Filosofia e nuovi sentieri

«Mi rappresento il vasto recinto delle scienze come una grande estensione di terreno disseminato di luoghi oscuri e illuminati. Lo scopo delle nostre fatiche deve essere quello di estendere i confini dei luoghi illuminati, oppure di moltiplicare sul terreno i centri di luce. L’un compito è proprio del genio che crea, l’altro della perspicacia che perfeziona» Denis Diderot

MATHEMATICA AD INFINITUM 0, 1, ∞ – Prima parte

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> Vito J. Ceravolo*

Abstract: Nella prima parte, questa matematica vuole rispondere coerentemente anche ai calcoli sullo 0 e l’∞, alla forma algebrica e al mondo extramatematico. Chiarita questa matematica, nella seconda parte la si usa per la costruzione insiemistica dei numeri naturali e successivamente la si naturalizza. In fine, nella terza parte, si definiscono i sistemi extranaturali e i numeri inimmaginabili.

Indice:

PRIMA PARTE – MATEMATICA TRINA

Capitolo Primo: Il perché del bisogno di una nuova matematica
1. Obiettivo
2. Problema storico
3. Problema formale
4. Problema materiale

Capitolo Secondo: Numeri fondanti
1. Valore dei numeri fondanti
2. Ciclicità dei numeri fondanti

Capitolo Terzo: Aritmetica elementare
1. Aritmetica dei numeri fondanti
2. Addizione e sottrazione dei numeri fondanti
3. Moltiplicazione e divisione dei numeri fondanti

Capitolo Quarto: Definizioni, proprietà, retta dei numeri e operazioni
1. Definizione aritmetica dei numeri fondanti
2. Proprietà algebriche dei numeri fondanti
3. Retta dei numeri fondanti
4. Operazioni elementari fondanti

Non neghiamo che siano veri i principi stabiliti dai matematici e che sia chiaro e incontestabile il loro metodo nel trarre deduzioni da quei principi; ma riteniamo che possano esserci certe massime erronee più estese che non sia l’oggetto delle matematiche le quali perciò non vengono espressamente menzionate benché vengano tacitamente supposte in tutto il processo di questa scienza, e riteniamo che i cattivi effetti di questi errori nascosti e non esaminati si diffondano per tutti i rami delle matematiche. Per dirlo chiaramente, sospettiamo che i matematici siano implicati non meno profondamente degli altri uomini negli errori che sorgono dalla dottrina delle idee […].
G. Berkeley

PRIMA PARTE
MATEMATICA TRINA

Capitolo Primo
IL PERCHÉ DEL BISOGNO DI UNA NUOVA MATEMATICA
0, 1 , ∞

1. Obiettivo

L’articolo mira a una matematica capace di contenere coerentemente anche le operazioni coi numeri 0 e ∞ in rapporto alle unità 1 naturali e derivati. Definito tale rapporto triadico 0, 1, ∞, lo si usa per la costruzione dei numeri naturali e conseguentemente della matematica tutta. Il risultato non elude le già note operazioni sui numeri, salvo superare l’incoerenza algebrica nel calcolo con lo 0 e introdurre il calcolo sul ∞. Detto altrimenti:

Benché esistano già modelli su come si fondano matematicamente i numeri[1], ci impegniamo qui a fondarli matematicamente non più per un sistema che prevede i soli elementi 0 e 1 (“uno” da cui qualunque unità), ma assieme l’elemento . Non è nostra intenzione spalleggiare quelle matematiche alternative alla classica, come la matematica costruttiva o intuizionista, poiché qui non viene eluso il Tertium Non Datur (principio del terzo escluso). Quello che facciamo è invece aggiustare la matematica classica in modo che risulti completa sia nella sua coerenza al proprio mondo matematico che al mondo sensibile di cui ne è un ordine – questa è la filosofia di base. La matematica classica comunemente utilizzata, quella che si erge dagli elementi 0 e 1, la chiamo aritmetica bina. Questa nuova matematica, sorgente dagli elementi 0 e 1 e ∞, la chiamo aritmetica trina.

A livello logico, per la coerenza e completezza del mondo, sia esso matematico o sensibile, potete consultare il mio articolo Teoremi di coerenza e completezza.  A livello filosofico si può dire che la forma di tale matematica, richiamante un mondo naturale fondato dal Niente 0, Tutto 1 e Infinito ∞, non altera la consueta formazione naturale dei concetti, solo di quei concetti limite posti nelle riflessioni sullo 0 (Niente) e ∞ (Infinito). La discussione filosofica di tali elementi si trova nel mio libro «Infinito. Principi supremi. Un racconto filosofico al centro di un enigma millenario». Ma al di fuori di questi approfondimenti logico-filosofici, la matematica trina in esame è consultabile direttamente in questo articolo senza l’assunzione di elementi extramatematici.

Assunta questa matematica (prima parte) e la sua naturalizzazione (seconda parte), la stessa ci porta verso un sistema di oggetti extranaturali e alla classe dei numeri inimmaginabili (terza parte). Lo schema generale del discorso si muove dentro questa forma:

  • L’insieme 1 di tutti i numeri, di classe naturale (numeri naturali e ciò che ne deriva);
  • L’insieme 0 di nessun numero, di classe extranaturale;
  • Il limite fra 0 e 1, di classe extranaturale.

Ma partiamo dall’inizio, introducendo di seguito i tre problemi – rispettivamente storico, formale e materiale – per cui si ritiene tale nuova matematica importante ai fini di una corretta quantificazione.

2. Problema storico

Siamo nel VII secolo, il matematico indiano Brahmagupta cerca di dare un valore sistemico al numero 0, delle regole per utilizzarlo in combinazione con le altre cifre. Il problema più cocente di questo numero fu ed è il suo rapporto nell’operazione di divisione, il quale introduce delle deroghe all’interno del sistema aritmetico; un’eccezione come segnale di una mancata coerenza e completezza[2] del sistema in uso. Seguendo le orme di Brahmagupta, nel XII secolo il matematico indiano Bhaskara ipotizzò che dividendo un numero per 0 si ottenesse un valore infinito, ma la sua ipotesi non andò oltre, un’intuizione vuota di un modo per integrare lo zero nel sistema aritmetico in modo sistematico e, per tale, non è ritenuta una dimostrazione valida poiché non è una dimostrazione, solo un’idea sparsa senza un sistema a supportarla. Diversamente, in questo articolo, lo zero e l’infinito vengono inquadrati dentro un rapporto coerente e completo sia internamente con la forma algebrica che esternamente col mondo sensibile.

Questo articolo non è una ricerca sull’origine dei numeri nelle società umane, benché sia di indubbia importanza sapere che lo 0 più antico della storia sia stato rilevato in Sumatra in una popolazione indianizzata nell’anno ҫaka 605 (683 d.C.), o che il concetto di infinito era profondamente presente già nell’antica religione induista, mentre lo zero regna come concetto nel Buddhismo, nel nulla dello Shunyata.[3] A cui aggiungiamo che l’uno, il valore di unità, per quanto presente fin dalle prime società capaci di contare, per il suo carattere tecnico di «atto di determinazione» e religioso di «idea di Dio», domina in occidente tramite le sue determinanti scienze e il monismo religioso.[4] Ma come detto, il nostro intento non è quello di parlare dell’origine antropologica di tali numeri, né delle loro influenze e risvolti psichici, né del perché alcuni esperimenti sugli animali, come le api, abbiano rilevato una certa sensibilità al valore “zero” anche da parte delle «brute bestie». Quello che interessa a noi è invece la mera costruzione di una matematica fondata sui numeri 0, 1, ∞; e nelle due prossime problematiche vediamo il perché di questo interesse.

 3. Problema formale

Come è noto, la aritmetica classica (bina) perde di nitidezza e ordine fin dalle sue prime battute, trovandosi in contraddizione con se stessa a causa delle deroghe ed eccezioni costruite ad hoc intorno allo 0. Un esempio:

Prendiamo la formula algebrica a × b = c     →     c / b = a      →     c / a = b.
Inseriamo i numeri a=1 e b=0 dandoli come prodotto c=0.
Il risultato aritmetico è 1 × 0 = 0     →     0 / 0 = 1     →     0 / 1 = 0.

Questo risultato 0/0=1, come altri che esulano da questo esempio, non è contemplato nell’aritmetica classica (bina), che appunto lo deroga venendo meno all’ordinamento algebrico dell’intera aritmetica. Esattamente, l’operazione 0/0=1 viene derogata in 0/0=error; per delle motivazioni che affrontiamo successivamente.

In questo caso l’ordinamento violato è formale-algebrico dato dalla formula a×b=c; e riguarda direttamente il mondo matematico e non quello sensibile. Dunque la deroga che si instaura su esso segnala un’inconsistenza formale dell’impianto, tale che questa eccezionale deroga (o altre simili) la chiamo incoerenza formale dell’aritmetica bina: incapacità di rispondere coerentemente al proprio mondo matematico.

Per superare questa incoerenza formale dobbiamo ricercare una aritmetica coerente con se stessa, quindi senza eccezioni, deroghe o inconsistenze formali. Per fare ciò abbiamo due possibilità: o si cambia la forma algebrica; oppure assegniamo un diverso valore (da 0/0=error) alla relazione dei numeri 0 e 1. La seconda via appare la più semplice ed è quella che qui percorriamo.

4. Problema materiale

Accettare deroghe su un numero, quale esso sia, non significa solo accettare ulteriori deroghe in altri punti del sistema collegati a quel numero, più ampiamente significa trovarsi scollati anche dai luoghi in cui l’aritmetica può espandersi, come i luoghi geometrici o logici sennonché fisici ecc. Esempi:

a) Geometria[5]
Nella geometria della sfera di Rienamm la trasformazione di x nel reciproco 1/x, durante la rotazione di 180° attorno all’asse equatoriale parallelo all’asse reale del piano, comporta il capovolgimento del polo nord con quello sud, che equivale implicitamente a 1/0=∞ e 1/∞=0;

 b) Logica[6]
Nella divisione tra naturali, minore è il divisore (d) e maggiore è il risultato dell’operazione (q), sino al punto limite in cui il divisore assume valore 0 il quale, se manteniamo la logica in corso (d< → q>), come valore “più piccolo” porta a un quoziente infinito, cioè 1/0=∞.

c) Fisica[7]
Se il buco nero è una singolarità “infinita” che concentra la propria massa in un singolo punto di dimensione zero, allora 0 che ripartisce 1 dà un risultato infinito, cioè 1/0=∞.

Questi risultati 1/0=∞ e 1/∞=0, come altri che esulano da questi esempi, non sono contemplati nell’aritmetica classica (bina), che appunto li deroga venendo meno alla coerenza col mondo extramatematico di cui dovrebbe essere la descrizione matematica. Esattamente, le operazioni 1/0=∞ e 1/∞=0 vengono derogate in 1/0=error e 1/∞=error; per delle motivazioni che affrontiamo successivamente.

In questo caso l’ordinamento violato non è più formale-algebrico ma in riferimento a particolari esempi di geometria, logica, fisica; e riguarda direttamente mondi diversi da quello matematico, benché sue espressioni reciproche, sue materie. Dunque la deroga che si instaura su esso segnala un’inconsistenza “materiale” dell’impianto, tale che questa eccezionale deroga (o altre simili) la chiamo incoerenza materiale dell’aritmetica bina: incapacità di rispondere coerentemente alle materie extramatematiche di cui è l’espressione matematica.

Per superare questa incoerenza materiale dobbiamo ricercare una aritmetica coerente col mondo extramatematico che descrive, quindi senza eccezioni, deroghe o inconsistenze materiali. Per fare ciò abbiamo due possibilità: o cambiamo la natura degli eventi fisici, delle geometrie e delle logiche in contraddizione con l’aritmetica bina; oppure assegniamo un diverso valore (da =error) alla relazione dei numeri 0 e 1 e ∞. La seconda via appare la più semplice ed è quella che qui percorriamo.

Capitolo Secondo
I NUMERI FONDANTI
0, 1 , ∞

 1. Valore dei numeri fondanti

Davanti a tutte le sopraddette impasse dell’aritmetica bina, ci impegniamo a costruire un’aritmetica trina capace di rispondere coerentemente sia alla logica generale e sintattica del mondo aritmetico ­­­– l’algebra ­­– sia alla fisica particolare e semantica del mondo sensibile – i fenomeni –; in ligia risposta al carattere unificatore proprio della matematica. Questa aritmetica trina si fonda sui tre oggetti matematici 0, 1, ∞. Ognuno di questi ha un suo proprio valore quantitativo, che linguisticamente sintetizzo nelle qualità:

  • 0 = Niente;
  • 1 = Tutto;
  • ∞ = Infinito.

Il Niente indica la mancanza, che può essere assoluta 0=0 oppure relativa 0=aa.[8] Il Tutto indica la presenza, che può essere assoluta (unità di tutto) oppure relativa (un’unità particolare). L’infinito indica il rapporto fra mancanza e presenza, che può essere assoluto (infinito in atto) oppure relativo (infinito potenziale).[9] L’interazione fra questi elementi è data dalla connessione del loro valore, di cui riportiamo la «caratterizzazione semantica ad infinitum dei numeri fondanti»:

  • Niente = qualcosa che non ha inizio;
  • Tutto = qualcosa che non ha fine;
  • Infinito = qualcosa che non ha né inizio né fine.

Ripeto: la caratterizzazione semantica dei numeri fondanti mostra valori ad infinitum, quindi istruzioni di pari grado, date da un Niente che non esiste mai, un Tutto che ci insegna il comportamento numerico di ogni unità nei confronti dello zero e dell’infinito, e un Infinito come limite del Tutto verso il Niente. Uso questa trinità non solo come istruzione numerica del sistema matematico, ma anche come sua immagine di accompagnamento. L’immagine è facoltativa e può essere estromessa a mantenimento dei soli calcoli.

Tutta la questione filosofica legata a questi valori fondanti, come detto, è trattata nel mio libro «Infinito. Principi supremi» dove si affronta, in particolare, la soluzione logica del conflitto finito-infinito del principio primo: «come può il principio unico essere nel contempo finito-infinito senza con ciò contraddirsi?» Da cui la possibilità dell’uno di comportarsi sia ad infinitum senza fine, sia in forma naturalis come unità. Stiamo parlando del primo grande problema della conoscenza sorto dal poema di Parmenide “Sulla natura” e la cui mancata risoluzione è causa dell’insanabile conflitto e della guerra fratricida del pensiero umano.

2. Ciclicità dei numeri fondanti

Per dirsi numeri fondanti si abbisogna non siano preceduti, quindi che si diano simultaneamente fra loro generando un rapporto di ciclicità infinita, una ciclicità ad infinitum:

  • Lo 0 precede ad infinitum l’1 seguito ad infinitum dall’∞;
  • L’1 precede ad infinitum l’∞ seguito ad infinitum dallo 0;
  • L’∞ precede ad infinitum lo 0 seguito ad infinitum dall’1.

Tale ciclicità infinita dei numeri fondanti, è ciò per cui la definizione di uno necessità della differente definizione degli altri due, in una trinità matematica. Di seguito la sintesi di tale ciclicità nel suo ritornare, stare, procedere:

  • ni è ciò che precede n, ad infinitum;
  • n0 è il proprio valore n, ad infinitum;
  • ni è ciò che segue n, ad infinitum.

Nella seguente tabella lo sviluppo di tale rapporto di ciclicità.

Ciclicità senza inizio né fine dei numeri fondanti:

n–i = x

0–i = ∞
1–i = 0
–i = 1

x precede n
ad infinitum

∞ precede 0
0 precede 1
1 precede ∞

n0 = n

00 = 0
10 = 1
0 = ∞


ad infinitum

0 equivale a 0
1 equivale a 1
∞ equivale a ∞

n i = x

0i = 1
1i = ∞
i = 0

x segue da n
ad infinitum

1 segue da 0
∞ segue da 1
0 segue da ∞

Abbiamo qui riportato la «caratterizzazione ciclica ad infinitum dei numeri fondanti».

Tenendo ferma questa ciclicità, nel prossimo capitolo la usiamo per risolvere in maniera coerente i risultati di aritmetica elementare fra i tre numeri fondanti 0, 1, ∞. Più avanti, la stessa ciclicità, determina la costruzione dei numeri naturali da quelli fondanti.

Capitolo Terzo
ARITMETICA ELEMENTARE
0, 1 , ∞

1. Aritmetica dei numeri fondanti

In questo capitolo poniamo i fondanti 0, 1, ∞ in relazione nel sistema aritmetico con la prospettiva matematica di ottenere risultati validi, e nella particolarità che ogni operazione, qui, sulle istruzioni semantiche dei fondanti, si ripete ad infinitum, tale per cui, per esempio: se 1+1 fa naturalmente 2, quando ricorre ad infinitum fa invece il risultato di tutte le unità. Segniamo così il carattere precipuo di codesta aritmetica, la «caratterizzazione ricorsiva ad infinitum dell’aritmetica trina»:

  • L’aritmetica trina ad infinitum dei numeri fondanti compie le proprie operazioni ricorsivamente all’infinito;
  • L’aritmetica naturalis dei numeri naturali compie le proprie operazioni una alla volta.

Tale ricorsività all’infinito della matematica trina non dovrebbe essere un concetto alieno per chi conosce gli algoritmi: istruzioni che si ripetono ricorsivamente per date condizioni. Su tale concetto algoritmico, l’aritmetica trina è ricorsiva per ogni condizione particolare, trovando nel valore ad infinitum dei numeri fondanti (non ha inizio, non ha fine, non ha né inizio né fine) l’istruzione della propria ciclicità. Entriamo nel dettaglio del sistema aritmetico.

0 + 0
0 + 1
0 +
1 + 0
1 + 1
1 +
+ 0
+ 1
+
0 – 0
0 – 1
0 –
1 – 0
1 – 1
1 –
– 0
– 1
0 × 0
0 × 1
×
1 × 0
1 × 1
×
∞  × 0
∞  × 1
 ×
0 / 0
0 / 1
0 /
1 / 0
1 / 1
1 /
/ 0
/ 1
/

Il risultato di ogni rapporto è in relazione al valore degli oggetti 0, 1, ∞ nella forma algebrica    a + b = c      →     a = c – b     →     b = c – a.

Per arrivare alla soluzione completa e coerente dell’intero rapporto, partiamo da questi quattro assunti matematici e dalla loro inalterabilità n0 ad infinitum:

  • Ad infinitum qualunque n che somma o sottrae 0 a sé dà se stesso, n ± 0 = n0;
  • Ad infinitum qualunque n moltiplicato a 1 dà se stesso, n × 1 = n0;
  • Ad infinitum qualunque n diviso 1 dà se stesso, n / 1 = n0.

Aggiungiamo a questi assunti questi altri universali, senza deroghe:

  • Ad infinitum qualunque n sottratto a se stesso dà 0, n – n = 0;
  • Ad infinitum qualunque n diviso se stesso dà 1, n /n = 1.

Tali assunti, fra sperimentazioni di coerenza, combinazioni e reciproci inversi, ci assegnano le stringhe per il calcolo dell’aritmetica trina; dove n può essere 0, 1, ∞:

Addizione
n + 0 = n0
n + 1 = ni
n + ∞ = n–iSottrazione
n – 0 = n0
n – 1 = n–i
n – ∞ = ni
Moltiplicazione
× 0 = n–i
× 1 = n0
× ∞ = niDivisione
n / 0 = ni
n / 1 = n0
n / ∞ = n–i

Vediamo lo sviluppo completo di queste stringhe presso l’addizione e sottrazione da una parte e la moltiplicazione e divisione dall’altra, dei numeri fondanti.

2. Addizione e sottrazione dei numeri fondanti

Addizione fondante 0, 1, ∞

Sottrazione fondante 0, 1, ∞

n + 0 = n0
n + 1 = ni
n + ∞ = ni

0 + 0 = 0 = 00
0 + 1 = 1 = 0i
0 + ∞ = ∞ = 0–i
1 + 0 = 1 = 10
1 + 1 = ∞ = 1i
1 + ∞ = 0 = 1–i
∞ + 0 = ∞ = ∞0
∞ + 1 = 0 = ∞i
∞ + ∞ = 1 = ∞–i

n – 0 = n0
n – 1 = ni
n – ∞ = ni

0 0 = 0 = 00
0 1 = ∞ = 0i
0 ∞ = 1 = 0i
1 0 = 1 = 10
1 1 = 0 = 1–i
1 ∞ = ∞ = 1i
0 = ∞ = ∞0
1 = 1 = ∞–i
∞ = 0 = ∞i

SCHEMA GENERALE

Addizione
0 + 0 = 0
0 + 1= 1
0 + ∞ = ∞
1 + 0 = 1
1 + 1 = ∞
1 + ∞ = 0
∞ + 0 = ∞
∞ + 1 = 0
∞ + ∞ = 1

Sottrazione
0 – 0 = 0
0 – 1 = ∞
0 – ∞ = 1
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
1 – ∞ = ∞
∞ – 0 = ∞
∞ – 1 = 1
∞ – ∞ = 0

Benché l’aritmetica trina giri su se stessa, ciò non toglie la sua capacità di contare ogni numero, una volta naturalizzata. Per adesso consideriamo che essa è l’espressione di valori fondanti dove ogni operazione ricorre ad infinitum. Di seguito, per la loro particolarità e importanza successiva, evidenziamo queste due operazioni:

  • 1+1=∞ perché la somma di tutte le unità (1+1) è (=) Infinita (∞). Questa 1+1 è l’unica fra le addizioni fondanti capace di eguagliarsi immediatamente all’infinito senza comprenderlo nella sua definizione. Si parla mediatamente di un infinito potenziale positivo +, da cui la serie dei numeri interi positivi 2, 3 ecc;
  • 01=∞ perché oltre l’infinito non c’è niente (∞+1=0). Questa 01 è l’unica fra le sottrazioni fondanti in grado di eguagliarsi immediatamente all’infinito senza comprenderlo nella sua definizione. Si parla mediatamente di un infinito potenziale negativo –∞, da cui la serie dei numeri interi negativi 1, 2 ecc.

Ma di questa «particolare lettura» ne parliamo appena finita l’aritmetica trina, esattamente ne parliamo nel passaggio dai numeri fondanti ai numeri naturali. Per ora torniamo alla nostra matematica.

 3. Moltiplicazione e divisione dei numeri fondanti

Moltiplicazione fondante 0, 1, ∞

Divisione fondante 0, 1, ∞

n × 0 = ni
n × 1 = n0
n × ∞ ni

× 0 = ∞ = 0i
0 × 1 = 0 = 00
0 × ∞ = 1 = 0i
1 × 0 = 0 = 1i
1 × 1 = 1 = 10
1 × ∞ = ∞ = 1i
× 0 = 1 = ∞i
× 1 = ∞ = ∞0
× ∞ = 0 = ∞i

n / 0 = ni
n / 1 = n0
n / ∞ = ni

0 / 0 = 1 = 0i
0 / 1 = 0 = 00
0 / ∞ = ∞ = 0–i
1 / 0 = ∞ = 1i
1 / 1 = 1 = 10
1 / ∞ = 0 = 1–i
/ 0 = 0 = ∞i
/ 1 = ∞ = ∞0
/ ∞ = 1 = ∞–i

SCHEMA GENERALE

Moltiplicazione
0 × 0 = ∞
0 × 1= 0
0 × ∞ = 1
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1
1 × ∞ = ∞
× 0 = 1
× 1 = ∞
× ∞ = 0

Divisione
0 / 0 = 1
0 / 1 = 0
0 / ∞ = ∞
1 / 0 = ∞
1 / 1 = 1
1 / ∞ = 0
∞ / 0 = 0
∞ / 1 = ∞
∞ / ∞ = 1

Alcuni di questi risultati sono già noti come risultati di alcuni eventi geometrici, logici, fisici (cfr. 1.4) o di coerenza algebrica (cfr. 1.3). Altri, invece, sono attualmente sconosciuti o in attesa matematica di rappresentazione. Anche qui, come nell’addizione, sottolineiamo questi due rapporti per la loro particolarità:

  • Nella moltiplicazione, l’unica operazione in grado di accrescere immediatamente sino all’infinito senza comprenderlo nella sua definizione, è 0×0: l’accrescimento reiterato fra fattori nulli è infinito, poiché ciò che non inizia reitera la propria inesistenza all’infinito;
  • Nella divisione, l’unica operazione in grado di decrescere immediatamente sino all’infinito senza comprenderlo nella sua definizione, è 1/0: la decrescita reiterata per un divisore nullo di un’unità è infinita, poiché ciò che non inizia sta dentro infinite volte.

Ma di questa «particolare lettura» ne parliamo appena finita l’aritmetica trina, esattamente ne parliamo nel passaggio dai numeri fondanti ai numeri naturali. Per ora torniamo alla nostra matematica.

Capitolo Quarto
DEFINIZIONI, PROPRIETÀ, RETTA DEI NUMERI E OPERAZIONI
0, 1 , ∞

1. Definizione aritmetica dei numeri fondanti

Dall’osservazione della suddetta matematica possiamo rilevare la definizione aritmetica dei numeri fondanti; avvicinando da un lato i numeri che in addizione e sottrazione fra loro danno il medesimo risultato, dall’altro lato avvicinando i numeri che in moltiplicazione e divisione fra loro danno il medesimo risultato, mentre teniamo separati per colonne le altre operazioni.

Addizione Sottrazione
0 + 0 = 0 – 0
NIENTE
0 + 1 = 1
0 + ∞ = ∞
0 – 1 = ∞
0 – ∞ = 1
1 + 0 = 1 – 0
TUTTO
1 + 1 = ∞
1 + ∞ = 0
1 – 1 = 0
1 – ∞ = ∞
∞ + 0 = ∞ – 0
INFINITO
∞ + 1 = 0
∞ + ∞ = 1
∞ – 1 = 1
∞ – ∞ = 0
Moltiplicazione Divisione
0 × 0 = ∞ 0 / 0 = 1
0 × 1 = 0 / 1
NIENTE
0 × ∞ = 1
1 × 0 = 0
0 / ∞ = ∞
1 / 0 = ∞
1 × 1 = 1 / 1
TUTTO
1 × ∞ = ∞
∞ × 0 = 1
1 / ∞ = 0
∞ / 0 = 0
∞ × 1 = ∞ / 1
INFINITO
∞ × ∞ = 0 ∞ / ∞ = 1

Tale tabella ci consegna la definizione aritmetica dei tre numeri fondanti:

Niente 0+0=0–0 oppure 0×1=0/1
Tutto 1+0=1–0 oppure 1×1=1/1
Infinito ∞+0=∞–0 oppure ∞×1=∞/1

In tali definizioni si nota come il Niente e il Tutto hanno una loro propria pura espressione, fatta solo di sé: Niente 0+0=0–0; Tutto 1×1=1/1. Mentre l’Infinito ha sempre una doppia espressione: Infinito assieme allo zero ∞+0=∞–0 e all’uno ∞×1=∞/1. Abbiamo così ottenuto la «caratterizzazione aritmetica ad infinitum dei numeri fondanti»:

  • Il Niente è un’operazione ricorsiva che non ha mai inizio 0+0=0–0;
  • Il Tutto è un’operazione ricorsiva che non ha mai fine 1×1=1/1;
  • L’infinito ricorre in un’operazione che conta il Niente ∞+0=∞–0 e il Tutto ∞×1=∞/1. Esattamente la doppiezza dell’infinito è necessitata dal fatto che il Niente non ha inizio, il Tutto non ha fine, l’Infinito non ha né inizio né fine.

In particolare le operazioni che riguardano la purezza del Niente e del Tutto, sono le stesse che abbiamo usato come stringa principale e inalterabile per definire i risultati dell’aritmetica trina (cfr. 3.1). Questa stringa, per la purezza dei valori Niente e Tutto, la chiamo «principio d’ordine ad absolutum»:

Per ogni entità n, sia essa un’unità, zero o infinito
n±0=n L’impossibilità di sottrarre e sommare Niente a sé;
1=n L’impossibilità di prodursi in qualcosa di diverso col Tutto;
n/1=n L’impossibilità di essere diversi dall’unità con sé.

Tale purezza altresì non toglie che il Niente sia definibile in guisa spuria anche ricorrendo al Tutto 0×1=0/1 e, viceversa, il Tutto ricorrendo al Niente 1+0=1–0. Ma perché ho chiamato spuria questa definizione e pura l’altra? Chiamo definizione aritmetica pura quella che posta in serie infinita dà sempre il medesimo risultato indipendentemente dagli ordini di conteggio. In fine, abbiamo detto, l’Infinito comprende nella propria definizione sia il Niente che il Tutto (∞+0=∞–0, ∞×1=∞/1).

 2. Proprietà algebriche dell’aritmetica trina

Fatta la matematica trina e la definizione aritmetica dei numeri fondanti, dobbiamo vedere le proprietà algebriche elementari del sistema: la proprietà commutativa, associativa e dissociativa riguardano le addizioni e moltiplicazioni; la proprietà invariantiva riguarda sottrazioni e divisioni. L’estensione di queste proprietà è lineare, sia in forma binaria (aritmetica naturalis) che ternaria (aritmetica ad infinitum), quindi ad esse non aggiungiamo niente a quanto già conosciuto.

Con * addizione o moltiplicazione
Proprietà Dissociativa
x*y=z → z*t=t*x*y
Proprietà Associativa
(x*y)*z=x*(y*z)…
Proprietà Commutativa
x*y=y*x
Proprietà Invariantiva
xy=z  (x+t)–(y+t)=z
xy=z  (xt)–(yt)=z
x/y=z  (x×t)/(t)=z
x/y=z  (x/t)/(y/t)=z

A livello concettuale ciò significa che il Niente (non ha inizio), il Tutto (non ha fine) e l’Infinito (non ha né inizio né fine) stanno fra loro invarianti in queste proprietà di dissociazione, associazione, commutazione; poiché ognuno è l’espressione semantica differente simultaneamente necessitata dalle altre: una trinità. Chiarisco; prima con una non-vana immaginazione per la quale, le istruzioni di queste proprietà algebriche sono i numeri fondanti:

  • La proprietà dissociativa discende dal Niente per le sue doti di negazione (es. negare z in favore dei suoi fattori x,y per lo stesso risultato);
  • La proprietà associativa discende dal Tutto per le sue doti di unificatore (es. associare x,y,z in diversi modi per lo stesso risultato);
  • La proprietà commutativa discende dall’Infinito per le sue doti di commutare dal non ha inizio al non ha fine (es. commutare x,y in diversi modi per lo stesso risultato);
  • La proprietà invariantiva stabilisce la resistenza del rapporto davanti alle differenze.

Tale schema richiama, si diceva, a una trinità: un’invariante trinità dissociativa (dal Niente), associativa (dal Tutto), commutativa (dall’Infinito). Di conseguenza queste proprietà algebriche le chiamo fondanti. Da queste proseguiamo vedendo le differenze specifiche della detta trinità, tramite il modo che i numeri fondanti hanno di distribuirsi, ossia tramite la loro algebrica proprietà distributiva.

Con la proprietà distributiva spieghiamo le differenze semantiche dei tre numeri fondanti (Niente, Tutto, Infinito). Per farlo usiamo due distribuzioni algebriche differenti senza con ciò eludere il  «principio di non contraddizione» poiché il loro risultato dice la stessa cosa però sotto linguaggi diversi, sotto rapporti diversi:

  • La distribuzione algebrica infinita dispiega il rapporto di distribuzione dei numeri fondanti con se stessi, su quantità ad infinitum (0, 1, );
  • La distribuzione algebrica naturale dispiega il rapporto di distribuzione dei numeri fondanti con la natura, su quantità naturalis (n diverso da 0 e ).

Oltremodo, per la sua particolarità, segnalo che l’ultima riga delle seguenti distribuzioni algebriche risponde a questa domanda: «negandone l’ordine, cioè invertendo il rapporto fra il divisore x e le differenze in dividendo (y+z), il risultato si distribuisce sull’operazione?»[10] Vediamo la distribuzione algebrica dei numeri fondanti.

  • La forza della proprietà dissociativa del Niente (negativo ad infinitum) sta nel fatto che, le moltiplicazioni e divisioni di niente non sono distribuite verso la somma e la sottrazione, ovunque stia la differenza; neppure «negandone l’ordine» (del Niente). – Nella conseguenza naturale, quando y,z sono numeri naturali, le prime due righe e la quarta riportano un risultato di uguaglianza allo 0, che naturalmente equivale a dire «un’uguaglianza a nessuna distribuzione poiché lo zero è indifferente a qualunque differenza naturale», mentre la terza riga rimane una disuguaglianza che naturalmente significa «l’impossibilità dello zero di distribuire naturalmente qualcosa».
Distribuzione infinita del Niente
0 × (y + z)  ≠ (0 × y) + (0 × z)
(y + z) × 0  ≠ (0 × y) + (0 × z)
(y + z) / 0  ≠ (y / 0) + (z / 0)
0 / (y + z) ≠ (0 /y) + (0 / z).
Distribuzione naturale del Niente
0 × (y + z)  = (0 × y) + (0 × z) = 0
(y + z) × 0  = (0 × y) + (0 × z) = 0
(y + z) / 0  ≠ (y / 0) + (z / 0);
0 / (y + z) = (0 /y) + (0 / z) = 0
  • La forza della proprietà associativa del Tutto (unità ad infinitum) sta nel fatto che, le moltiplicazioni di unità sono distributive verso la somma e la sottrazione ovunque stia la differenza. Parimenti dicesi con la divisione rispetto la somma e la sottrazione; salvo «negarne l’ordine» (del Tutto).

1 × (y + z)  =  (1 × y) + (1 × z)
(y + z) × 1 =  (1 × y) + (1 × z)
(y + z) / 1 =  (y / 1) + (z / 1)
1 / (y + z) ≠ (1 /y) + (1 / z)

  • La forza della proprietà commutativa dell’Infinito sta nel fatto che, le moltiplicazioni e divisioni dell’infinito non sono distribuite verso la somma e la sottrazione; salvo non ne si «neghi l’ordine» (dell’Infinito) così restituendo dall’infinito le differenze. – Nella conseguenza naturale, quando y,z sono numeri naturali, la terza riga diviene un’uguaglianza a 0 che naturalmente equivale a dire «ogni differenza naturale è nulla se ripartita all’infinito», mentre la quarta riga diviene una disuguaglianza che naturalmente equivale a dire «benché (distribuzione infinita) negando l’infinito le differenze si distribuiscono sull’operazione, le differenze naturali (distribuzione naturale) non distribuiscono l’infinito».
Distribuzione infinita dell’Infinito
∞ × (y + z)  ≠ (∞ × y) + (∞ × z)
(y + z) × ∞ ≠  (∞ × y) + (∞ × z)
(y + z) / ∞  ≠ (y  / ∞) + (z / ∞)
∞ / (y + z) = (∞ /y) + (∞ / z)
Distribuzione naturale dell’Infinito
∞ × (y + z)  ≠ (∞ × y) + (∞ × z)
(y + z) × ∞ ≠  (∞ × y) + (∞ × z)
(y + z) / ∞  = (y  / ∞) + (z / ∞) = 0
∞ / (y + z) ≠ (∞ /y) + (∞ / z)

La sintesi di questa distribuzione algebrica dice in generale questo:

  • Le prime due righe dicono che «solo il prodotto delle unità si distribuisce sulle (somme e sottrazioni di) differenze, mai il Niente o l’Infinito»;
  • La terza riga dice che «solo le ripartizioni da parte delle unità si distribuiscono sulle (somme e sottrazioni di) differenze, mai il Niente o l’Infinito»;
  • La quarta riga dice che «nessuna differenza (y,z) può ripartire completamente qualcosa, tranne negando l’infinito da infinitum a naturalis».

A livello concettuale ciò significa che il Niente non può essere distribuito perché non esiste, il Tutto si distribuisce ovunque, l’Infinito non è distribuibile ma «negandone l’ordine», da infinitum a naturalis (no da naturalis a infinitum), ridistribuisce  le differenze.

Abbiamo quindi questi tre argomenti algebrici distributivi:

  • C’è un elemento che si distribuisce ovunque, 1;
  • Ci sono due elementi non distribuibili, 0 e ∞;
  • C’è un elemento che negandone l’ordine ridistribuisce le differenze, ∞.

Il discorso del Tutto, di «distribuirsi ovunque», si riscontra nel discorso aritmetico ad absolutum:  1×n=n; n×1=n; n/1=n; e sempre che non ne si neghi l’ordine 1/n≠n.

Il discorso del Niente e dell’Infinito, di «non essere distribuibili», si riscontra in due tappe aritmetiche. La prima tappa è il distribuibile Tutto, quindi qui il discorso è valido per ogni n diverso da 0 e ∞:

∞/n = ∞ Nessun n può distribuire l’Infinito;
0/n = 0 Nessun n può distribuire il Niente.

La seconda tappa sono il Niente e l’Infinito, dove si vede che la biunivocità del loro «non essere distribuibili», fa si che possano distribuirsi solo fra loro senza però dare un risultato distribuibile (≠1):

∞/0 = 0 Reiterando la propria inesistenza all’infinito (cfr. 3.3), il Niente distribuisce l’Infinito a niente, quindi non lo distribuisce;
0/∞ = ∞ L’Infinito distribuisce l’inesistenza del Niente all’infinito, quindi non la distribuisce.

Il discorso dell’Infinito, di «negandone l’ordine restituisce le differenze», lo chiamo  «l’inversa proprietà commutativa ad infinitum (no naturalis) di distribuzione algebrica dell’Infinito»: ∞/(y+z) = (∞/y)+(∞/z); per la quale, appunto, negando l’Infinito nell’operazione essa si distribuisce sulle differenze (la qual formula la applichiamo nel prossimo paragrafo). In senso filosofico possiamo dire così: se l’ordine negativo (invertito) dell’operazione non necessariamente restituisce il valore dell’operazione, ciò nonostante l’inversa proprietà distributiva dell’Infinito è in grado di attraversare tutta la negazione quindi restituire da essa il valore dell’operazione. Aritmeticamente tale processo è l’attraversamento ad infinitum del valore di negazione “Niente”:

0–∞ = 1 Attraversando il non ha inizio l’Infinito arriva al non ha fine, come da classica definizione dell’infinito (senza inizio né fine).

Schema riassuntivo delle proprietà algebriche
* è uguale a + o  ×
Nelle distribuzioni algebriche, le operazioni sono valide anche col – al posto del +
n è diverso da 0 e ∞ tranne per le operazioni ad absolutum

NIENTE
Proprietà Dissociativa:
x*y=z → z*t=t*x*y.
Distribuzione algebrica infinita:
0 × (y + z)  ≠ (0 × y) + (0 × z);
(y + z) × 0  ≠ (0 × y) + (0 × z);
(y + z) / 0  ≠ (y / 0) + (z / 0);
0 / (y + z) ≠ (0 /y) + (0 / z).
Distribuzione algebrica naturale:
0 × (y + z)  = (0 × y) + (0 × z) = 0;
(y + z) × 0  = (0 × y) + (0 × z) = 0;
(y + z) / 0  ≠ (y / 0) + (z / 0);
0 / (y + z) = (0 /y) + (0 / z) = 0.
Ritorno aritmetico:
0/n = 0; 0/∞ = ∞.
Discorso:
Il Niente non è distribuibile con valore determinato. Dissociato da ogni cosa.

TUTTO
Proprietà Associativa:
(x*y)*z=x*(y*z)…
Distribuzione algebrica:
1 × (y + z)  =  (1 × y) + (1 × z);
(y + z) × 1 =  (1 × y) + (1 × z);
(y + z) / 1 =  (y / 1) + (z / 1);
1 / (y + z) ≠ (1 /y) + (1 / z).
Ritorno aritmetico:
1×n=n; n×1=n; n/1=n; 1/nn.
Discorso:
Il Tutto è distribuibile e associabile per ogni valore, salvo negandone il valore.
INFINITO
Proprietà Commutativa:
x*y=y*x.
Distribuzione algebrica infinita:
∞ × (y + z)  ≠ (∞ × y) + (∞ × z);
(y + z) × ∞ ≠  (∞ × y) + (∞ × z);
(y + z) / ∞  ≠ (y  / ∞) + (z / ∞);
∞ / (y + z) = (∞ /y) + (∞ / z).
Distribuzione algebrica naturale:
∞ × (y + z)  ≠ (∞ × y) + (∞ × z);
(y + z) × ∞ ≠  (∞ × y) + (∞ × z);
(y + z) / ∞  = (y  / ∞) + (z / ∞) = 0;
∞ / (y + z) ≠ (∞ /y) + (∞ / z).
Ritorno aritmetico:
∞/n=∞; ∞/0 = 0;
0–∞=1.
Discorso:
L’Infinito non è distribuibile con valore determinato; ma è capace di restituire dalla propria negazione le differenze e dall’attraversamento di ogni negazione valori determinabili.

Proprietà invariantiva
xy=z → (x+t)–(y+t)=z;     xy=z→ (xt)–(yt)=z;
x/y=z → (x×t)/(y×t)=z;     x/y=z → (x/t)/(y/t)=z.

3. La retta dei numeri fondanti

Fra calcoli aritmetici e proprietà algebriche, habemus gli strumenti per testare la retta dei numeri! Come detto (cfr. 1.3) davanti alla matematica bina, nelle operazioni di moltiplicazione e divisione con lo 0, la «retta dei numeri» si distrugge per l’incapacità di risponderle correttamente; senza considerare che oltretutto è priva di calcolo sull’∞: deroghe, crolli, mancanze! Con questa matematica trina vediamo invece come la stessa regge anche sotto queste estreme condizioni.

A livello naturalis, il sopraddetto «disallineamento distributivo» con lo zero e l’infinito (non-distribuibili) da parte dell’unità distribuibile, comporta che nelle operazioni coi fondanti 0 e ∞, le unità naturali n riportino un’esotica proprietà distributiva, data appunto dal proprio valore di unità naturale assieme a quello ad infinitum di questi numeri fondanti. Capiamoci partendo dall’operazione che per eccellenza risponde a questo doppio ordine, e risolviamola come segue:

(i) 0=0
Per n diverso da 0 e ∞.
(ii)

10={N}
Se ogni 0=0 allora la moltiplicazione per 0 restringe la retta di tutti i numeri n in un solo punto, e se la retta dei numeri n cade in un solo punto allora un solo punto 1 a dimensione 0 contiene tutti i numeri n.

(iii) Assunzione (cfr. II parte, cap. 3 ):
Le operazioni rispondono diversamente a seconda se compiute in naturalis o ad infinitum. Sono naturalis tutte le operazioni fra unità parziali, sono ad infinitum le operazioni che coinvolgono i numeri fondanti 0,  ∞ o l’unità di tutti i numeri 10={N}.
(iv)

Dimostrazione:
0=0 è un’operazione composta da unità (naturalis) e zero (ad infinitum). Tale complessità fa sì che annullando l’effetto della moltiplicazione 0/0 ci venga restituito un risultato ad infinitum o naturalis:

  • Si restituisce ad infinitum per un ordine di conteggio positivo (da sinistra verso destra) che mantiene lo zero,  (0)/0=1;
  • Si restituisce naturalis per un ordine di conteggio negativo (da destra verso sinistra) che annulla lo zero,  (0/0)=n.

Ripeto: l’operazione 0=0  viene restituita ad infinititum come 0/0=1. Per accedere alla sua restituzione naturale dobbiamo negare lo zero in (0/0)=n. Se negando lo zero in 0/0=1 comunque non conosciamo n, affermiamo che ad infinitum n è una unità 1, dove l’uno, ad infinitum nella matematica trina, rappresenta tutte le unità 1={N}.

(v)

Riscontro algebrico:
In questa operazione complessa naturalis-infinitum, i valori ad infinitum sono portati dai numeri fondanti. Negando il valore ad infinitum dell’operazione si restituisce il valore naturalis della stessa, in regola della «inversa proprietà commutativa ad infinitum di distribuzione algebrica dell’Infinito» ∞/(y+z) = (∞/y)+(∞/z).

(vi)

Conclusione:
Abbiamo dimostrato che il fondante zero in relazione a una unità parziale crea un’operazione complessa naturalis-infinitum. Negando l’operazione, essa, secondo regole precise, può restituire un risultato ad infinitum oppure naturalis.

(vii) Senza ordine di conteggio negativo, un’operazione complessa naturalis-infinitum restituisce positivamente il risultato della matematica trina, ad infinitum (cfr. II parte, cap. 3).

In breve è stato dimostrato questo: annullando la moltiplicazione 0=0 si ha 0/0=1 perché ogni moltiplicazione di unità con lo zero fa collassare tutti i numeri in un unico punto a dimensione zero, tale che cadendo in quel punto, il risultato risponde riportando indietro positivamente tutte le unità assieme. «Tutte le unità»  sono rappresentate ad infinitum dal numero 1, ed essendo questa una operazione ad infinitum poiché coinvolge il numero fondante 0 (cfr. II parte, cap. 3 ), allora il risultato è matematicamente corretto. Al più, se dall’operazione vogliamo ci venga restituito l’aspetto naturale n, dobbiamo annullare lo zero nell’operazione tramite un ordine di conteggio negativo (0/0)=n, ovverosia dobbiamo negare il valore ad infinitum dell’operazione, la cui negazione (tramite conteggio negativo) dà risultati naturalmente validi grazie all’«inversa proprietà commutativa ad infinitum di distribuzione algebrica dell’Infinito» ∞/(y+z) = (∞/y)+(∞/z).

Possiamo finalmente dire che la divisione per zero neutralizza la moltiplicazione per zero! 

Questo test di indistruttibilità della retta dei numeri, si conclude dicendo che anche l’infinito in operazione con i naturalis n crea la stessa ambiguità di 0 parimenti risolvibile, pur muovendo aritmetiche diverse.

Operazioni complesse naturalis-infinitum
n×0=0
n×∞=∞
n+∞=0

L’annullamento positivo dell’operazione restituisce il valore ad infinitum dell’operazione
0/0=1
n×∞/∞=1
n+∞–∞=1

 L’annullamento negativo dell’operazione restituisce il valore naturalis dell’operazione
(0/0)=n
n
×(∞/∞)=n
n+(∞–∞)=n

N.B. Per le proprietà algebriche di dissociazione, associazione e commutazione, queste “somma e moltiplicazione” possono essere le uniche operazioni elementari in cui annullando l’operazione tramite conteggio negativo si restituisce “n”. Ne segue che le altre operazioni complesse invece (n–∞; ∞–n; n/0; 0/n; n/∞; ∞/n), annullando l’operazione tramite conteggio positivo “es. n/0×0” restituiscono sì valori “ad infinitum”, ma annullando l’operazione tramite conteggio negativo “es. n/(0×0)” restituiscono valori diversi dal numero “n” di partenza.

Mentre il Tutto, abbiamo visto matematicamente, si distribuisce ovunque; e ciò significa che le unità n si operano fra loro secondo la regola dell’uno, quella del Tutto, in un rapporto binario (naturalis) fra unità-unità e non più quadratico ad infinitum verso la trinità simultanea niente-tutto-infinito. Cioè secondo il naturale e classico conteggio di unità, quello delle dita (come vediamo nella seconda parte di questo articolo).

Abbiamo così eminentemente testato che con la matematica trina la retta dei numeri non si distrugge, riesce a porre le cose matematiche in rigore matematico. Qui infatti non abbiamo ricorso a ipotesi ad hoc o eccezioni, eppure abbiamo contenuto lo 0 dentro il rigore matematico assieme alle unità, all’infinito e a tutto. Tale rigore è corroborato e giustificato nel corso dell’articolo.

4. Operazioni elementari dei fondanti

Vediamo cosa succede ad n quando soggetto a operazioni elementari ad infinitum (operazioni ricorsive). I simboli associati alle diverse operazioni hanno il solo scopo di intuire meglio il diverso comportamento delle varie operazioni; e questa è la loro Leggenda:

n

– – – +
– ← – – –
– – -+ •- – –
← – – – • – – – ←
Qualunque entità
Stato attuale n0
Avanzamento ni
Retrocessione n–i
Rotazione indietro n–i
Rotazione avanti ni

Addizione

L’addizione ad infinitum n+0 ferma n nel proprio stato n0.

L’addizione ad infinitum n+1 sposta n nel successivo stato ni.
• – – –+
L’addizione ad infinitum n+∞ sposta n nel precedente stato ni.
– – -+ • – – –
Per capire l’infinito nella somma, immaginatevi di sommare ad n un numero talmente grande (∞) da fare il giro di tutti i numeri fino a tornare alle spalle del numero da cui è partito. Esso sarà il numero precedente al nostro n di partenza.

Sottrazione

La sottrazione ad infinitum n–0 ferma n nel proprio stato n0

La sottrazione ad infinitum n–1 sposta n nel precedente stato n–i
– ← – – – •
La sottrazione ad infinitum n–∞ sposta n nel successivo stato ni
← – – – • – – – ←
Per capire l’infinito nella sottrazione, immaginatevi di sottrarre ad n un numero talmente grande (∞) da fare il giro di tutti i numeri fino a tornare fronte al numero da cui è partito. Esso sarà il numero successivo al nostro n di partenza.

Moltiplicazione

La moltiplicazione ad infinitum n×0 restringe lo stato di n riducendolo a ni
– ← – – – •
La moltiplicazione ad infinitum n×1 mantiene lo stato di n tenendolo a n0

La moltiplicazione ad infinitum n×∞ espande lo stato di n allargandolo a ni
• – – – +

Divisione

La divisione ad infinitum n/0 espande lo stato di n allargandolo a ni.
• – – – +
La divisione ad infinitum n/1 mantiene lo stato di n tenendolo a n0.

La divisione ad infinitum n/∞ restringe lo stato di n riducendolo a n–i.
– ← – – – •

Ciò che si può notare in particolar modo, è che il modo di comportarsi dell’Infinito nelle operazioni di somma e sottrazione, è specchio operazionale della sua «inversa proprietà commutativa di distribuzione algebrica».

Finiamo qui l’introduzione dell’aritmetica trina, non perché non vi sia altro da aggiungere, ma perché ciò è sufficiente a mostrare il passaggio dai numeri fondanti a quelli naturali.

[1] La matematica bina costruisce i numeri usando come mattone costituente l’insieme vuoto ∅.

[2] Cfr. Teoremi di coerenza e completezza.

[3] Aczel A.D., Caccia allo zero, Milano 2016. Sintesi cap. 10, 11. Il reperto di riferimento dello zero più antico del mondo, è una stele che precede di due secoli l’impero arabo e lo zero di Gwalior.

[4] Qui dovrebbe seguire la caratterizzazione di società dominate dal concetto di 0, quelle dal concetto di ∞ e quelle dal concetto di 1. Ma non è questo l’obiettivo di questo articolo.

[5] L’esempio è tratto da Seife C., Zero, (2000), a cui viene collegata la Nota 10: «Geometricamente, i punti 1 e –1 rimangono al loro posto (si trovano sull’asse di rotazione), mentre i e –i si scambiano tra loro. Per via algebrica: 1 e –1 sono ovviamente uguali al proprio inverso; mentre, ponendo nella trasformata x = i e moltiplicando numeratore e denominatore per i, si ha: 1/i = i/i2 = i/(1) = i e 1/(i) = i».

[6] Minore è il divisore d e maggiore è il quoziente q: se non esiste numero più piccolo di 0 e tutti i numeri sono infiniti, allora al più piccolo divisore 0 corrisponde il più grande quoziente ∞.

[7] Il risultato del calcolo qui è potenziale: pur essendo i buchi neri in verità buchi «grigio scuro», cioè qualcosa di non-infinito bensì evaporante, il loro risultato è comunque così infinitamente grande, alla nostra osservazione, da doverlo noi arrotondare all’infinito.

[8] Ceravolo V.J., Mondo, strutture portanti, cap. 3.15 Nibil negativum e privativum.

[9] L’infinito qui è descritto tramite i caratteri di mancanza e presenza, i quali, naturalmente, sono una caratterizzazione particolare dell’infinito, ma sufficiente a permetterci di entrare nella visione generale del rapporto fra 0, 1, ∞.

[10] Per quanto l’applicazione aritmetica di questa ultima stringa sia matematicamente riscontrabile, per capire il senso delle parole facciamo un salto filosofico: prendiamo un qualsivoglia valore iniziale 0 o 1 o ∞ o quale che sia. Esso non produce nulla. La produzione inizia con l’operazione, 1+1, ∞+0, 0×0 o quale che sia: le operazioni generano differenze. Ne segue che l’ordine positivo, linea causa-effetto, è l’operazione x che compie le differenze (y+z), l’ordine negativo, linea effetto-causa, sono le differenze (y+z) che compiono l’operazione x. Tali ordini sono indifferenti per la distribuzione algebrica della moltiplicazione sulla somma e la sottrazione, essendoci nella moltiplicazione un risultato di unione fra fattori, indipendentemente dal loro essere moltiplicando o moltiplicatore. Nella divisione invece (quindi per la distribuzione algebrica della divisione sulla somma e la sottrazione) non c’è un risultato di unione fra il numero divisore e quello in dividendo, bensì di separazione per cui diventa importante, al fine di possibili risultati diversi, sapere chi ripartisce e chi viene ripartito (diversamente sarebbe come dire che una Stella che ripartisce me, dà lo stesso risultato di me che ripartisco una Stella). In questo senso divisorio: (y+z)/x è l’ordine positivo che identifica l’operazione x che si compie sulle differenze (y+z); mentre x/(y+z) è l’ordine negativo che identifica le differenze (y+z) che si compiono sull’operazione x. Nel nostro linguaggio: il primo identifica l’ordine x, il secondo lo nega.

Bibliografia principale
Ceravolo V.J., Infinito. Principi supremi. Un racconto filosofico al centro di un enigma millenario, ed. self publishing “il mio libro” 2018. L’opera è assente di editore. È un racconto filosofico che ha lo scopo di argomentare e dimostrare tramite logica formale, come il principio unico sia nel contempo finito e infinito senza con ciò contraddirsi. La soluzione vuole sciogliere il primo conflitto filosofico del fondamento. Mentre le definizioni di Niente, Tutto, Infinito che si trovano in esso, sono l’origine di questa mathematica ad infinitum,

Bibliografia di riferimento
Aczel A.D., Caccia allo zero, L’odissea di un matematico per svelare l’origine dei numeri, Editore Raffaello Cortina, Milano 2016.
Ceravolo V.J., Mondo. Strutture portanti. Dio, conoscenza ed essere, Editore Il Prato, Collana Cento Talleri, Saonara (PD) dicembre 2016.
ID. Teorema di coerenza e completezza. Epimenide, Gödel, Hofstadter, in «Filosofia e nuovi sentieri» 20 aprile 2017.
Seife C., Zero, La storia di un’idea pericolosa, Editore Bollati Boringhieri, Torino 2000.

* Vito J. Ceravolo, classe 1978, è ricercatore indipendente nell’ambito dell’accessibilità intellegibile all’in sé e percettiva al fenomeno. Fra le sue pubblicazioni: Mondo. Strutture portanti. Dio, conoscenza ed essere, ed. Il Prato, collana I Cento Talleri, Saonara 2016 (secondo  al Premio Nazionale di Filosofia 2017, Certaldo); Libertà, ed. If Press, collana TheoreticalPhilosophy, Roma 2018. Diversi anche gli articoli pubblicati presso riviste e radunati presso il suo blog.

3 thoughts on “MATHEMATICA AD INFINITUM 0, 1, ∞ – Prima parte

  1. Buongiorno, vorrei sapere come mai l’esclusione del concetto di binario anche anche nella grafica occidentale, un ritorno all’oriente, vista la premessa, o, visti i risultati di velocità di lettura adagiata a destra, una captatio?! Benevolenza a parte, intendo dire, data la ciclicità della triade, per il numero protagonista, non sarebbe più facile ricordare lo zero, che gli sta ‘a sinistra’ diciamo così, lo precede, 0n con L esponente sotto sarebbe confondere con ON? E quindi semanticamente un errore?

  2. Buongiorno, dunque si potrebbe graficamente rappresentare l’esponente zero, per coerenza semantica ricordata dalla ciclicità, in basso a sinistra?

  3. Salve, come ha scritto bene lei sarebbe una questione di coerenza semantica la priorità dello zero, mentre matematicamente mi pare più forte l’infinito poiché è la commutazione che permette la “ciclicità”. A ciò si aggiunge il problema che filosoficamente (bibliografia principale) mi trovo a riconoscere l’uno come eroe della storia. Quindi credo che questa varietà di “eroi” dipenda dalla sintesi (linguistica o matematica o filosofica ecc) con cui si decide di portare avanti il discorso.
    Invece cerco di riprendere più concretamente il concetto di “binario” nella seconda parte dell’articolo, quando si passa da questa trinità alla natura, sebbene sempre all’interno della stessa grafica.
    Venendo invece alla sua domanda principe: è certamente una questione di velocità di stesura a destra, che laddove portasse conflitto o fosse più chiara in altre forme, potrebbe sicuramente essere migliorata.

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