un limite negativo o positivo inferiore massimo, numeri infinitamente vicini allo zero 0<0^±<1/n;
• Gli infiniti ±∞, o supremum legati a un negativo o positivo limite superiore massimo, numeri infinitamente vicini all’infinito ∞>±∞>n.

Esattamente,[4] in proiezione di un sistema ben definito, la procedura p consente di determinare se un certo elemento n è o non è infinito, calcolando la presenza in n di un limite, di un inizio o di una limitazione di genere. Tale procedura p si dice distinguibile perché rende conto, intuitivamente e formalmente, dell’appartenenza o meno dell’individuo all’insieme. Si dice decidibile perché, preso un qualsiasi elemento del dominio, è in grado di caratterizzare la sua presenza o meno nell’insieme[5] (Es. L’insieme N dei numeri naturali ha sia un inizio, sia una limitazione di genere poiché non comprende, ad esempio, i numeri frazionari. Come tale è un insieme infinito di genere).

Fra gli infiniti di genere; con gli infinitesimi e infiniti si estende la retta R, dove 0^± e ±∞ non sono inclusi in R né nelle sue aritmetiche operazioni, ma rispondono alla costruzione di Robinson[6] opportunamente riadattata:

IV – Sistema numerico lineare
     0<0^±<n<±∞<∞
Es. Numeri iperreali n×0^±=n.

Un carattere distintivo fra finiti e infiniti di genere è che i finiti rispondono alla geometria del V assioma dei principi di Euclide: L’intero è maggiore delle sue parti ovvero, dati due insiemi finiti A e B tali che B sia una parte di A, allora B<A. Mentre gli infiniti di genere possono[7] contare una corrispondenza biunivoca con le proprie parti e rispondere al principio di Hume (o di Cantor): Il numero degli elementi di A è uguale al numero degli elementi di B se fra A e B vi è una corrispondenza biunivoca.

Nonostante la sopra costruzione su Robinson, la possibilità dei reali di operarsi con gli infinitesimi e infiniti, è mediata dal principio di transfer (o principio di Leibniz): un modello non standard A* di A è un modello che esprime le proprietà di A con un adeguato linguaggio L del primo ordine. I numeri iperreali, in quanto composti dalla somma di un numero reale e di un numero infinitesimo n+0^±, soddisfano il principio di transfer per i numeri reali, ma estendono R e dunque non sono archimedei;[8] permettendo relazioni fra reali e infinitesimi e infiniti. Con similare immagine matematica, attendiamo 1 come principio di transfer fra MAI e matematica classica.

3. Potenza di calcolo

Al contrario della matematica classica che si compie un passo alla volta, MAI compie le proprie operazioni simultaneamente e ricorsivamente all’infinito. Così, per esempio, se 1+1 fa naturalmente 2, quando si ripete all’infinito fa invece tutte le unità all’infinito.

Chiamo questa differenza specifica “potenza di calcolo infinita” caratterizzata da due aspetti.

Primariamente la potenza di calcolo infinita realizza ogni istruzione dell’operazione simultaneamente all’istante, implicando nessuna differenza fra tempo globale di esecuzione dell’operazione e tempo di esecuzione delle singole istruzioni:

Didascalia:
ni = numero di istruzioni eseguite in un arco di tempo;
t0 = tempo istantaneo per eseguire le ni istruzioni.

V – Calcolo simultaneo
     ni/t0

Secondariamente la potenza di calcolo infinita ripete ricorsivamente all’infinito l’operazione; estendendo o contraendo all’infinito il primo termine dell’operazione, e ripetendo all’infinito il secondo termine dell’operazione; con condizione di terminazione istantanea all’infinito:

Didascalia:
M = calcolo MAI

VI – Calcolo ricorsivo
     Ma+b = (a+∞)+(b×∞)
     Ma–b = (a–∞)–(b×∞)
     Ma×b = (a+∞)×(b×∞)
     Ma/b = (a–∞)/(b×∞)

E mentre la sua primaria caratteristica è facilmente comprensibile, la sua secondaria caratteristica si verifica solo assumendo i calcoli del sistema MAI.

4. Sistema aritmetico

Di seguito l’intero sistema aritmetico MAI caratterizzato da una chiusura ad anello, un loop:

VII – Sistema aritmetico

0+0=0 0+1=1 0+∞=∞	0–0=0 0–1=∞ 0–∞=1	0×0=∞ 0×1=0 0×∞=1	0/0=1 0/1=0 0/∞=∞
1+0=1 1+1=∞ 1+∞=0	1–0=1 1–1=0 1–∞=∞	1×0=0 1×1=1 1×∞=∞	1/0=∞ 1/1=1 1/∞=0
∞+0=∞ ∞+1=0 ∞+∞=1	∞–0=∞ ∞–1=1 ∞–∞=0	∞×0=1 ∞×1=∞ ∞×∞=0	∞/0=0 ∞/1=∞ ∞/∞=1

La previsione è contenere in questo sistema tutte le operazioni note e conoscibili. L’obiezione è che sconfinare nel basso del fondamento dell’aritmetica è metafisica, è intuizione del fondamento, attinente alla coerentizzazione dell’aritmetica e alla provenienza della sua struttura; la quale attualmente si sa non è algebricamente coerente, nelle divisioni con lo 0, e finché è la coerenza la verità della matematica, allora è pure non completamente vera, e dalla cui mancata verità (dal quadro concettuale ammesso) arrivare a dimostrare che la non-contraddizione dell’aritmetica non è dimostrabile. Mentre MAI ne è un’intuizione, del fondamento, sistematizzata, controllabile, forse a primo acchito bizzarra come un’assiomatica aliena, ma coerente; che ora sciogliamo, vedendone la costruzione.

5. Struttura algebrica

La struttura algebrica di MAI={0, 1, ∞} ha operazioni definite completamente dall’ordine di conteggio dei tre fondanti.[9]

Per dimostrarlo, usiamo le seguenti matrici di permutazione così descritte:

1) Anzitutto abbiamo il titolo della matrice che comprende il simbolo dell’operazione e l’ordine di conteggio da cui si dà.

2) Successivamente abbiamo la matrice di permutazione racchiusa fra parentesi. In cui la prima riga rappresenta l’ordine di conteggio in esame, la seconda riga rappresenta la sua permutazione divisa nelle rispettive tre colonne:

• Ordine di conteggio della permutazione, a ciclo zero;
• Primo ciclo della permutazione, da 0a1, da 1a∞, da ∞a0;
• Secondo ciclo della permutazione, da 0a∞, da 1a0, da ∞a1. Altresì questo ciclo finale definisce il risultato finale della permutazione, con l’ultimo numero della matrice.

3) In fine abbiamo la riga in basso post-matrice: indica l’operazione che, relazionata ai numeri della prima riga, dà come risultato i soggiacenti numeri della seconda riga. Altresì definisce il numero neutro dell’operazione, rappresentato dal primo numero operato (prima colonna).

Con l’ordine di conteggio dei fondanti, costruiamo le quattro operazioni elementari assieme al sistema aritmetico MAI:

VIII – Struttura algebrica 

+ = 01∞

( (

01∞ 01∞ +0

01∞ 1∞0 +1

01∞ ∞01 +∞

) )

– = 0∞1

( (

0∞1 0∞1 –0

0∞1 10∞ –∞

0∞1 ∞10 –1

) )

× = ∞01

( (

∞01 ∞01 ×1

∞01 01∞ ×∞

∞01 1∞0 ×0

) )

/ = 10∞

( (

10∞ 10∞ /1

10∞ ∞10 /0

10∞ 0∞1 /∞

) )

Basta un calcolo combinatorio sulla permutazione di tre oggetti |P(MAI)|=3!=6 per accorgersi che dal sopra elenco mancano due operazioni, su cui sembra semplice dire così:

• L’addizione 01∞ e la sottrazione 0∞1 si differenziano per l’inversione del secondo e terzo termine, per cui una aggiunge e l’altra toglie;
• La moltiplicazione ∞01∞10 e la divisione 10∞1∞0  si differenziano perché una raddoppia (triplica etc) e l’altra taglia;
• In quantità diverse, l’addizione e la moltiplicazione si scambiano i cicli 01∞, 1∞0, ∞01, con un esubero della moltiplicazione nella matrice ∞10; la sottrazione e la divisione si scambiano i cicli 0∞1, ∞10, 10∞, con un esubero della divisione nella matrice 1∞0.           

Così fosse: (i) o la moltiplicazione e la divisione operano su più dimensioni rispetto all’addizione e alla sottrazione, per cui addizione moltiplicazione sono due operazioni distinte ognuna con la propria coppia; (ii) oppure stiamo prevedendo due altre operazioni elementari, una inversa alla moltiplicazione e l’altra inversa alla divisione, per cui addizione moltiplicazione divisione sono tre operazioni distinte ognuna con la propria coppia, ma che al momento non inquadro. Torniamo all’aritmetica MAI.

Seconda Parte
Dalla matematica infinita a quella naturale

6. Dal ciclo infinito alla serie naturale

Mentre MAI ruota su se stessa simultaneamente all’infinito, a ogni ciclo dell’1, da ovunque lo si cominci, ci è dato contare un numero naturale progressivo. Con il successore +1 possiamo quindi mediare il ciclo infinito nella serie naturale:

IX – Commutazione infinitum–naturalis

Ciclo infinito 1+1=∞ ∞+1=0 0+1=1 1+1=∞ …

Serie naturale =2 =3 =4 =5 …

Potenza del ∞ = ∞ = ∞2 = ∞3 = ∞4 …

Il ciclo infinito è un anello, la serie naturale è una progressione. Si commutano tramite la potenza dell’infinito:

X – Origine infinita dei naturali
     n = ∞^n–1
I numeri naturali sono potenze di infinito.

Dimostriamolo: assumiamo n come proiezione di corrispettive unità u infinitamente divisibili, ed n–1 come potenza di regressione al proiettante. Intercede una corrispondenza in cui n si proietta da ∞^n–1 unità.

Nella siffatta proiezione, la potenza in base ∞ proietta n da una «quantità attualmente infinita di punti distribuiti in tante dimensioni quante sono gli esponenti».[10] E benché ogni potenza in base ∞ proietti un corrispettivo n, qua per n intendiamo i naturali da cui discende il resto della matematica classica, così da poter proiettare anche calcoli transfiniti, o insiemi acciocché ogni n è costruibile come insieme dei numeri che lo precedono, e via discorrendo.

7. Costruzione insiemistica dei numeri naturali

Per costruire i numeri naturali da MAI, usiamo il metodo classico di costruzione insiemistica. Consideriamo che ∞ precede 0, quindi usiamo il primo come insieme-tipo per definire il secondo:

XI – Costruzione infinita dei naturali
     0={∞}.
     Da cui:
     1={∞,{∞}}
     2={∞,{∞,{∞}}}
     3={∞,{∞,{∞}},{∞,{∞,{∞}}}}
     …

Enumeriamo questo insieme come caso particolare di MAI={∞, 0, 1} dove ∞ si colloca nell’ordine di conteggio moltiplicativo ∞01 per il quale da ∞ definiamo 0 e 1. Cambiando l’ordine di conteggio in addizionale 01∞ da 0 definiamo 1 e ∞; in ordine di conteggio sottrattivo 0∞1 da 0 definiamo ∞ e 1; in ordine di conteggio divisivo 10∞ da 1 definiamo 0 e ∞ (per gli ordini di conteggio Cap. 5). Si noti: l’ordine di conteggio addizionale 01∞ rappresenta la costruzione insiemistica classica, con 0 che assume il ruolo di insieme tipo ∅ per la costruzione delle unità 1, 2, 3… fino all’infinito.

Pare evidente che potremmo ordinare MAI in diverse guise +, –, ×, /… ottenendo discorsi altrettanto diversi, dove nella serie MAI il risultato dipende completamente dall’ordine di conteggio dei fondanti (Cap. 5). Ciò nonostante, le operazioni + e × date da tali ordini di conteggio, condividono la proprietà algebrica della commutazione per cui, quale che sia l’ordine di conteggio, |P(MAI)|=3!=6, e per quale che sia il suo conseguente discorso e risultato, non contraddice gli altri, complementari.

Abbassiamo tale complementarietà fra le parole di Enriques: un oggetto è sempre suscettibile a diverse eppur corrette interpretazioni, «invitando a tradurre l’una nell’altra diverse forme di intuizione».[11] Sul noto Principio di dualità: delle più interpretazioni complementari, correttamente possibili; «mentre l’unità dell’oggetto splende alla ragione così arricchita, che ci fa passare con semplicità dall’una all’altra forma».[12]

8. Passaggio da un’unità a un’altra

Dall’anello 1∞0 di MAI, s’evince che ogni ciclo infinito di unità e ogni progressione naturale di unità è un attraversamento di ∞ e 0. Cioè ogni unità u passa alla successiva unità u’ tramite la sequenza  1∞01:

XII – Passaggio da un’unità a un’altra
     10∞ – ← u… ∞0 …u’ → + ∞01

Nel dettaglio, il passaggio fra unità è di due tipi: o aumenta 1∞01 derivando dall’addizione 01∞, dalla moltiplicazione ∞01 e da 1∞0; oppure diminuisce 10∞1 derivando dalla sottrazione 0∞1, dalla divisione 10∞ e da ∞10.

La figura, a livello classico, potrebbe interpretarsi così: fra un’unità e un’altra c’è uno spazio nullo coperto dall’infinito, giacché la progressione infinita delle unità copre lo spazio nullo fra le stesse.

Abbiamo appena interpretato in ordine di continuità, di un ordine denso u < (u+u’)/2 < u’ per il quale tra due unità ce n’è sempre una terza mediana.

Ne seguirebbe, in termini di Zenone, che per passare da un punto a un altro bisogna attraversare matematicamente un numero infinito di intermedi, senza interruzioni né salti; il che ci impedirebbe, in un tempo non infinito, di arrivare alla meta, finanche il movimento. Se non fosse che, in termini fisici, la fisica ha dei limiti legati alle sue grandezze, limiti fisici che Plank chiama ħ «pacchetti discreti di energia», sotto i quali non le è dato scendere e per i quali, ciò che è attendibile sotto essi viene arrotondato a costante ħ di fondo: come un’oscillazione talmente infinitesima da poterla trascurare; come un’infinitesima piccolezza naturalmente trascurabile (Es. Numeri iperreali) di una dinamica continua infra-particellare (Es. Gli infinitesimi possono costruirsi come numeri interposti coerentemente fra l’intervallo di due consecutivi e arbitrariamente piccoli numeri reali). In termini matematici, il limite discreto di Plank potrebbe richiamare la Serie al limite inferiore, imperciocché una somma senza fine di unità sempre più piccole può portare a un risultato finito, sebbene decomposto in un numero infinito di parti. Un continuum cioè che, in termini di mito, neanche il piè veloce Achille può attraversare in ogni sua infinita divisione, attraversato quindi con salti e interruzioni, parimenti a come saltiamo da 2 a 3 grazie all’arrotondamento a zero di tutti i numeri fra essi.

Ciò è indice di un continuum sopra cui gli oggetti si operano in discontinuità relative alle proprie grandezze. In termini biologici: non percepiamo l’intera realtà (continuum), ma ne percepiamo gli aspetti utili alla nostra esistenza (discontinuo). In termini concettuali: «non si può pensare a niente in modo effettivo senza avere qualcosa di discreto in questo svolgersi continuo».[13] In termini matematici: la Teoria delle catastrofi di Thom studia le forme come discontinuità su un substrato continuo. In termini filosofici: siamo su un’estensione continua che attraversiamo limitatamente alle forme discrete di ciò che siamo.

Talché, il sopra schema u…∞0…u’ si può ugualmente interpretarlo così: il passaggio da un numero a un altro è l’arrotondamento a zero di tutti gli infiniti numeri fra essi.

Se figurassimo tale progressione 1∞01 in termini insiemistici, vedremmo l’unità 1={∞,0}.

Terza Parte
Proprietà dei numeri

Vediamo le proprietà distributive che distinguono i numeri fondanti fra loro e, successivamente, dai numeri naturali. Vediamo, cioè, il comportamento dei numeri.

9. Distribuzione dei numeri fondanti

I numeri fondanti 01∞ hanno proprietà distributive diverse fra loro. Di seguito la loro distribuzione infinita nel sistema aritmetico MAI, dove y e z sono numeri fondanti:

Distribuzione algebrica 0
0×(y+z)  ≠  (0×y)+(0×z);
(y+z)×0  ≠  (y×0)+(z×0);
(y+z)/0  ≠  (y/0)+(z/0);
0/(y+z)  ≠  (0/y)+(0/z).

Distribuzione algebrica 1
1×(y+z)  =  (1×y)+(1×z);
(y+z)×1  =  (y×1)+(z×1);
(y+z)/1  =  (y/1)+(z/1);
1/(y+z)  ≠  (1/y)+(1/z).

Distribuzione algebrica ∞
∞×(y+z)  ≠  (∞×y)+(∞×z);
(y+z)×∞  ≠  (y×∞)+(z×∞);
(y+z)/∞  ≠  (y/∞)+(z/∞);
∞/(y+z)  =  (∞/y)+(∞/z).

Di seguito la loro distribuzione naturale nel sistema aritmetico classico, dove y e z sono numeri naturali (non ripeto la distribuzione dell’1 che si compie identica sia all’infinito che naturalmente):

Distribuzione algebrica 0 in n
0×(y+z)  =  (0×y)+(0×z) = 0;
(y+z)×0  =  (y×0)+(z×0) = 0;
(y+z)/0  ≠  (y/0)+(z/0);
0/(y+z)  =  (0/y)+(0/z) = 0.

Distribuzione algebrica ∞ in n
∞×(y+z)  ≠  (∞×y)+(∞×z);
(y+z)×∞  ≠  (y×∞)+(z×∞);
(y+z)/∞  =  (y/∞)+(z/∞) = 0;
∞/(y+z)  ≠  (∞/y)+(∞/z).

La distribuzione infinita (ad infinitum) e la distribuzione naturale (naturalis) portano allo stesso risultato seppur con linguaggi diversi:

XIII – Distribuzione numero zero
0 non si distribuisce con valore determinato (≠) o non-nullo (0). È dissociato da ogni cosa;

XIV – Distribuzione numero uno
1 si distribuisce con valore determinato sia all’infinito che naturalmente. È associato a ogni cosa, salvo negandone l’unità – nell’ultima riga con la divisione – dove l’operazione non si distribuisce più sui suoi elementi;

XV – Distribuzione numero infinito
∞ non si distribuisce con valore determinato (≠) o non-nullo (0). È dissociato da ogni cosa, salvo negandone il valore – nell’ultima riga con la divisione – nella distribuzione infinita, dove, dividendo l’infinito ad infinitum l’operazione si ridistribuisce sui suoi elementi, mentre rimane non distribuibile se diviso naturalmente.

10. Distribuzione dei numeri naturali

Gli n hanno la stessa proprietà distributiva di 1. Si operano fra loro considerando le proprie differenze naturali. Mentre coi numeri fondanti 0 e ∞ si operano come fossero 1, senza considerare le loro differenze naturali ma come una singolarità:

XVI – Distribuzione numeri naturali

     n×0=1×0
Il risultato di n moltiplicato a 0 è uguale al risultato di 1 moltiplicato a 0;

     n×∞=1×∞
     n+∞=1+∞
     n–∞=1–∞
     ∞–n=∞–1
     n/0=1/0
     0/n=0/1
     n/∞=1/∞
     ∞/n=∞/1

L’indifferenza dei fondanti 0∞ alle differenze n, segnala fra n e 0∞ un rapporto fra grandezze non omogenee, secondo la definizione V,4 degli Elementi di Euclide: «Si dice hanno fra loro rapporto quelle grandezze le quali possono, se moltiplicate, superarsi reciprocamente».

Tale rapporto non omogeneo e indifferente alle differenze, dei fondanti 0∞ sugli n, è mediato dal fondante 1.

Quarta Parte
Retta dei numeri

Ottenuto il piano generale del sistema, entriamo con MAI nella retta dei numeri, per verificare se le operazioni con zero rispondono coerentemente grazie all’introduzione del calcolo sull’infinito.

11. Annullamento positivo delle moltiplicazioni con 0 e ∞

Abbiamo visto che gli n si moltiplicano coi fondanti 0∞ come fossero delle singolarità, tutti come fossero 1. Tale singolarità si ritrova annullando la moltiplicazione fra gli stessi, poiché per qualunque differenza n l’annullamento della moltiplicazione con 0 o ∞ restituisce 1:

Moltiplicazione naturali-fondanti	Annullamento Positivo
n×0 n×∞	n×0/0=1 n×∞/∞=1

La regola è ad infinitum con lo stesso risultato per ogni n, giacché all’infinito ogni n è indifferentemente un’unità 1:

XVII – Annullamento ad infinitum
     n×a=a → a/a=1
Se n×a=a allora a/a dà ogni n, dove all’infinito ogni n è un’unità 1.

Diversa dalla classica regola naturalis con risultati diversi relativamente ad n, giacché naturalmente ogni n è una differente unità:

XVIII – Annullamento naturalis
     n×a=b → b/a=n
Dove naturalmente ogni n è un’unità diversa.

L’impatto sulla retta dei numeri è il seguente:

• Qualunque n moltiplicato per 0 cade nello stesso punto, cosicché la restituzione da quel punto è di tutte le unità assieme; in un’unica unità 1. Parimenti le moltiplicazioni di n con ∞, benché il punto in cui cadono gli n sia un altro;
• Le moltiplicazioni fra n cadono in differenti punti e la loro restituzione è relativa alle loro differenze.

L’impatto sull’algebra è il seguente:

• Fra n e fondanti, n×a=a → a/a=1 → a/n=a;
• Fra n o fra fondanti, a×b=c → c/b=a → c/a=b.

La differenza è che in n×0 e in n×∞ si annullano le differenze n a fronte di una singolare unità 1. In questi casi, 0 e ∞ risolvono la y nella definizione n×y=y:

XIX – Principio di inglobo infinito
È la proprietà inglobante dello zero e dell’infinito rispetto alla moltiplicazione y×n=y e alla divisione y/n=y.

La stessa regola di annullamento la ritroviamo nelle somme n+∞: se n+∞=0 allora 0–∞ dà ogni n, ad infinitum 1. In questo caso, ∞ risolve la y nella definizione n+y=0:

XX – Principio di inversione infinita
È la proprietà inversa dell’infinito rispetto all’addizione y+n=0 e alla sottrazione y–n=1.

12. Annullamento negativo delle moltiplicazioni con 0 e ∞

Le moltiplicazioni n×0 e n×∞ possono essere annullate anche attraverso un conteggio negativo (da destra verso sinistra), restituendo però non più l’unità ad infinitum 1, bensì l’unità scomposta, ciò che resta senza i tolti:

Moltiplicazione naturali-fondanti	Annullamento Negativo
n×0 n×∞	n×(0/0)=n n×(∞/∞)=n

L’annullamento negativo ha un conteggio regressivo che retrocede nel passato: n×0 → 0/0×n=n. Al contrario dell’annullamento positivo (precedente capitolo) che ha un conteggio consecutivo che prosegue nel futuro: n×0 → n×0/0=1. Ovvero:

XXI – Calcolo temporale
Il conteggio positivo si caratterizza con una freccia del tempo in avanti  n×0→n×0/0=1  e il conteggio negativo con una freccia del tempo in indietro  n×0→0/0×n=n.

Da passato a futuro nel mondo macroscopico vi è una irreversibilità: si può andare nel futuro ma non si può tornare nel passato. Questa asimmetria è determinata fisicamente dalla seconda legge della termodinamica per la quale la sensibile dispersione di energia fra lavoro prodotto e calore assorbito non permette di invertire il processo sino alle sue condizioni iniziali. Tale legge viene meno nel subatomico ove una trasformazione si dice reversibile se gli stati del sistema in cui passa differiscono per quantità infinitesime dagli stati di equilibrio. Voglio dire:

Sembrerebbe che contare in regressione nel passato – conteggio negativo – sia un campo solo teorico atto alla sola coerenza matematica di MAI o, al più, di qualche oggetto subatomico che si compie in reversione temporale. Quindi, il conteggio negativo potrebbe anche essere osservabile o applicabile in alcune particolari operazioni.

13. Principio di equivalenza

Le sopra regole di annullamento sono cruciali alla resistenza della retta dei numeri e alla consistenza del sistema matematico. Per tale importanza, ne corroboriamo il valore tramite la seguente applicazione pratica.

Prendiamo due numeri a e b uguali fra loro e diversi da 0. Ordiniamoli col principio di equivalenza come segue:

a²–b²=ab–b²

O come segue, in questa Seconda equivalenza:

(a+b)(a–b)=b(a–b)

La differenza fra le due equivalenze, è che la Seconda opera moltiplicazioni per 0 su cui interviene MAI con le sue sopradette regole di annullamento positivo e negativo:

• L’annullamento positivo della Seconda equivalenza, restituisce l’unità ad infinitum 1, per cui i membri dell’uguaglianza si equivalgono a 1

(a+b)(a–b)/(a–b)=1
          =
b(a–b)/(a–b)=1;

• L’annullamento negativo della Seconda equivalenza, restituisce l’unità scomposta, ciò che resta senza i tolti, per cui, in questa circostanza, i membri dell’uguaglianza non si equivalgono più

(a+b)[(a–b)/(a–b)]=a+b
          ≠
b[(a–b)/(a–b)]=b.

Il risultato dell’annullamento negativo a+b≠b è registrato dalla matematica classica come a+b=b per il quale, in quanto uguale ad a+a=a, si parla di risultato “paranormale”. In MAI invece a+b≠b è il risultato coerente del sopra annullamento negativo.

Si noti: l’operazione di togliere il fattore comune fra i membri di un’equivalenza, non è un calcolo positivo ma negativo, poiché non segue l’ordine progressivo dell’operazione (da sinistra a destra), ma regredisce al fattore da togliere.

Si noti: fra due numeri a=b diversi da 0, il principio di equivalenza è certo finché, coi suoi spostamenti, i membri a sinistra e destra dell’uguaglianza restano diversi da 0, poiché qualunque n si equivale se moltiplicato a 0.

La soluzione della Seconda equivalenza è che la si dovrebbe risolvere con conteggi positivi-progressivi, a prova che MAI regola la matematica classica in questi principi di equivalenza in cui subentrano moltiplicazioni con 0. Essa può quindi contribuire a comprendere, giustificare e contare alcune equivalenze altrimenti incomprensibili; mostrando una sorta di utilità per lo sviluppo della matematica. Anche se tale utilità non vuole adombrare le considerazioni sulla bellezza, ampiezza, eleganza, semplicità e su tutto quel resto che fa della matematica di più di una utilità.

14. Retta dei numeri

Stante quanto contato, con MAI la retta dei numeri non si distrugge, riesce a porre le cose matematiche in rigore matematico, senza ipotesi ad hoc o eccezioni, operando coerentemente lo 0 assieme all’infinito e alle unità.

Tale coerenza richiede di riconoscere il piano matematico fondante e il piano matematico naturale. Il primo come calcolo a ciclo infinito, simultaneo su tutte le operazioni assieme, definente l’intero piano matematico. Il secondo come calcolo a direzione progressiva o regressiva, continuo su un’operazione alla volta, definente la parte di piano matematico relativa al calcolo. Lo scarto fra il primo e il secondo piano potrebbe richiedere la distinzione fra «scoprire» e «usare in alcuni contesti».[14]

La richiesta non è piccola, ma su questa possibilità la retta dei numeri sembra coerentizzarsi a livello dei calcoli qua affrontati. E di più: sembra intendere MAI come superamento dei limiti preesistenti, al fine di affrontare situazioni in cui tali limiti non hanno più ragion d’essere: “le anomalie dei calcoli sullo 0 e le forme indeterminate di alcune operazioni”. Con tutte le difficoltà concettuali che tale superamento richiede.

Eppur, se quanto detto è stato ben e facilmente contato, per quanto concettualmente difficoltoso, segue applicare MAI alle varie regioni della matematica per verificarne il contributo pratico e reciproca consistenza.

Quinta Parte
Applicazioni preliminari

15. Le quattro operazioni elementari

Al fine di verificare MAI nelle varie regioni della matematica, iniziamo con una delle applicazione matematiche più semplici: l’applicazione delle operazioni elementari.

Per trattare le quattro operazioni elementari, unifico tutti i loro termini (addendi, minuendi, sottraendi,  moltiplicandi, moltiplicatori, fattori, dividendi, divisori) nel termine “unità”: tutti i termini delle operazioni sono unità.

Con questa nomenclatura riadatto le definizioni delle operazioni elementari al fine di trasmettere senza eccezioni le istruzioni del conteggio MAI:

XXII – Calcolo elementare

L’addizione a+b aggiunge unisce l’unità a con tante unità quante indicate dall’altra b;
La sottrazione a–b toglie diminuisce l’unità a di tante unità quante indicate dall’altra b;
La moltiplicazione a×b raddoppia l’unità a tante volte quante indicato dall’altra b;
La divisione a/b riconosce taglia nega l’unità a in tante unità quante indicate dall’altra b.

Le operazioni elementari restano come già note, fintantoché non si noti che moltiplicazione e addizione non sono esattamente lo stesso: una raddoppia ×, l’altra unisce +. Una differenza apicale quando si conta all’infinito. Lo argomento:

16. Quantità e Grandezze

Si prenda a e b con cardinalità infinita, biunivoci perché equinumerosi. Differenziamoli con addizione a+b da una parte e moltiplicazione a×b dall’altra. Essi restano equinumerosi, hanno lo stesso numero di elementi, la stessa cardinalità, ma non hanno necessariamente la stessa grandezza, di H. Grassmann, risultante dagli enti di un sistema per cui è definita l’uguaglianza, la disuguaglianza e la somma.[15]

Siamo alla deriva della Teoria dei cardinali di Cantor, su cui distinguo il termine “equinumerosi: stesso numero di elementi” dal termine “equipotenti: stesso risultato”. Esattamente:

• a e b sono equinumerosi se si possono porre in corrispondenza biunivoca, cioè se sono equivalenti per il numero di elementi, per cui a un elemento di a corrisponde uno e un solo elemento di b. Di essi si dice che hanno la stessa cardinalità, il cardinale è il numero degli elementi del sistema;
• a e b sono equipotenti se si possono porre in corrispondenza dimensionale, cioè se sono equivalenti per la grandezza degli elementi, per cui la relazione fra gli elementi di a produce lo stesso risultato della relazione fra gli elementi di b. Di essi si dice che hanno la stessa risultanza, il risultato è il numero definito dalla relazione fra gli elementi del sistema.

XXIII – Calcolo biunivoco (Cantor)
    a+b = c×d = 2
Conta la numerosità o cardinalità del sistema. Per cui il numero degli elementi di a+b potrebbe essere uguale al numero degli elementi di c×d.

XXIV – Calcolo dimensionale (classico)
    a+b = c×d = e
Misura la potenza o grandezza del sistema. Per cui il risultato della relazione fra gli elementi di a+b potrebbe essere uguale al risultato della relazione fra gli elementi di c×d.

17. Contare e Misurare

Si osserva una faglia fra contare cardinalità e misurare grandezze, in generale fra contare e misurare:

XXV – Calcolo del contare
Contare  u+u  incrementa l’unità  u  presa a ordine di conteggio, restituisce la numerosità-cardinalità del sistema in base  u  (Es. Quattro telefoni);

XXVI – Calcolo del misurare
Misurare  m/u  ripartisce l’oggetto  m  con l’unità  u  presa a ordine di conteggio, restituisce la grandezza-potenza del sistema in base  u  (Es. Telefono blu).

L’unità u presa a ordine di conteggio definisce il criterio del conteggio stesso e della misura:

• Il contare anticipa il misurare poiché detiene il criterio u con cui si compie la misurazione. Quindi è l’ordine di conteggio a definire l’operazione di misurazione (Cap. 5);
• Il misurare posticipa il contare poiché confronta l’oggetto m secondo il criterio u. Quindi è la misura a definire cosa è commensurabile o incommensurabile dall’ordine di conteggio.

18. Razionale e Irrazionale

Segue la seconda deriva sul tema delle operazioni: Pitagora, il quale sapeva che non necessariamente l’unità presa a ordine di conteggio è in grado di misurare l’oggetto preso in considerazione. Astraiamo Ipse dixit:

XXVII – Calcolo del razionale (Pitagora)
Razionale è ciò che è commensurabile in un rapporto m/u in cui u divide m in un numero finito o prevedibile di parti uguali con cui ne definisce la grandezza;

XXVIII – Calcolo dell’irrazionale (Pitagora)
Irrazionale è ciò che è incommensurabile in un rapporto in cui u divide m in un numero infinito e imprevedibile di parti con cui non riesce a definirne la grandezza.

Talché razionale è ciò che è misurabile tramite criterio; irrazionale è ciò che sfugge agli ordini di conteggio.

La cui deriva è Dedekind. Parafrasiamolo. Egli definisce un sistema sezionato da un taglio iniziale A che è l’unità ordine di conteggio, la quale fa da elemento separatorio con B che è invece la sezione del sistema non contabile da A; così che B risulti irrazionale ad A. Quivi, se si presume B≠0 si presume esserci un’unità A o B in ogni punto del sistema acciocché anche B è l’unità che è ed è quindi assoggettabile a un conteggio diverso da A. Per esempio MAI ha 6 differenti ordini di conteggio. Possiamo pertanto presumere che il numero detto irrazionale sia tale finché misurato da un ordine di conteggio non adeguato o finché è determinabile solo da una potenza di calcolo infinita – laddove è determinato il numero di cui si sa l’ultima cifra.

19. Risultato delle quattro operazioni elementari

Attraversata la superficie teorica delle tre derive sulle operazioni (Cantor, Pitagora, Dedekind), possiamo ri-approdare alle stesse.

Per la differenza fra contare cardinalità e misurare grandezze, davanti a due insiemi biiettivi a+b ed a×b possono darsi grandezze che all’infinito esorbitano in risultati differenti, pur rimanendo equinumerose. A prova, si prenda i seguenti risultati definiti nelle matrici in Cap. 5:

XXIX – Risultato dei calcoli
Il risultato del ciclo infinito dell’addizione e della divisione è 1;
Il risultato del ciclo infinito della sottrazione e della moltiplicazione è 0.

Quivi tutte le infinite addizioni sono necessariamente equinumerose a tutte le infinite moltiplicazioni, anche se hanno risultato differente, restituiscono grandezze differenti.

E cosa succede quando invece l’operazione si compie senza termini? Intuitivamente è generalmente ammesso che in una addizione …+… o sottrazione …–… senza termini, il risultato è 0, il loro numero neutro. Analogamente è ammissibile che in una moltiplicazione …×… o divisione …/…  senza termini, il risultato è 1, il loro numero neutro.

Tali ammissioni sembrano sostenute dalla Struttura algebrica di MAI (Cap. 5) donde l’operazione generata dall’ordine di conteggio dei fondanti – operazione priva dei termini da relazionare, operazione pura – definisce un numero neutro rispetto al tipo di operazione.

20. Fattoriali

Se la moltiplicazione senza fattori è intuitivamente uguale a 1, allora, induttivamente, per convenzione, il fattoriale di 0 è 1:

…×…=1 → 0!=1
se 0! = …×…

La questione è ostile.[16] Cambiamo il piano di calcolo. Proviamo a calcolare il fattoriale di 0 ricorrendo a MAI.

Consideriamo che MAI! si calcola sul ciclo dei fondanti, i quali si commutano fra loro:

XXX – Fattoriale fondante
     0! = 0×∞×1 = 1
     1! = 1×0×∞ = 1
     ∞! = ∞×1×0 = 1
Il fattoriale fondante è il prodotto del numero coi numeri che lo precedono.

Il fattoriale 1 di MAI! sembra regolare il fattoriale n così definendo: n! è il prodotto dei numeri interi da n al suo inizio 1.

Per tale definizione, se n non inizia allora il suo prodotto fattoriale non ha termini su cui calcolarsi …×… restituendo 1.

21. Algebra degli infiniti e infinitesimi

Distinguiamo l’algebra dell’infinito di MAI dall’algebra degli infiniti e infinitesimi; partendo da alcuni loro simili risultati:

• Quanto vale 1/0? Fra gli infiniti e infinitesimi sappiamo 1/x→–∞ quando x→0^– e sappiamo 1/x→+∞ quando x→0⁺. All’infinito di MAI sappiamo 1/x=∞ se x=0;
• Quanto vale 1/∞? Fra gli infiniti e infinitesimi sappiamo 1/x→0^– quando x→–∞ e sappiamo 1/x→0⁺ quando x→+∞. All’infinito di MAI sappiamo 1/x=0 se x=∞.

Gli infinitesimi 0^± risultano elementi neutri rispetto alle operazioni con n:

n+0^± = n
n–0^± = n
n×0^± = n
n/0^± = n

Gli infiniti ±∞ risultano elementi inglobanti rispetto alle somme su n. Si veda la matematica di Cantor in cui ℵ₀, cardinalità degli insiemi numerabili, è un infinito di genere: ℵ₀+1=ℵ₀, ℵ₀+2=ℵ₀, ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀. Oppure si veda le operazioni del calcolo tradizionale per lavorare con l’infinito, dove in verità, secondo le definizioni qua date (Cap. 2), lavorano con infiniti di genere, più esattamente con infiniti:

±∞+n=±∞
±∞+±∞=±∞

Si vede a occhio nudo:[17] alcuni infiniti di genere sono Grandi Hotel di Hilbert a infinite camere tutte occupate che si possono potenzialmente estendere a nuovi ospiti rimanendo occupate: ±∞+n=±∞ dove il nuovo ospite n ha una nuova camera anche se l’albergo ±∞ continua a restare occupato (Hilbert ottiene tale risultato spostando il vecchio ospite dalla camera uno alla camera due, quello della camera due nella tre etc senza fine).

Gli infiniti ±∞ e gli infinitesimi 0^± si operano coi fondanti 0∞ come qualunque altro n. Interpreto la loro algebra come tendenza, a un piccolo o a un grande, un processo, infinito potenziale:

L’Algebra degli infiniti e infinitesimi tratta processi su oggetti infinitamente piccoli 0^± o infinitamente grandi ±∞.

22. Algebra dell’infinito

Gli infiniti ±∞ sono diversi dall’infinito ∞. L’infinito infatti non è estendibile ad alcun nuovo ospite poiché già li comprende tutti in atto; e non ha senso, in un insieme matematico, ripetere lo stesso elemento:

XXXI – Algebra dell’estensione[18]
     ∞+n=0
Non è estendibile il sistema in atto su tutte le sue possibilità, su cui ogni estensione risulta nulla.

Matematicamente esiste un solo sistema siffatto ed è quello che completa tutti i numeri da 0 a ∞:

XXXII – Calcolo del massimo

Ciò che va da 0 a ∞ è sistema numerico non estendibile di cardinalità infinita o numero non estendibile di ordinale infinito;

Entrambi i casi (cardinale e ordinale) s’appellano al Principio del massimo, alla compiutezza nel massimo di ogni possibilità;

Nota, esplicito le operazioni MAI su ∞ come operazioni sul massimo;

Per Principio di inversione infinita (Cap. 11), qualunque addizione sul massimo ha una risultanza uguale o minore al massimo stesso  (∞+n)≤∞;   

Per Principio del massimo e di inversione infinita, qualunque sottrazione non nulla o non infinita sul massimo ne restituisce l’unità  ∞–n=1.

Con queste definizioni, MAI risolve alcune controversie matematiche[19] e teologiche[20] trasudando una risultanza dissimile dall’algebra degli infiniti e infinitesimi. Interpreto l’algebra dell’infinito come immediatezza, al più piccolo e al più grande, un oggetto, infinito in atto:

L’Algebra dell’infinito tratta l’oggetto 0 di cui non esiste più piccolo e l’oggetto ∞ di cui non esiste più grande.

23. Potenze e Radici

Ad ora abbiamo risolto 4 delle 7 forme che la matematica classica chiama “indeterminate”, e sistemato e implementato altre. Ci manca di affrontare le potenze 0⁰ e ∞⁰ e 1^∞., ma per meglio sistematizzare, le trattiamo completamente:

Didascalia:
Tutte le dimostrazioni in calcoli MAI.

XXXIV – Calcolo delle potenze

00=1	dimostrazione 00 = 0(1–1) = 01/01 = 0/0
01=0
0∞=∞	dimostrazione 0∞ = 0(1+1) = 01×01 = 0×0
10=1	dimostrazione 10 = 1(1–1) = 11/11 = 1/1
11=1
1∞=1	dimostrazione 1∞ = 1(1+1) = 11×11 = 1×1
∞0=1	dimostrazione ∞0 = ∞(1–1) = ∞1/∞1 = ∞/∞
∞1=∞
∞∞=0	dimostrazione ∞∞ = ∞(1+1) = ∞1×∞1 = ∞×∞

A titolo esemplare ci interessiamo alla potenza 0^∞=∞ che in MAI è la stessa di 0², poiché in MAI a×a si ripete all’infinito, e che quindi dice:

XXXV – Radice dell’infinito
    √∞=0
L’infinito ha radice nulla, non ha radice.

Nota: n^∞ risponde alla legge di distribuzione algebrica (Cap. 10) per la quale ogni n si comporta con 0 e ∞ come si comporta 1:

XXXVI – Potenze n
     n⁰=1
     n¹=n
     n^∞=1

Ossia è solo su potenza di calcolo infinita, ove a×a si ripete all’infinito, che la potenza infinita quadra le sue basi:

0^∞=0×0=0²=∞
1^∞=1×1=1²=1
∞^∞=∞×∞=∞²=0

Mentre le basi n le riduce tutte alla loro unità ad infinitum:

XXXVII – Unità ad infinitum
     n^∞=1
La potenza infinita di n è l’unità 1.

24. Reciprocità fra 0 e ∞

Dalle potenze MAI contiamo che la radice dell’unità è se stessa √1=1 ed è perno intorno cui ruotano la sopradetta √∞=0 e la sua inversa √0=∞; dove 0 e ∞ sono ognuno la radice dell’altro:

• Ciò che non ha inizio 0 è la radice dell’infinito √∞=0;
• Ciò che non ha inizio né fine ∞ è la radice di niente √0=∞.

Risultano oltremodo reciproci, secondo la canonica definizione:

XXXVIII – Reciprocità infinito zero
     Il prodotto di 0×∞=1
     L’inverso di 0 è 1/0=∞
     L’inverso di ∞ è 1/∞=0

Esattamente sono “reciproci” i numeri di cui il prodotto è 1=n(1/n), di cui l’inverso di uno n è l’altro 1/n, di cui l’inverso dell’altro 1/n è quell’uno n=1/(1/n).

La differenza coi reciproci fondanti è che i reciproci naturali non sono uno la radice dell’altro.

Una dimostrazione matematica di tale reciprocità è la sfera di Riemann: si attribuisca 0 e ∞ rispettivamente ai poli opposti sud (origine del piano) e nord (punto all’infinito del piano) della sfera. Le si applichi una rotazione di 180° in modo che risulti capovolta: il polo 0 al polo ∞ e viceversa secondo le trasformazioni 1/0 e 1/∞. Così fosse, MAI conta la geometria della sfera.

25. Matematica e Linguaggio

Ogni contare condiziona il fare e, più in là, il parlare, il pensare. Così persone che contano classicamente possono penetrare la realtà diversamente o avere suggestioni diverse da chi conta MAI. Un esempio eclatante di tale divergere affiora nel paradosso teologico sull’onnipotenza. Di seguito è come lo parlano i classici: “Dio può creare qualcosa più potente di Lui? Se lo può fare, allora non è più onnipotente. Se non lo può fare, allora non è onnipotente”.

Di seguito è come lo parlano i MAI.

Dialogo matematico sul massimo sistema:

V:  C’è un refolo gentile oggi, calcola la possibilità di Dio di creare qualcosa più potente di Sé…

M:  L’ha già fatto. In ogn’istante Egli non fa (0) e fa tutto (1), che è infinitamente (∞) di più di ciò che chiunque (n) può fare (r) e immaginare (i), tanto nel piccolo (0^±) quanto nel grande (±∞) che negli intermedi (n+r+i+0^±+±∞).

V:  Ebbene calcola il grado di onnipotenza sottrattaGli per aver generato un essere più potente di Lui…

M:  Non si sottrae ad Egli (∞–n=1) ché è l’unione (1) di tutte le potenze: tutto il creato che si genera e s’ingenera (n) è esso stesso potenza di Dio (n=∞^n–1) secondo Sua potenza infinita (∞ⁿ≤∞).

N.B. C’è una parte di numeri mancanti, per la conclusione del Dialogo matematico sul massimo sistema, ma fanno parte della Teoria degli insiemi, un altro saggio.

XXXIX – Potenza inversa infinita
     ∞ⁿ≤∞ = ∞≥∞ⁿ
Ogni potenza d’infinito è minore o uguale all’infinito stesso. Ugualmente detto: l’infinito è uguale o maggiore a ogni sua potenza.

Parte Finale
Conclusione

Fra la costruzione MAI e le sue preliminari applicazioni alle varie regioni della matematica, non mi hanno stupito le stranezze dello 0, la sua distribuzione nulla. Neppure mi hanno stupito le stravaganze del ∞, da cui non mi aspettavo comportamenti consoni ad n, e di cui mi par consona questa novella: 1+∞=0 talmente grande, l’infinito, che a sommarlo + fa il giro di tutti i numeri da venirti alle spalle –.

XXXX – Numeri extranaturali
     0 e ∞
Indifferenti a qualunque differenza n.

Curioso mi è 1, oggetto transfer fra n e fondanti 0∞, unico n in grado di sostenere 0 e ∞, non esattamente omogeneo alle differenze n, giacché inizio e poi si ripete in tutti gli n giacché ogni n è un numero di unità, infine è sintesi di tutto giacché l’insieme di tutto è uno. Non meno è potenza delle cose n¹=n, fattore del loro sé n×1=n, loro intima unità n/n=1, espressione della loro potenza infinita n^∞=1.

Quando si conta uno, pertanto, bisogna sapere del suo comportamento triadico, del suo conto primordiale in grado di fondare insieme tutto, l’infinitesimo inizio e gli intermedi. Ma questo è un altro saggio, che tratta gli insiemi, oltre l’introduzione di questa.

MAI è all’inizio della comprensione del suo significato e certo non l’ho dispiegata completamente, solo nei suoi cardini elementari, qualche equazione letterale e altre cose introduttive. Ma forse mi si scuserà qualora si pensasse a MAI come introduzione o curiosità o possibilità immaginifica o applicazione di casi eccezionali o foriera di un vasto progetto di innovazione che promuove l’interazione tra fondamento e mondo matematico:

Matematica & Fondamento.

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[1] A. PADOA, Théorie des nombre entiers absolus, Bocca, Torino, 1902, pp. 45-54: «P_d3) Esiste almeno un numero, che non è successivo di alcun numero». La modifica alla proposizione di Padoa, segue all’introduzione dell’oggetto infinito, per il quale, nel ciclo MAI  lo zero è preceduto dall’infinito 0>∞ e l’infinito dall’uno ∞>1 e l’uno dallo zero 1>0 e via discorrendo  …0>∞>1>0…  senza alcun numero che non sia successivo di un altro e viceversa, senza più sapere chi è il successivo e chi il precedente. La nostra proposizione non intacca le classi numeriche note, come l’assioma P_p3 di Peano: «ogni numero naturale escluso lo zero ha un unico precedente», riguarda invece la classe numerica MAI catturata da un distinguo di cui spiego le parti: (i) una parte del distinguo è “ogni numero ha un successivo e un precedente” la quale cattura tutte le classi che non hanno inizio né fine; (ii) l’altra parte del distinguo è “simultaneo” la quale, in senso forte e ordinale, significa che, sebbene sotto cicli diversi, il numero a è al contempo successore e precedente del numero b ovvero  …a, b, a,…  in senso debole e cardinale significa che non è una successione potenziale di numeri bensì sono numeri già operati in atto. La plurivalenza di (ii) non è quindi una lacuna di ambiguità e imprecisione, ma precisamente è apertura a tutte le possibilità di sovrapposizione ordinale e cardinale.

[2] M. PIERI, Sopra gli assiomi aritmetici, in Opere sui fondamenti della Matematica, U.M.I., Bologna-Cremona, pp. 449-453: «P_i4) In qualsivoglia classe non illusoria di numeri esiste almeno un numero, che non è susseguente di alcun numero della classe». Il termine originale “illusorio” è sostituito da “infinito” che significa “senza inizio ne fine”. Quindi o è infinito o non è infinito; e se non è infinito magari è finito o magari è un infinito di genere che ha un inizio che prosegue senza fine, come i numeri pari che hanno un inizio “2” senza precedenti, oppure è un infinito di genere che si limita in qualche genere.

[3] Un insieme X totalmente ordinato si dice ben ordinato se e solo se ogni sottoinsieme non vuoto di X ha un elemento minimo, il primo della successione; si dice perfettamente ordinato se ha anche un elemento massimo, l’ultimo della successione. Ogni insieme finito totalmente ordinato è perfettamente ordinato (ha un inizio e una fine). L’insieme dei numeri naturali N è ben ordinato (ha un inizio ma non una fine). Invece l’insieme dei numeri interi Z, dei numeri razionali Q e dei numeri reali R, non hanno un elemento minimo né massimo e, quindi, sono esempi di insiemi non ben ordinati, i quali però comunque si limitano in qualche genere e quindi sono catturati ugualmente dalle condizioni primitive della proposizione in oggetto.

[4] Uso numerali diversi da quelli classici per identificare gli infinitesimi ε e gli infiniti Ω. Nella matematica classica i numeri infiniti e infinitesimi sono derivati aggiungendo un numero ai numeri reali in modo coerente. MAI ci permetterebbe di derivarli anche inversamente, sottraendo valore a 0 e ∞ in modo coerente. Alla nostra prova per ora è sufficiente la derivazione classica.

[5] G. LINI, I confini logici della matematica. Giuseppe Ragunì, in Rivista Italiana di Filosofia Analitica Junior 2-2 (2011), pp. 116-119.

[6] A. ROBINSON, Non-standard Analysis, North-Holland, Amsterdam 1966.

[7] E. ZERMELLO, postulato: «data una classe C, e considerato l’insieme I di tutte le sottoclassi che ne costituiscono le parti proprie, si può stabilire fra questo e C una corrispondenza univoca (non univocamente invertibile) in cui ad ognuna di tali sottoclassi corrisponda un suo elemento». Ciò costituisce un carattere distintivo a posteriori fra finiti e infiniti di genere: i finiti possono essere perfettamente ordinati; gli infiniti di genere si distinguono fra ben ordinati e non ben ordinati. Non è esclusa la possibilità di altri ordinamenti ibridi fra questi e che però non li violano. Per esempio definiscono la classe dei numeri quasi ben ordinati «se ogni parte di essa, costituita da elementi successivi ad un elemento qualsiasi, ammette un primo elemento» sebbene, la quasi ben ordinata (Es. …-2, -1, 0, 1, 2,…), sia effettivamente manchevole di un primo elemento della serie totale. 

[8]  Il campo archimedeo è un campo numerico ordinato in cui tutti i numeri positivi hanno fra loro rapporto; secondo la proprietà: se  b>a>0  allora esiste un numero naturale n tale che  na ≥ b.  Il campo archimedeo deriva dall’assioma archimedeo: se  a>0  e  b>0  è possibile sommare a con se stesso tante volte che  a+a+a…+a > b.

[9] Tale condizione matematica sciaborda il sapere tutto, inteso (F. Enriques, Questioni riguardanti le matematiche elementari, Zanichelli, Bologna 1983, p. 4) non come «semplice riproduzione di una realtà obiettiva […], bensì elaborazione e ricostruzione dei dati, secondo un ordine intelligibile» portato dal conoscitore. Da cui riconosciamo (Mio, Senso e Significato. Teoria del riferimento linguistico, in Sfi Società Filosofica Italiana, Comunicazione n. 50, maggio 2023, pp. 94-117) sia l’oggetto ontologico di conoscenza, o «senso», sia il metodo epistemologico della conoscenza, o «significato». Ho detto altrove della scienza ineludibile alla contaminazione fra oggetto della trattazione e metodo della trattazione (Mio, Principio di non contraddizione, matematica e teoria, in Filosofiae nuovi sentieri, 3-10 aprile 2022), e di una filosofia capace di accedere ai due anche separatamente (Mio, Le tre meditazione e l’accesso al mondo dell’invisibile, in Filosofiae nuovi sentieri, 4 ottobre 2022).

[10] P. BUSSOTTI, La concezione dell’infinito in Federigo Enriques, in Matematica, Cultura, Società. Rivista dell’Unione Matematica Italiana, Serie 1, Vol. 1, 2016, n.1, pp. 65-86, p. 76. In cui viene riportato un teorema derivato dal principio di Plücker-Clebsch, ispirazione della nostra dimostrazione proiettiva.

[11] F. ENRIQUES (1987), Per la storia della logica. I principi e l’ordine della scienza nel concetto dei pensatori matematici, Zanichelli, Bologna 1992, p. 139: «La comparazione di due ordini di proprietà geometriche, o di due geometrie, unificate nella rappresentazione analitica, conduce più avanti, invitando a tradurre l’una nell’altra diverse forme d’intuizione».

[12] Ivi, 140.

[13] G. DE CECCO – G. DEL RE – A. ROSSI , René Thom: prevedere non è spiegare, in Quaderni di Matematica, 3, 2008, p. 51.

[14] B. D’AMORE, “Concetti” e “oggetti” in Matematica, in Rivista di Matematica dell’Università di Parma, (6) 3 (2000), pp. 143-151.

[15] Questo concetto di grandezza ha origine da H. Grassmann ma è stato sviluppato da Otto Stoltz, Zur Geometrie der Alten, inshesondhere über ein Axiom des Archimedes, in Mathematische Annalen, 22, 1883.

[16] Mathesis – Società Italiana di Scienze Matematiche e Fisiche, sezione veronese. A titolo di esempio riporto alcuni articoli che hanno animato la detta rivista intorno alle difficoltà di definire lo zero fattoriale: L. Landra, Note di didattica della matematica, n.56; M. Cerasoli, Zero fattoriale, n.57; C. Bernardi, Ancora sullo zero fattoriale, n.58; A. Vincentini, Zero fattoriale e zero alla zero, n.58.

[17] Perlustriamo una differenza sotterranea fra l’Algebra degli infiniti e infinitesimi e l’Algebra dell’infinito. Nel primo caso, come è noto per i transfiniti di Cantor, se si conserva il concetto ordinale della somma, ritenendo che  n+±∞  designi il numero immediatamente successivo alla serie  n+1, n+2, …  si trova  1+±∞ = 2+±∞ = … = ±∞.  Qui gli infiniti perdono la proprietà commutativa della somma  n+±∞ ≠ ±∞+n.  Ciò non avviene mai nell’Algebra dell’infinito di MAI in cui il calcolo non è una successione ma un immediato n+∞ = ∞+n = 0.

[18] D. HILBERT, Assioma IV2 della completezza: «Non è possibile aggiungere al sistema dei numeri un altro sistema di cose in modo tale che anche nel sistema risultante dalla riunione dei due sistemi siano soddisfatti tutti gli assiomi [del collegamento, del calcolo, dell’ordinamento, archimedeo]; ovvero, brevemente, i numeri costituiscono un sistema di cose che, se si conservano tutti gli assiomi, non è più capace di alcuna estensione».

[19] G. CANTOR, teorema 1982: «la cardinalità di K è minore di quella dell’insieme delle funzioni da K in un insieme di due elementi». Il teorema di Cantor non vale all’infinito imperciocché se qualunque n è una potenza di infinito (Cap. 6), inversamente qualunque potenza a base infinito che restituisce n è minore dell’infinito stesso. L’inverso comportamento dell’infinito è iniziato dalla sua proprietà distributiva (Cap. 9) riflessa sulle regioni della matematica, come sul Principio di inversione infinita (Cap. 11) o come sul qui presente Principio di potenza inversa infinita ∞ⁿ≤∞.

[20] Cfr. Infra Cap. 25.